1、1 5.6 函数函数 yAsin(x) 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数函数 yAsin(x)的图象的图象 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解参数 A， 对函数 yAsin(x)的图象的影响；能够将ysin x的图象进行变换得到yAsin(x)， xR的图象(难点) 2.能根据 yAsin(x)的部分图象，确定其解析式(重点) 3.求函数解析式时 值的确定(易错点) 1.通过函数图象的变换，培养直观想象素养. 2.借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养. 1 对 ysin(x)，xR 的图象的影响 2(0)对 ysin(x)的图象的影响 3A(
2、A0)对 yAsin(x)的图象的影响 1把函数 ysin x 的图象向左平移3个单位长度后所得图象的解析式为( ) 2 Aysin x3 Bysin x3 Cysinx3 Dysinx3 D 根据图象变换的方法，ysin x 的图象向左平移3个单位长度后得到 ysinx3的图象 2为了得到函数 y4sin12x6，xR 的图象，只需将函数 y4sinx6，xR 的图象上的所有点( ) A横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 B横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 C纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变 D纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 A 函数 y4sinx6的图象上各点横坐标伸长
3、为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 y4sin12x6的图象 3函数 yAsin(x)1(A0，0)的最大值为 5，则 A_. 4 由已知得 A15，故 A4. 三角函数图象之间的变换 【例 1】 (1)将函数 y 2cos2x3的图象向左平移3个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，则所得图象的解析式为_ (2)将 ysin x 的图象怎样变换可得到函数 y2sin2x41 的图象？ 思路点拨 (1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式 (2)法一：ysin x纵坐标伸缩横坐标伸缩和平移向上平移 法二：左右平移横坐标伸缩纵坐标伸缩上下平移 3 (1)y 2cos 2x3 y 2cos2x3
4、的图象向左平移3个单位长度， 得 y 2cos2x33 2cos(2x) 2cos 2x， 再向下平移 3 个单位长度得 y 2cos 2x3 的图象 (2)解 法一：(先伸缩法)把 ysin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到 y2sin x 的图象； 将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍， 得 y2sin 2x 的图象；将所得图象沿 x 轴向左平移8个单位，得 y2sin 2x8的图象； 将所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位， 得 y2sin2x41 的图象 法二：(先平移法)将 ysin x 的图象沿 x 轴向左平移4个单位，得 ysinx4的图象；将所得图
5、象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得 ysin2x4的图象；把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来 2 倍，得到 y2sin2x4的图象；将所得图象沿 y 轴向上平移1 个单位，得 y2sin2x41 的图象 由 ysin x 的图象，通过变换可得到函数 yAsin(x)(A0，0)的图象，其变化途径有两条： (1)ysin x 相位变换ysin(x) 周期变换ysin(x) 振幅变换yAsin(x) (2)ysin x 周期变换ysin x 相位变换ysinxsin(x) 振幅变换yAsin(x) 提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|个
6、单位(2)是先周期变换后相位变换，平移|个单位，这是很易出错的地方，应特别注意 4 1(1)要得到 ycos2x4的图象，只要将 ysin 2x 的图象( ) A向左平移8个单位 B向右平移8个单位 C向左平移4个单位 D向右平移4个单位 (2)把函数 yf(x)的图象上各点向右平移6个单位，再把横坐标伸长到原来的 2 倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是 y2sin12x3，则 f(x)的解析式是( ) Af(x)3cos x Bf(x)3sin x Cf(x)3cos x3 Df(x)sin 3x (1)A (2)A (1)因为 ycos2x4 sin2x42sin2x4
