1、1 5.4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解由单位圆和正、余弦函数定义画正弦函数、余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法(重点) 2正、余弦函数图象的简单应用(难点) 3正、余弦函数图象的区别与联系(易混点) 1. 通过做正弦、余弦函数的图象，培养直观想象素养 2借助图象的综合应用，提升数学运算素养. 1正弦曲线 正弦函数 ysin x，xR 的图象叫正弦曲线 2正弦函数图象的画法 (1)几何法： 利用单位圆画出 ysin x，x0,2的图象； 将图象向
2、左、右平行移动(每次 2 个单位长度) (2)五点法： 画出正弦曲线在0,2上的图象的五个关键点(0,0)，2，1 ，(，0)，32，1 ，(2，0)，用光滑的曲线连接； 将所得图象向左、右平行移动(每次 2 个单位长度) 3余弦曲线 余弦函数 ycos x，xR 的图象叫余弦曲线 2 4余弦函数图象的画法 (1)要得到 ycos x 的图象，只需把 ysin x 的图象向左平移2个单位长度即可 (2)用“五点法”画余弦曲线 ycos x 在0,2上的图象时， 所取的五个关键点分别为(0,1)，2，0 ，(，1)，32，0 ，(2，1)，再用光滑的曲线连接 思考：ycos x(xR)的图象可由
3、 ysin x(xR)的图象平移得到的原因是什么？ 提示：因为 cos xsinx2，所以 ysin x(xR)的图象向左平移2个单位可得 ycos x(xR)的图象 1用五点法画 y3sin x，x0,2的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.6，32 B.2，3 C(，0) D(2，0) A 五个关键点的横坐标依次是 0，2，32，2. 2函数 ycos x 与函数 ycos x 的图象( ) A关于直线 x1 对称 B关于原点对称 C关于 x 轴对称 D关于 y 轴对称 C 由解析式可知 ycos x 的图象过点(a，b)，则 ycos x 的图象必过点(a，b)，由此推断两个函数的图
4、象关于 x 轴对称 3请补充完整下面用“五点法”作出 ysin x(0 x2)的图象时的列表 x 0 2 32 2 sin x 1 0 0 _；_；_. 0 1 用“五点法”作 ysin x(0 x2)的图象的五个关键点为(0,0)，2，1 ，3 (，0)，32，1 ，(2，0)故为 ，为 0，为 1. 4函数 ycos x，x0,2的图象与直线 y12的交点有_个 2 由图象可知：函数 ycos x，x0,2的图象与直线 y12有两个交点 正弦函数、余弦函数图象的初步认识 【例 1】 (1)下列叙述正确的是( ) ysin x，x0,2的图象关于点 P(，0)成中心对称； ycos x，x0
5、,2的图象关于直线 x 成轴对称； 正、余弦函数的图象不超过直线 y1 和 y1 所夹的范围 A0 B1 个 C2 个 D3 个 (2)函数 ysin|x|的图象是( ) (1)D (2)B (1)分别画出函数 ysin x， x0,2和 ycos x， x0,2的图象， 由图象(略)观察可知均正确 (2)ysin|x| sin x，x0，sin x，x0， 结合选项可知选 B. 1解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线 2正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到 3正、余弦曲线的对称性 4 对称中心 对称轴 ysin x(xR) (k，0)，
6、kZ xk2，kZ ycos x(xR) k2，0 ，kZ xk，kZ 提醒：对称中心处函数值为 0，对称轴处函数值为1 或 1. 1关于三角函数的图象，有下列说法： ysin x1.1 的图象与 x 轴有无限多个公共点； ycos(x)与 ycos |x|的图象相同； y|sin x|与 ysin(x)的图象关于 x 轴对称； ycos x 与 ycos(x)的图象关于 y 轴对称 其中正确的序号是_ 对，ycos(x)cos x，ycos |x|cos x，故其图象相同； 对，ycos(x)cos x，故其图象关于 y 轴对称；作图(略)可知均不正确 用“五点法”作三角函数的图象 【例 2
7、】 用“五点法”作出下列函数的简图 (1)y1sin x(0 x2)； (2)y1cos x(0 x2) 思路点拨 列表：让x的值依次取0，2，32，2 描点 用平滑曲线连接 解 (1)取值列表如下： x 0 2 32 2 sin x 0 1 0 1 0 1sin x 1 0 1 2 1 描点连线，如图所示. 5 (2)取值列表如下： x 0 2 32 2 cos x 1 0 1 0 1 1cos x 0 1 2 1 0 描点连线，如图所示 用“五点法”画函数 yAsin xb(A0)或 yAcos xb(A0)在0,2上简图的步骤 (1)列表： x 0 2 32 2 sin x (或 cos
