1、1.3.1正弦函数的图象与性质(四)学习目标1.掌握ysin x与yAsin(x)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.2.能根据yAsin(x)的部分图象，确定其解析式.3.了解yAsin(x)图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.知识点一正弦型函数yAsin(x)，A0，0中参数的物理意义知识点二，A对函数yAsin(x)的图象的影响(1)对ysin(x)，xR的图象的影响函数ysin(x)(0)的图象可以看作是把正弦曲线ysin x图象上所有的点向左(当0时)或向右(当0时)平行移动|个单位长度而得到的.(2)(0)对ysin(x)的图象的影响函数ysin(x)
2、的图象，可以看作是把ysin(x)图象上所有点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当01时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.(3)A(A0)对yAsin(x)的图象的影响函数yAsin(x)的图象，可以看作是把ysin(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的，函数yAsin x的值域为A，A，最大值为A，最小值为A.知识点三由函数ysin x的图象变换得到函数yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤知识点四“五点法”作函数yAsin(x)(A0，0)的图象用“五点法”作yAsin(x) 的图象的步骤第一步：列表.x02xy0A0A0第二步：在
3、同一坐标系中描出各点.第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象.知识点五函数yAsin(x)，A0，0的性质名称性质定义域R值域A，A周期性T对称性对称中心(kZ)对称轴x(kZ)奇偶性当k(kZ)时是奇函数单调性通过整体代换可求出其单调区间1.把函数ysin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数ysin的图象.()提示得到ysin 2sin的图象.2.要得到函数ysin的图象，可把函数ysin(x)的图象向左平移个单位长度得到.()提示ysin，故要得到ysin的图象，可把函数ysin(x)的图象向右平移个单位长度.3.把函数ysin x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到ysin 2
4、x的图象.()提示应得到ysin x的图象.题型一函数yAsin(x)的图象变换例1把函数yf(x)的图象上的各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y2sin，求f(x)的解析式.解y2siny3sin y3sin y3sin3sin3cos x.所以f(x)3cos x.反思感悟(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法.(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或即可.跟踪训练1把函数ysin x(xR)的图象上所有的点向左平移个单位长度
5、，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是()A.ysin，xR B.ysin，xRC.ysin，xR D.ysin，xR答案C解析把函数ysin x的图象上所有的点向左平移个单位长度后得到函数ysin的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的，得到函数ysin的图象.题型二用“五点法”画yAsin(x)的图象例2利用五点法作出函数y3sin在一个周期内的草图.解依次令0，2，列出下表：02xy03030描点，连线，如图所示.反思感悟(1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令x分别为0，2，解出x，从而确定这五点.(2)作给定区间上yAsin(
6、x)的图象时，若xm，n，则应先求出x的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图象.跟踪训练2已知f(x)1sin，画出f(x)在x上的图象.解(1)x，2x.列表如下：2x0xf(x)211112(2)描点，连线，如图所示.题型三由图象求函数yAsin(x)的解析式例3如图是函数yAsin(x)的图象，求A，的值，并确定其函数解析式.解方法一(逐一定参法)由图象知，振幅A3，又T，2.由点可知，20，得，y3sin.方法二(待定系数法)由图象知，A3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得y3sin.方法三
7、(图象变换法)由T，点，A3可知，图象是由y3sin 2x向左平移个单位长度而得到的，y3sin，即y3sin.反思感悟若设所求解析式为yAsin(x)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T，确定.(3)确定函数yAsin(x)的初相的值的两种方法代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，已知)或代入图象与x轴的交点求解.(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点对应法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的x的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交
8、点)为x0.“第二点”(即图象的“峰点”)为x.“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x.“第四点”(即图象的“谷点”)为x.“第五点”为x2.跟踪训练3函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则()A.y2sin B.y2sinC.y2sin D.y2sin答案A解析由图可知，A2，T2，所以2.由五点作图法可知2，所以，所以函数的解析式为y2sin，故选A.题型四函数yAsin(x)性质的应用例4已知函数yAsin(x)的图象过点P，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为.(1)求函数解析式；(2)指出函数的增区间；(3)求使y0的x的取值范围.解(1)图象最高点的坐标为，A5.，T，2，
9、y5sin(2x).代入点，得sin1，2k，kZ.令k0，则，y5sin.(2)函数的增区间满足2k2x2k(kZ)，2k2x2k(kZ)，kxk(kZ).函数的增区间为(kZ).(3)5sin0，2k2x2k(kZ)，kxk(kZ).故所求x的取值范围是(kZ).反思感悟有关函数yAsin(x)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.跟踪训练4设函数f(x)sin(2x)(0)，函数yf(x)的图象的一条对称轴是直线x.(1)求的值；(2)求函数yf(x)的单调区间及最值.解(1)由2xk，kZ，得x，令，得k，kZ.0，.(2)由(1)知，f(x)sin.由2k2
10、x2k(kZ)，得kxk(kZ)，故函数的单调递增区间是(kZ).同理可得函数的单调递减区间是(kZ).当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，函数取得最大值1；当2x2k(kZ)，即xk(kZ)时，函数取得最小值1.1.函数y2sin的周期、振幅、初相分别是()A.2，2， B.4，2，C.2，2， D.4，2，答案D解析y2sin2sin，所以周期T4，振幅A2，初相.2.下列表示函数ysin在区间上的简图正确的是()答案A解析将ysin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所有点向右平移个单位长度即可得到ysin的图象，依据此变换过程可得到A中图象是正确的.也可以分别令2x0，2得到
11、五个关键点，描点连线即得函数ysin的图象.3.已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则该函数的图象()A.关于点对称 B.关于直线x对称C.关于点对称 D.关于直线x对称答案A解析2，所以f(x)sin.将x代入f(x)sin，得f 0，故选A.4.函数ysin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为_.答案ysin解析ysin ysinsinysin.5.已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式；(2)写出f(x)的递增区间.解(1)易知A，T42(2)16，f(x)sin，将点(2,0)代入得sin0
12、，令k(kZ)，k(kZ)，又，.f(x)sin.(2)由2kx2k，kZ，解得16k6x16k2，kZ，f(x)的递增区间为16k6,16k2，kZ.1.由ysin x的图象，通过变换可得到函数yAsin(x)(A0，0)的图象，其变化途径有两条：(1)ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x).(2)ysin xysin xysinsin(x)yAsin(x).注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很容易出错的地方，应特别注意.2.利用“五点”作图法作函数yAsin(x)的
13、图象时，要先令“x”这一个整体依次取0，2，再求出x的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“x”的值.3.由函数yAsin(x)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，的值.(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T，所以往往通过求得周期T来确定，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(也叫初始点)作为突破口，以yAsin(x)(A0，0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.4.在研究yAsin(x)(A0，0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在x2k(kZ)时取得最大值，在x2k(kZ)时取得最小值.
