1、14.2 正弦函数正弦函数、余弦函数的性质余弦函数的性质(一一) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数 yAsin(x)及 y Acos(x)的周期.3.掌握函数 ysin x， ycos x 的奇偶性， 会判断简单三角函数的奇偶性 知识点一 函数的周期性 1对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x T)f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期 2如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做 f(x)的最 小正周期 知识点二 正弦函数、余弦函数的
2、周期性 由sin(x2k)sin x， cos(x2k)cos x(kZ)知， ysin x与ycos x都是周期函数， 2k(kZ 且 k0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是 2. 知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性 1对于 ysin x，xR，恒有 sin(x)sin x，所以正弦函数 ysin x 是奇函数，正弦曲线 关于原点对称 2对于 ycos x，xR，恒有 cos(x)cos x，所以余弦函数 ycos x 是偶函数，余弦曲线 关于 y 轴对称 1函数 f(x)x2满足 f(36)f(3)，所以 f(x)x2是以 6 为周期的周期函数( ) 提示 周期函数需满足对定义域内
3、每一个值 x，都有 f(xT)f(x)，对于 f(x)x2，f(0)0，f(0 6)f(6)36，f(0)f(06)，f(x)x2不是以 6 为周期的周期函数 2ycos 2x 是偶函数( ) 3任何周期函数都有最小正周期( ) 提示 常函数 f(x)c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期 4y|sin x|是周期函数( ) 题型一 三角函数的周期性 例 1 求下列函数的最小正周期 (1)ysin 2x 3 (xR)； (2)y|sin x|(xR) 考点 正弦、余弦函数的周期性 题点 正弦、余弦函数的周期性 解 (1)方法一 令 z2x 3，因为 xR，所以 zR. 函数 f(x
4、)sin z 的最小正周期是 2， 即变量 z 只要且至少要增加到 z2， 函数 f(x)sin z(zR)的值才能重复取得 而 z22x 322(x) 3，所以自变量 x 只要且至少要增加到 x，函数值才能重 复取得，所以函数 f(x)sin 2x 3 (xR)的最小正周期是 . 方法二 f(x)sin 2x 3 的最小正周期为2 2 . (2)因为 y|sin x| sin x，2kx2k， sin x，2k0， 1cos x0， 得1cos x0)的最小正周期为2 3 ，则 f() . 考点 正弦、余弦函数的周期性 题点 正弦、余弦函数的周期性 答案 3 2 解析 由已知2 2 3 ，得
5、 3， 所以 f(x)3cos 3x 3 ， 所以 f()3cos 3 3 3cos 3 3cos 2 3 3 2. 4已知 aR，函数 f(x)sin x|a|，xR 为奇函数，则 a . 考点 正弦、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦、余弦函数的奇偶性 答案 0 解析 因为 f(x)sin x|a|，xR 为奇函数， 所以 f(0)sin 0|a|0，所以 a0. 5已知函数 f(x)axbsin x1，若 f(2 020)7，则 f(2 020) . 考点 正弦、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦、余弦函数的对称性 答案 5 解析 由 f(2 020)2 020absin 2 020
6、17， 得 2 020absin 2 0206， f(2 020)2 020absin 2 0201 (2 020absin 2 020)1615. 1求函数的最小正周期的常用方法 (1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使 f(xT) f(x)成立的 T. (2)图象法，即作出 yf(x)的图象，观察图象可求出 T，如 y|sin x|. (3)结论法，一般地，函数 yAsin(x)(其中 A， 为常数，A0，0，xR)的周期 T2 . 2判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变 形是解决此类问题的关键如果定义域关于原点对称，再看 f(x)与 f(x)的关系，从而判断奇 偶性