8、 x) 0(或 1) 1(或 0) 0(或1) 1 (或 0) 0(或 1) y b (或 Ab) Ab (或 b) b (或Ab) Ab (或 b) b (或 Ab) (2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，2，y2，(，y3)，32，y4，(2，y5)，这里的 yi(i1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的 (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数 yAsin xb(yAcos xb)(A0)的图象 提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x 轴、y 轴上尽量统一单位长度 2用“五点法”画出函数 y12sin x，x0,2的图象 解 取值列
9、表如下： x 0 2 32 2 sin x 0 1 0 1 0 6 12sin x 12 32 12 12 12 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来(如图) . 正弦(余弦)函数图象的应用 探究问题 1方程 sin xx 的实根个数有多少个？ 提示：在同一坐标系内分别作出 ysin x，yx 图象(略)可知在 x0,1内，sin x1 时不会相交，所以方程只有一个实根为 0. 2函数 f(x) xcos x 在0，)内有多少个零点？ 提示：令 f(x)0，所以 xcos x，分别作出 y x，ycos x 的图象(略)，可知两函数只有一个交点，所以 f(x)在0，)内只有一个零点 【例 3】
10、(1)函数 y2sin x1的定义域为_ (2)在同一坐标系中，作函数 ysin x 和 ylg x 的图象，根据图象判断出方程 sin xlg x的解的个数 思路点拨 (1) 列出不等式 画出函数图象 写出解集 (2) 画出ysin x和ylg x的图象 找准关键点10，1 判断两个函数图象的公共点个数判断方程sin xlg x的解的个数 (1)x 62kx562k，kZ 由 2sin x10 得 sin x12， 画出 ysin x 的图象和直线 y12. 7 可知 sin x12的解集为 x 62kx562k，kZ. (2)解 建立平面直角坐标系 xOy，先用五点法画出函数 ysin x
11、，xR 的图象 描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到 ylg x 的图象，如图所示 由图象可知方程 sin xlg x 的解有 3 个 1本例(1)中的“sin x”改为“cos x”，应如何解答？ 解 由 2cos x10 得 cos x12，画出 ycos x 的图象和直线 y12. 观察图象可知 cos x12的解集是x 2k3x2k3，kZ. 2本例(1)中函数改为 ylgsin x1232sin x，应如何解答？ 解要使原函数解析式有意义， 必须满足12sin x32. 首先作出 ysin x 在0,2上的图象，如图所示， 作直线 y12，根据特殊角的正弦值，可知该直
12、线与 ysin x，x0,2的交点横坐标为6和8 56； 作直线 y32，该直线与 ysin x，x0,2的交点横坐标为3和23. 观察图象可知，在0,2上，当6x3或23x56时，不等式12sin x32成立， 所以12sin x32的解集为 x 62kx32k或 232kx562k，kZ. 1用三角函数的图象解 sin xa(或 cos xa)的方法 (1)作出 ya，ysin x(或 ycos x)的图象 (2)确定 sin xa(或 cos xa)的 x 值 (3)确定 sin xa(或 cos xa)的解集 2利用三角函数线解 sin xa(或 cos xa)的方法 (1)找出使 s
13、in xa(或 cos xa)的两个 x 值的终边所在的位置 (2)根据变化趋势，确定不等式的解集 1作正、余弦函数的图象可以借助单位圆，用几何法作出，也可以用“五点法”作出简图 2“五点法”是一种作图思想或策略，它不只限于画正弦函数、余弦函数的简图，也可用于画复合型正、余弦函数的简图 3由三角函数图象求三角不等式的解集，是另一种数形结合的思想方法，它常化归为三角函数图象位于某直线上方(或下方)的问题结合图象就可以写出其规律. 1思考辨析 (1)正弦函数 ysin x 的图象在 x2k，2k2(kZ)上的图象形状相同，只是位置不同( ) (2)正弦函数 ysin x(xR)的图象关于 x 轴对
14、称( ) 9 (3)余弦函数 ycos x(xR)的图象关于原点成中心对称( ) 提示 由 ysin x(xR)图象可知(1)正确，(2)错误； 由 ycos x(xR)图象可知(3)错误 答案 (1) (2) (3) 2函数 ysin x，x0，的图象与直线 y0.99 的交点有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 B 观察图象(略)易知：有两个交点 3不等式组 sin x0，2x5的解集是_ (，5 当2x 时 0sin x1， 当 x5 时 sin x0， 所以原不等式的解集为(，5 4用“五点法”画出 y2cos x3(0 x2)的简图 解 列表： x 0 2 32 2 2cos x 2 0 2 0 2 2cos x3 1 3 5 3 1 描点、连线得出函数 y2cos x3(0 x2)的图象：
