1、第五章第五章 三角函数三角函数 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像正弦函数、余弦函数的图像 1了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、 余弦函数的图象的方法 2正、余弦函数图象的简单应用 3正、余弦函数图象的区别与联系 重点：理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法。 难点：理解作余弦函数的图象的方法。 教材整理 1 正弦曲线和余弦曲线 1可以利用单位圆中的_线作 ysin x，x0,2的图象 2ysin x，x0,2的图象向_、_平行移动(每次 2 个单位长度)，就可以得到正弦函数 ysin x，xR 的图象 3正弦函数 ysin x，xR 的图象和余弦函数
2、 ycos x，xR 的图象分别叫做_和_ 教材整理 2 正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图 1“五点法”作图的一般步骤是 _ _ _ . 提出问题提出问题 下面先研究函数 ， R 的图象，从画函数 ， ，的图象开始在， 上任取一个值 ， 如何利用正弦函数的定义， 确定正弦函数值 并画出点 T （ ， ） ？ 问题探究问题探究 如图 5.4.1， 在直角坐标系中画出以原点 O 为圆心的单位圆， O 与 x 轴正半轴的交点为 A （，）在单位圆上，将点 A 绕着点 O 旋转 弧度至点 B，根据正弦函数的定义，点 B 的纵坐标 由此，以 为横坐标， 为纵坐标画点，即得到函数图象上的点 T（ ， ）.
3、 若把 x 轴上从到 这一段分成等份，使 的值分别为 , , ,2，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周 12 等分，再按上述画点 T（ ， ）的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图 5.4.2） 事实上， 利用信息技术， 可使 在区间 0,2 上取到足够多的值而画出足够多的点 T （ ， ） ,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数 ， 0,2的图象. 根据函数 ， 0,2的图象，你能想象函数 ， R 的图象吗？ 由诱导公式一可知 ， 函数 ， k ， （k） ， kZ 且 k的图象与 ， 0,2的图象形状完全一致因此将函数 ， 0,2的图象不断向左、向右平
4、移（每次移动 2 个单位长度），就可以得到正弦函数 ， R 的图象（图 5.4.4） 正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线 思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？ 观察图 5.4.3，在函数 ， 0,2的图象上，以下五个点： ( )，( ， )，( ， )( ， )，（ ， ） 在确定图象形状时起关键作用描出这五个点，函数 ， 0,2的图象形状就基本确定了因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对
5、密切关联的函数下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象 思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？ 对于函数 ， 由诱导公式 ( ) 得， ( ) R 而函数 ( ) R 的图象可以通过正弦函数 ， R 的图象向左平移 个单位长度而得到 所以， 将正弦函数的图象向左平移 个单位长度， 就得到余弦函数的图象， 如图 5.4.5 所示你能说明理由吗？ 余弦函数 ， R 的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线 类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函
6、数在区间，上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表 5.4.1，然后画出 ， ，的简图 例 1、用“五点法”作出下列函数的简图 (1)y1sin x，x0,2； (2)y-cos x，x0,2. 【精彩点拨】 在0,2上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可 在直角坐标系中描出五点，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到 y1sin x，x0,2的图象 你能利用函数 ysin x，x0,2的图象，通过图象变换得到 y1sin x，x0,2的图象吗？同样地，利用函数 ycosx，x0,2 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数 y-cosx，x0,2 的图象？ 方法与规律方法与规律 1“五点法”是作三角函
7、数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点与 x 轴的交点 2列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点 1以下对于正弦函数 ysin x 的图象描述不正确的是( ) A在 x2k，2k2，kZ 上的图象形状相同，只是位置不同 B关于 x 轴对称 C介于直线 y1 和 y1 之间 D与 y 轴仅有一个交点 2用“五点法”作函数 ycos 2x，xR 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( ) A0，2，32，2 B0，4，2，34， C0，2，3，4 D0，6，3，2，23 3点 M2，m 在函数 ysin x 的图象上，则 m 等于( )
8、A0 B1C1 D2 4函数 ycos x 与函数 ycos x 的图象( ) A关于直线 x1 对称 B关于原点对称 C关于 x 轴对称 D关于 y 轴对称 5方程 x2cos x0 的实数解的个数是_ 6用“五点法”画出 ycos72x ，x0,2的简图 1.正、余弦函数的图象每相隔 2 个单位重复出现，因此，只要记住它们在0，2内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线. 2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法. 参考答案参考答案 一、一、 知识梳理知识梳理 正弦；左；右；正弦曲线；余弦曲线；列表 ；描点 ；连线 二、二、 学习过程学习过程 例
9、 1【解析】 (1)列表： (2)列表： x 0 2 32 2 cos x 1 0 1 0 1 -cos x -1 0 1 0 -1 描点连线，如图 三、达标检测三、达标检测 1 【解析】 观察 ysin x 的图象可知 A，C，D 正确，且关于原点中心对称，故选 B. 【答案】 B 1sin x 1 2 1 0 1 2 【解析】 令 2x0，2，32和 2，得 x0，4，2，34，故选 B. 【答案】 B 3 【解析】 由题意msin 2，m1，m1. 【答案】 C 4 【解析】 作出函数 ycos x 与函数 ycos x 的简图(略)，易知它们关于 x 轴对称，故选 C. 【答案】 C 5 【解析】 作函数 ycos x 与 yx2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解 【答案】 2 6 【解】 由诱导公式得 ycos72x sin x， (1)列表： x 0 2 32 2 sin x 0 1 0 1 0 (2)描点：在坐标系内描出点(0,0)，2，1 ，(，0)，32，1 ，(2，0) (3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来
