1、1 12 2 集合间的基本关系集合间的基本关系 学习目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和 Venn 图表达集合间 的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法 知识点一 子集、真子集、集合相等 1子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合 A 是集合 B 的子集 AB (或 BA) 真子集 如果集合 AB，但存在元素 xB，且 x A，就称集合 A 是集合 B 的真子集 AB (或 BA) 集合相等 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的 元素，同时集合 B 的任何一个元素都是集 合 A
2、 的元素，那么集合 A 与集合 B 相等 AB 2.Venn 图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图 3子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 AA. (2)对于集合 A，B，C，如果 AB，且 BC，那么 AC. 知识点二 空集 1定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为. 2规定：空集是任何集合的子集 思考 0与相等吗？ 答案 不相等0表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素 0；而表示空集，其不含有 任何元素，故0. 1空集中不含任何元素，所以不是集合( ) 2任何一个集合都有子集( ) 3若 AB，则 AB 且 BA.( ) 4空集是任何集合的真子集( )
3、一、集合间关系的判断 例 1 (1)下列各式中，正确的个数是( ) 00,1,2；0,1,22,1,0；0,1,2；0；0,1(0,1)；00 A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 对于，是集合与集合的关系，应为00,1,2；对于，实际为同一集合，任何一 个集合是它本身的子集；对于，空集是任何集合的子集；对于，0是含有单元素 0 的集 合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以0；对于，0,1是 含有两个元素0与1的集合， 而(0,1)是以有序实数对(0,1)为元素的单点集， 所以0,1与(0,1) 不相等；对于，0 与0是“属于与否”的关系，所以 00故是正确的 (2)指出
4、下列各组集合之间的关系： A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)； Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN* 解 集合A的代表元素是数， 集合B的代表元素是有序实数对， 故A与B之间无包含关系 方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合， 但由于 nN*， 因此集合 M 含有元素“1”， 而集合 N 不含元素“1”，故 NM. 方法二 由列举法知 M1,3,5,7，N3,5,7,9，所以 NM. 反思感悟 判断集合间关系的方法 (1)用定义判断 任意 xA 时，xB，则 AB. 当 AB 时，存在 xB，且 xA，则 AB. 若既有 AB，又有 BA，则 AB. (2)数
5、形结合判断 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍 跟踪训练 1 能正确表示集合 MxR|0 x2和集合 NxR|x2x0关系的 Venn 图 是( ) 答案 B 解析 x2x0 得 x1 或 x0，故 N0,1， 易得 NM，其对应的 Venn 图如选项 B 所示 二、子集、真子集的个数问题 例 2 已知集合 M 满足1,2M1,2,3,4,5，写出集合 M 所有的可能情况 解 由题意可以确定集合 M 必含有元素 1,2，且至少含有元素 3,4,5 中的一个，因此依据集合 M 的元素个数分类如下： 含有 3 个元素：1,2,3，1,2,4，1,2,5；
6、 含有 4 个元素：1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5； 含有 5 个元素：1,2,3,4,5 故满足条件的集合 M 为1,2,3， 1,2,4， 1,2,5， 1,2,3,4， 1,2,3,5， 1,2,4,5， 1,2,3,4,5 反思感悟 公式法求有限集合的子集个数 (1)含 n 个元素的集合有 2n个子集 (2)含 n 个元素的集合有(2n1)个真子集 (3)含 n 个元素的集合有(2n1)个非空子集 (4)含 n 个元素的集合有(2n2)个非空真子集 跟踪训练 2 已知集合 Ax|0 x5，且 xN，则集合 A 的子集的个数为( ) A15 B16 C31 D32 答案
7、D 解析 A0,1,2,3,4，含有 5 个元素的集合的子集的个数为 2532. 三、集合间关系的应用 例 3 已知集合 Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若 BA，求实数 m 的取值范 围. 解 (1)当 B时，如图所示 m12， 2m12， 2m15， 2m1m1， 解这两个不等式组，得 2m3. (2)当 B时， 由 m12m1，得 m2. 综上可得，m 的取值范围是m|m3 延伸探究 1若本例条件“Ax|2x5”改为“Ax|2x2m1，得 m2， 2m13， m3， m2， 即 2m3， 综上可得，m 的取值范围是m|mm1， m12， 2m15， 即 m2， m3， m3， m 不存
8、在 即不存在实数 m 使 AB. 反思感悟 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端 点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示 (2)涉及到“AB”或“AB 且 B”的问题，一定要分 A和 A两种情况讨论，不要 忽视空集的情况 跟踪训练 3 若集合 Ax|1xa，满足 AB，则实数 a 的取值范围是( ) Aa|a2 Ba|a1 Ca|a1 Da|a2 答案 B 解析 如图所示，AB， 所以 a1. 1下列四个集合中，是空集的是( ) A0 Bx|x8，且 x4 答案 B 解析 选项 A，C，D 都含有元素，而选项 B 中无元素，故选 B. 2已知
9、集合 Ax|1x0，则下列各式正确的是( ) A0A B0A CA D0A 答案 D 解析 集合 Ax|1x1，所以 0A，0A，A，D 正确 3已知 Ax|x 是菱形，Bx|x 是正方形，Cx|x 是平行四边形，那么 A，B，C 之间 的关系是( ) AABC BBAC CABC DABC 答案 B 解析 集合 A，B，C 关系如图 4已知集合 A1,3，m，B3,4，若 BA，则实数 m_. 答案 4 解析 BA， 元素 3,4 必为 A 中元素， m4. 5 已知集合 Ax|x1 或 x2， Bx|xa， 若 BA， 则实数 a 的取值范围是_ 答案 a1 解析 BA，a1. 1知识清单： (1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断 (2)求子集、真子集的个数问题 (3)由集合间的关系求参数的值或范围 2方法归纳：数形结合、分类讨论 3常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点
