1、1 1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解集合之间的包含与相等的含义(重点) 2能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系(难点、易混点) 3在具体情境中，了解空集的含义(难点) 1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养 2借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养. 1Venn 图的优点及其表示 (1)优点：形象直观 (2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合 2子集、真子集、集合相等的相关概念 思考 1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？ (2)符号“”与“”有何不同？ 提示：(1)不一定如集合 A0,
2、1,2，B1,0,1，这两个集合就没有包含关系 (2)符号“”表示元素与集合间的关系； 而“”表示集合与集合之间的关系 3空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为. (2)规定：空集是任何集合的子集 思考 2：0与相同吗？ 2 提示：不同0表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素 0；而表示空集，其不含有任何元素，故0. 4集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即 AA. (2)对于集合 A，B，C， 若 AB，且 BC，则 AC； 若 A B，B C，则 A C. (3)若 AB，AB，则 A B. 1设集合 M1,2,3，N1，则下列关系正确的是( ) ANM BN
3、M CNM DNM D 11,2,3，1M， 又 2N，NM. 2下列四个集合中，是空集的为( ) A0 Bx|x8，且 x4 B 满足 x8 且 x8，且 x5. 3集合0,1的子集有_个 4 集合0,1的子集有，0，1，0,1，共 4 个 4已知集合 Ax|x23x20，B1,2，Cx|x8，xN，用适当的符号填空： (1)A_B；(2)A_C； (3)2_C；(4)2_C. (1) (2) (3) (4) 集合 A 为方程 x23x20 的解集，即 A1,2，而 Cx|x8，xN0,1,2,3,4,5,6,7故(1)AB；(2)A C；(3)2 C；(4)2C. 集合间关系的判断 3 【
4、例 1】 判断下列各组中集合之间的关系： (1)Ax|x 是 12 的约数，Bx|x 是 36 的约数； (2)Ax|x 是平行四边形，Bx|x 是菱形，Cx|x 是四边形，Dx|x 是正方形； (3)Ax|1x4，Bx|x5 解 (1)因为若 x 是 12 的约数，则必定是 36 的约数，反之不成立，所以 A B. (2)由图形的特点可画出 Venn 图如图所示，从而 D B A C. (3)易知 A 中的元素都是 B 中的元素，但存在元素，如2B，但2A，故 A B. 判断集合关系的方法. 1观察法：一一列举观察. 2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素
5、的特征判断关系. 3数形结合法：利用数轴或 Venn 图. 提醒：若 AB 和 A B 同时成立，则 A B 更能准确表达集合 A，B 之间的关系. 1 能正确表示集合MxR|0 x2和集合NxR|x2x0关系的Venn图是( ) B 解 x2x0 得 x1 或 x0，故 N0,1，易得 N M，其对应的 Venn 图如选项 B 所示 子集、真子集的个数问题 【例 2】 已知集合 M 满足：1,2 M1,2,3,4,5，写出集合 M 所有的可能情况 解 由题意可以确定集合 M 必含有元素 1,2，且至少含有元素 3,4,5 中的一个，因此依据集合 M 的元素个数分类如下： 4 含有 3 个元素
6、：1,2,3，1,2,4，1,2,5； 含有 4 个元素：1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5； 含有 5 个元素：1,2,3,4,5 故满足条件的集合M为1,2,3， 1,2,4， 1,2,5， 1,2,3,4， 1,2,3,5， 1,2,4,5， 1,2,3,4,5 1求集合子集、真子集个数的 3 个步骤 2与子集、真子集个数有关的 4 个结论 假设集合 A 中含有 n 个元素，则有 (1)A 的子集的个数有 2n个 (2)A 的非空子集的个数有 2n1 个 (3)A 的真子集的个数有 2n1 个 (4)A 的非空真子集的个数有 2n2 个 2已知集合 A(x，y)|xy2，x，
7、yN，试写出 A 的所有子集及真子集 解 A(x，y)|xy2，x，yN， A(0,2)，(1,1)，(2,0) A 的子集有，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(0,2)，(2,0)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(2,0) A 的真子集有，(0,2)，(1,1)，(2,0)，(0,2)，(1,1)，(0,2)，(2,0)，(1,1)，(2,0) , 由集合间的关系求参数 探究问题 集合 Ax|1x1 时，集合 A 中的元素用数5 轴可表示为： 【例 3】 已知集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若 B A，求实数 m 的取值范围 思路点拨 B
8、x|m1x2m1 分B和B结合数轴列不等式组 求m的取值范围 解 (1)当 B时， 由 m12m1，得 m2. (2)当 B时，如图所示 m12，2m12，2m15，2m1m1， 解这两个不等式组，得 2m3. 综上可得，m 的取值范围是m|m3 1若本例条件“Ax|2x5”改为“Ax|2x2m1，得 m2，2m13，m3，m2，即 2m3， 综上可得，m 的取值范围是m|mm1，m12，2m15，即 m2，m3，m3，m 不存在 即不存在实数 m 使 AB. 1利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)
9、，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题 (2)空集是任何集合的子集，因此在解 AB(B)的含参数的问题时，要注意讨论 A和A两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面 2数学素养的建立 通过本例尝试建立数形结合的思想意识， 以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题 1AB 隐含着 AB 和 A B 两种关系 2求集合的子集时，可按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集 3由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点：不能忽视集合为的情形； 当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论 (2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答 1思考辨析 (1)空集中只有元素 0，而无其余元素( ) (2)任何一个集合都有子集( ) (3)若 AB，则 AB 或 BA.( ) (4)空集是任何集合的真子集( ) 7 答案 (1) (2) (3) (4) 2集合 Ax|0 x2. (2)若 BA，则集合 B 中的元素都在集合 A 中，则 a2. 因为 a1， 所以 1a2.
