1、14.2 正弦函数正弦函数、余弦函数的性质余弦函数的性质(二二) 学习目标 1.掌握 ysin x， ycos x 的最大值与最小值， 并会求简单三角函数的值域和最值. 2.掌握 ysin x，ycos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数 yAsin(x)及 yAcos(x)的单调区间 知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线 正弦曲线： 余弦曲线： 可得如下性质： 由正弦、 余弦曲线很容易看出正弦函数、 余弦函数的定义域都是实数集 R， 值域都是1,1 对于正弦函数 ysin x，xR，有： 当且仅当 x 22k，kZ 时，取得最大值 1； 当且
2、仅当 x 22k，kZ 时，取得最小值1. 对于余弦函数 ycos x，xR，有： 当且仅当 x2k，kZ 时，取得最大值 1； 当且仅当 x(2k1)，kZ 时，取得最小值1. 知识点二 正弦、余弦函数的单调性 解析式 ysin x ycos x 图象 值域 1,1 1,1 单调性 在 22k， 22k， kZ 上递增， 在 22k， 3 2 2k，kZ 上递减 在2k，2k，kZ 上递增， 在2k，2k，kZ 上递减 最值 当 x 22k，kZ 时，ymax1；当 x 22k，kZ 时，ymin1 当 x2k，kZ 时，ymax1；当 x2k，kZ 时，ymin1 1正弦函数在定义域上是单
3、调函数( ) 提示 正弦函数不是定义域上的单调函数 2正弦函数在第一象限是增函数( ) 提示 正弦函数在第一象限不是增函数， 因为在第一象限， 如 2sin 2 3 . 3存在实数 x，使得 cos x 2.( ) 提示 余弦函数最大值为 1. 4余弦函数 ycos x 在0，上是减函数( ) 提示 由余弦函数的单调性可知正确 题型一 求正弦、余弦函数的单调区间 例 1 求函数 y2sin 4x 的单调递增区间 考点 正弦、余弦函数的单调性 题点 正弦、余弦函数单调性的判断 解 y2sin 4x 2sin x 4 ， 令 zx 4，则 y2sin z. z 是 x 的一次函数，要求 y2sin
4、 z 的单调递增区间，即求 sin z 的单调递减区间， 即 2k 2z2k 3 2 (kZ) 2k 2x 42k 3 2 (kZ)， 即 2k3 4 x2k7 4 (kZ)， 函数 y2sin 4x 的单调递增区间为 2k3 4 ，2k7 4 (kZ) 反思感悟 用整体替换法求函数 yAsin(x)或 yAcos(x)的单调区间时，如果式子 中 x 的系数为负数，先利用诱导公式将 x 的系数变为正数再求其单调区间求单调区间时， 需将最终结果写成区间形式 跟踪训练 1 求函数 f(x)2cos 2x 6 的单调递增区间 考点 正弦、余弦函数的单调性 题点 正弦、余弦函数单调性的应用 解 令2k
5、2x 62k，kZ， 解得5 12kx 12k，kZ， 所以函数 f(x)的单调递增区间是 5 12k， 12k ，kZ. 题型二 利用正弦、余弦函数的单调性比较大小 例 2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小 (1)sin 196 与 cos 156 ； (2)cos 23 5 与 cos 17 4 . 考点 正弦、余弦函数的单调性 题点 正弦、余弦函数单调性的应用 解 (1)sin 196 sin(180 16 )sin 16 ， cos 156 cos(180 24 )cos 24 sin 66 . 0 16 66 90 ，且 ysin x 在 0 x90 时是增函数， sin
6、16 sin 66 ，即 sin 196 cos 156 . (2)cos 23 5 cos 23 5 cos 43 5 cos 3 5， cos 17 4 cos 17 4 cos 4 4 cos 4. 0 4 3 5，且 ycos x 在0，上是减函数， cos 3 5cos 4，即 cos 23 5 cos 17 4 . 反思感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单 调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小 跟踪训练 2 比较下列各组数的大小 (1)sin 37 6 与 sin 49 3 ； (2)cos 870 与 sin 9
7、80 . 考点 正弦、余弦函数的单调性 题点 正弦、余弦函数的单调性应用 解 (1)sin 37 6 sin 6 6 sin 6 ， sin 49 3 sin 16 3 sin 3， 因为 ysin x 在 2， 2 上是增函数， 所以 sin 6 sin 3， 即 sin 37 6 sin 49 3 . (2)cos 870 cos(720 150 )cos 150 ， sin 980 sin(720 260 )sin 260 sin(90 170 )cos 170 ， 因为 0 150 170 180 ， ycos x 在 0 xcos 170 ，即 cos 870 sin 980 . 题
8、型三 正弦、余弦函数的值域或最值 例 3 求函数 f(x)2sin2x2sin x1 2，x 6， 5 6 的值域 考点 正弦、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦、余弦函数单调性应用及最值 解 令 tsin x，因为 x 6， 5 6 ， 所以 t 1 2，1 ，则 f(x)可化为 y2t22t1 22 t1 2 21，t 1 2，1 ， 所以当 t1 2时，ymin1， 当 t1 时，ymax7 2， 故 f(x)的值域是 1，7 2 . 反思感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等三角函 数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质 常见的三
9、角函数求值域或最值的类型有以下几种： (1)形如 ysin(x)的三角函数， 令 tx， 根据题中 x 的取值范围， 求出 t 的取值范围， 再利用三角函数的单调性、有界性求出 ysin t 的最值(值域) (2)形如 yasin2xbsin xc(a0)的三角函数，可先设 tsin x，将函数 yasin2xbsin x c(a0)化为关于 t 的二次函数 yat2btc(a0)，根据二次函数的单调性求值域(最值) (3)对于形如 yasin x(或 yacos x)的函数的最值还要注意对 a 的讨论 跟踪训练 3 函数 y2sin 2x 3 1 在 4， 2 上的值域为_ 考点 正弦、余弦
10、函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大、小值 答案 0,1 解析 因为 x 4， 2 ， 所以 2x 3 6， 2 3 ， 所以 sin 2x 3 1 2，1 . 所以 2sin 2x 3 10,1 所以函数的值域为0,1 已知三角函数的单调性求参数范围 典例 已知 是正数，函数 f(x)2sin x 在区间 3， 4 上是增函数，求 的取值范围 考点 正弦、余弦函数的单调性 题点 正弦、余弦函数单调性的应用 解 由 22kx 22k(kZ)，0，得 2 2k x 2 2k ，kZ， f(x)的单调递增区间是 2 2k ， 2 2k ，kZ. 根据题意，得 3， 4 2 2k ， 2 2k
11、 (kZ)， 从而有 2 3， 2 4， 0， 解得 0”连接) 考点 正弦、余弦函数的单调性 题点 正弦、余弦函数单调性应用 答案 cos 1cos 2cos 3 解析 由于 0123cos 2cos 3. 4若函数 ycos x 在区间，a上为增函数，则 a 的取值范围是_ 考点 正弦、余弦函数的单调性 题点 余弦函数单调性的应用 答案 (，0 解析 因为 ycos x 在，0上是增函数，在0，上是减函数，所以只有0，0)的单调区间的方法 把 x 看成一个整体，由 2k 2x2k 2(kZ)解出 x 的范围，所得区间即为增 区间，由 2k 2x2k 3 2 (kZ)解出 x 的范围，所得区间即为减区间若 0，先 利用诱导公式把 转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间 2 比较三角函数值的大小， 先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值 的大小比较，再利用单调性作出判断 3求三角函数值域或最值的常用方法 将 y 表示成以 sin x(或 cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的 单调性等来确定 y 的范围