7、sin 2x8， 所以将 ysin 2x 的图象向左平移8个单位， 得到 ycos2x4的图象 (2)y2sin12x3 纵坐标伸长到原来的32倍y3sin12x3 横坐标缩短到原来的12倍y3sinx3 向左平移6个单位y3sinx63 5 3sinx2 3cos x 已知函数图象求解析式 【例 2】 (1)已知函数 f(x)Acos(x)BA0，0，|2的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为( ) Ay2cosx244 By2cosx244 Cy4cosx242 Dy4cosx242 (2)函数 f(x)Asin(x)中 A0，0，|2，且图象如图所示，求其解析式 思路点拨 由最大
8、(小)值求 A 和 B，由周期求 ，由特殊点坐标解方程求 . (1)A 由函数 f(x)的最大值和最小值得 AB6，AB2，所以 A2，B4， 函数 f(x)的周期为2244，又 0， 所以 12，又因为点2，6 在函数 f(x)的图象上 所以 62cos122 4，所以 cos4 1， 所以42k，kZ，所以 2k4，kZ，又|2 所以 4，所以 f(x)2cos12x44. 6 (2)解 法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅 A3，T566，所以 2，又由点6，0 ，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)620 得 3， 所以 f(x)3sin2x3. 法二：(方程法)由图象知，
9、振幅 A3，T566，所以 2， 又图象过点6，0 ， 所以 f63sin26 0， 所以 sin3 0，3k(kZ)，又因为|2，所以 k0，3，所以 f(x)3sin2x3. 法三：(变换法)由图象知，振幅 A3，T566，所以 2，且 f(x)Asin(x)是由 y3sin 2x 向左平移6个单位而得到的，解析式为 f(x)3sin2x63sin2x3. 确定函数 yAsinx的解析式的关键是 的确定，常用方法有： 1代入法：把图象上的一个已知点代入此时 A， 已知或代入图象与 x 轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上. 2五点法： 确定 值时， 往往以寻找“五点法”中
10、的第一个零点，0 作为突破口.“五点”的 x 的值具体如下：,“第一点”即图象上升时与 x 轴的交点为 x0；,“第二点”即图象的“峰点”为 x2；,“第三点”即图象下降时与 x 轴的交点为 x；,“第四点”即图象的“谷点”为 x32；,“第五点”为 x2. 2 已知函数 f(x)Asin(x)， xR其中A0，0，02的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为2，且图象上一个最低点为 M23，2 ，求 f(x)的解析式 7 解 由最低点 M23，2 ，得 A2. 在 x 轴上两相邻交点之间的距离为2，故T22，即 T，2T22. 由点 M23，2 在图象上得 2sin223 2，即 si
11、n43 1，故432k2(kZ)， 2k116(kZ)又 0，2， 6.故 f(x)2sin2x6. 三角函数图象与性质的综合应用 探究问题 1如何求函数 yAsin(x)与 yAcos(x)的对称轴方程？ 提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数 yAsin( x )和 yAcos(x)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于 x 轴 函数 yAsin(x)对称轴方程的求法：令 sin(x) 1，得 xk2(kZ)，则x2k122(kZ)，所以函数 yAsin(x)的图象的对称轴方程为 x2k122(kZ)； 函数 yAcos(x)对称轴方程的求法：令 cos(x) 1，得 xk(kZ)，则
12、xk(kZ)，所以函数 yAcos(x)的图象的对称轴方程为 xk(kZ) 2如何求函数 yAsin(x)与 yAcos(x)的对称中心？ 提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数 yAsin(x)和 yAcos(x)图象的对称中心即函数图象与 x 轴的交点 函数 yAsin(x)对称中心的求法： 令 sin(x)0， 得 xk(kZ)， 则 xk(kZ)，所以函数 yAsin(x)的图象关于点k，0 (kZ)成中心对称； 8 函数 yAcos(x)对称中心的求法：令 cos(x)0，得 xk2(kZ)，则 x2k122(kZ)，所以函数 yAcos(x)的图象关于点2k122，0 (kZ)成中心
13、对称 【例 3】 (1)已知函数 f(x)sinx3(0)，若 f6f3，且 f(x)在区间6，3上有最小值，无最大值，则 ( ) A.23 B.143 C.263 D.383 (2)已知函数 f(x)sin(x)(0,0)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M34，0 对称，且在区间0，2上是单调函数，求 和 的值 思路点拨 (1)先由题目条件分析函数 f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求 的值 (2)先由奇偶性求 ，再由图象的对称性和单调性求 . (1)B 因为 f6f3，所以直线 x6324是函数 f(x)图象的一条对称轴， 又因为 f(x)在区间6，3上有最小值，无最大值，
14、所以当 x4时，f(x)取得最小值 所以432k2，kZ，解得 8k103，(kZ) 又因为 T2366，所以 12，又因为 0， 所以 k1，即 8103143. (2)解 由 f(x)是偶函数，得 f(x)f(x)，即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称， f(x)在 x0 时取得最值，即 sin 1 或1. 依题设 0，解得 2. 由 f(x)的图象关于点 M 对称，可知 9 sin3420，即342k，解得 4k323，kZ. 又 f(x)在0，2上是单调函数， 所以 T，即2. 2，又 0， k1 时，23；k2 时，2. 故 2，2 或23. 1将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其
15、图象关于点 M34，0 对称，且在区间0，2上是单调函数”改为“在区间32，2上为增函数”，试求 的最大值 解 因为 f(x)是奇函数，所以 f(0)sin 0，又 0，所以 0. 因为 f(x)sin x 在2，2上是增函数 所以32，22，2， 于是 0，32222，解得 013， 所以 的最大值为13. 2本例(2)中增加条件“1”，求函数 yf2(x)sin 2x，x8，8的最大值 解 由条件知 f(x)sin2x2cos 2x， 由 x8，8得 2x4，4， sin 2x22，22 10 yf2(x)sin 2xcos22xsin 2x1sin22xsin 2x(sin 2x12)2
16、54 所以当 sin 2x12时 ymax54. 1正弦余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数 yAsin(x)和余弦型函数 yAcos(x)不一定具备奇偶性对于函数 yAsin(x)， 当k(kZ)时为奇函数， 当k2(kZ)时为偶函数； 对于函数yAcos(x)，当 k(kZ)时为偶函数，当 k2(kZ)时为奇函数 2与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间 (2)确定函数 yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将x 看作一个整体，可令“zx”，即通过求 yAsin z 的单调区间而求出函数的单调区间若 0，
17、则可利用诱导公式先将 x 的系数转变为正数，再求单调区间 1准确理解“图象变换法” (1)由 ysin x 到 ysin (x)的图象变换称为相位变换， 由 ysin x 到 ysin x 图象的变换称为周期变换；由 ysin x 到 yAsin x 图象的变换称为振幅变换 (2)由 ysin x 的图象，通过变换可得到函数 yAsin (x)的图象，其变换途径有两条，注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：是先相位变换后周期变换，平移|个单位是先周期变换后相位变换，平移|个单位，这是很易出错的地方，应特别注意 (3)类似地 yAcos (x)(A0，0)的图象也可以由 ycos
18、x 的图象变换得到 2由 yAsin (x)的图象性质或部分图象确定解析式的关键在于确定参数 A，.其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解. 1思考辨析 (1)ysin 3x 的图象向左平移4个单位所得图象的解析式是 ysin3x4.( ) 11 (2)ysin x 的图象上所有点的横坐标都变为原来的 2 倍所得图象的解析式是 ysin 2x.( ) (3)ysin x 的图象上所有点的纵坐标都变为原来的 2 倍所得图象的解析式是 y12sin x( ) 提示 (1)错误ysin 3x 的图象向左平移4个单位得 ysin3x4sin3x34 . (2)错误ysin 2x 应改为 y
19、sin12x. (3)错误y12sin x 应改为 y2sin x. 答案 (1) (2) (3) 2函数 ycos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的 2 倍，得到图象的解析式为 ycos x，则 的值为_ 12 函数 ycos x纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍ycos12x.所以 12. 3由 y3sin x 的图象变换到 y3sin12x3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移_个单位，后者需向左平移_个单位 3 23 y3sin x 向左平移3个单位y3sinx3 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y3sin12x3， y3sin x 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y3sin12x 向左平移23个单位 y3sin12x233sin12x3. 4已知函数 f(x)3sinx263(xR)，用图象变换法画出它在一个周期内的闭区间上的图象 12 解
