1、第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 第第 1 节节 集合的概念集合的概念 本课是本节的第一课，也是同学们刚进入高中阶段的第一课.常言道“良好的开端是成功的一半”.本课主要是让学生从已有的集合知识和实际生活中的例子入手，体会集合的含义.集合作为一种基本的数学语言，学习并掌握它的最好方法是使用.因此，教学中要多引导学生使用集合语言描述对象，进行自然语言与集合语言间的转换. 养成良好的数学习惯。 集合语言是现代数学的基本语言，可以简洁、准确、规范的表达数学内容.本节学习集合的一些基本知识，用最基本的集合语言表示有关数学对象和数学问题等，并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换，
2、初步运用集合的观点和思想来分析数学，解决简单的数学问题. 课程目标课程目标 学科素养学科素养 A.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题. B.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题. C.会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。 1.数学抽象：集合的含义； 2.逻辑推理：选择集合不同的语言形式描述具体的问题； 3.数学运算：由集合与元素之间的关系求值； 4.直观想象： 在理解集合含义及特性过程中， 运用元素分析法分析集合问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。 1.教学重点：集合的含义
3、与表示方法，元素与集合的关系； 2.教学难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合。 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、情景引入，温故知新 情景 1：集合论诞生于 19 世纪末，其创始人是康托尔（1829-1920，德国数学家） 。 集合论被誉为 20 世纪最伟大的数学创造， 它的出现大大扩充了数学的研究领域，可以说，集合论是整个数学大厦的基础，它不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑学。 情景 2：高一开学第二天，学校通知：上午 8 点， 在学校体育馆举行军训动员大会. 问题：这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象？ 高一学生全体 初中阶段，我们学习过哪些集合？ 代
4、数方面： 自然数集合， 有理数集合， 实数集合， 方程解的集合，不等式解的集合； 几何方面：点的集合等 在初中学习中，我们用集合描述过什么？ 圆的概念：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合 二、探索新知 探究一 集合的含义 1.考察下列问题： （1）120 以内的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有正方形； （4）到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点; （5）方程0232 xx的所有实数根； （6）地球上的四大洋。 思考: 上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？ 2、归纳新知 （1）集合的含
5、义 通过初中所学及实例，让学生感知、了解，进而概括出元素与集合的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。 一般地，我们把研究对象统称为元素（element） ，把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）. （2）集合与元素的表示 通常用大写拉丁字母 A，B，C，表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，表示集合中的元素. 探究二 集合中元素的性质 1. 所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？ 不能. 其中的元素不确定 集合中的元素是确定的 2. 由 1,3,0,5,-3 这些数组成的一个集合中有 5 个元素， 这种说法正确吗？ 不正确.集合中只有 4 个不同元素 1，3
6、，0，5 . 集合中的元素是互异的 3.高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？ 集合没有变化 集合中的元素是没有顺序的 归纳总结：通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？ 确定性、互异性、无序性 4.两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等. 练习 1：判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1) 大于 3 小于 11 的偶数; (2) 我国的小河流. 【解析】 （1）是由 4,6,8,10 四个元素组成的集合. （2）由集合元素的确定性知其不能组成集合. 探究三： 元素和集合的关系 1.已知下面的两个实例： （1）用 A 表示高一(3)班全体学生组成的集
7、合. （2）用 a 表示高一(3)班的一位同学，b 表示高一(4)班的一位同学. 思考：那么 a，b 与集合 A 分别有什么关系? 【解析】a 是集合 A 中的元素,b 不是集合 A 中的元素. 用数学语言表示集合和元素。 通过具体的例子推理出元素的性质，教会学生解决和研究问题。 设计意图：集合是一个原始的、不定义的概念，只是对集合进行描述性说明.在开始接触集合的时候，主要通过实例，让学生感知、了解，进而概括出元素与集合的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。元素、集合的字母表示，以及元素与集合的“属于”或“不属于”关系，建议在运用中逐渐熟悉. 2.元素与集合的“属于”关系
8、如果 a 是集合 A 中的元素，就说 a 属于集合 A，记作 aA；如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 A，记作 aA. 常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集 N*或 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R. 练习 2. 用符号“”或“”填空. (1)2 N；(2)2_Q；(3)0 0； (4)b a,b,c. 【答案】(1) (2) （3） （4） 探究四 集合的表示方法 1.列举法 思考 1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？ 【提示】可以这样表示： 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋. 思考 2: 方程 （x+1)(x+2)=0 的所有根组成的集合， 又如
9、何用列举法表示呢？ 【提示】 -1,-2 问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？ 把集合的元素一一列举出来， 并用花括号“ ” 括起来表示集合的方法叫做列举法. 注意：大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开； 元素按一定的顺序列举，如：从小到大等。 思考 3：a 与a有什么区别？ 【答案】a 是一个元素，a是集合。 例 1 用列举法表示下列集合： （1）小于 10 的所有自然数组成的集合. （2）方程 x2=x 的所有实数根组成的集合. 解： （1）设小于 10 的所有自然数组成的集合为 A， 那么A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. （2）设方程 x2=x 的所有实数根组
10、成的集合为 B，那么 B=1,0. 注意：由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合可以有不同的列举方法.例如， 例 1（1）可以表示为 A=9,8,7,6,5,4,3,2,1,0； 用列举法表示集合时，最好按一定的顺序列举元素。 通过练习巩固元素的性质，提高学生解决问题的能力。 集合的两种主要表示法，都通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.不仅要让学生明白用列举法是集合最基本、最原始的表示方法，还要理解到集合中元素的列举与元素的顺序无关.通过问题的思考，学生认识到仅用列举法表示集合是不够的，有些集合是列举不完或者列举不出来的，由此说明学习描述法的必要性.学习描述法时，
11、先用自然语言表示集合元素具有的共同属性，再介绍用描述法的具体2. 描述法 思考： 能否用列举法表示不等式 x37 的解集？该集合中的元素有什么性质？ 【解析】不能。但是可以看出，这个集合中的元素满足性质： （1） 集合中的元素都小于 10.（2） 集合中的元素都是实数 这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示， 写作: 10,.xxxR 思考：所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？ 有理数集怎么表示呢？奇数集、偶数集表示方法是否唯一？ , 12|ZkkxZx ，或|21,xZ xkkZ ； ,2|ZkkxZx 0,|pZqppqxRxQ 问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概
12、念吗？ 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.如：)(|xpAx或)(xpAx：或)(xpAx；。 注意：在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可 以表示为x|x 是直角三角形,也可以写成直角三角形. 例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合. (1)方程 x2-2=0 的所有实数根组成的集合. (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合. 解：(1)设方程 x2-2=0 的实
13、数根为 x,并且满足条件 x2-2=0，因此，用描述法表示为 A=xR|x2-2=0. 方程 x2-2=0 有两个实数根为22 ，因此，用列举法表示为A=22 ，. (2)设大于 10 小于 20 的整数为 x，它满足条件 xZ,且 10 x20,因此，用描述法表示为 方法. 学生通过对实例或问题的思考，去体验知识方法。发现并提出数学问题，应用数学语言予以表达。 B=xZ10 x20. 大于 10 小于 20 的整数有 11,12,13,14,15,16,17, 18,19，因此，用列举法表示为 B=11,12,13,14,15,16,17,18,19. 思考：自然语言、列举法和描述法表示集合
14、时，各自的特点和适用对象？ 自然语言描述集合简单易懂、 生活化； 列举法的特点每个元素一一列举出来， 非常直观明显的表示元素， 当元素有限或者元素有规律性的时候， 是常采用的方法； 描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法. 三、达标检测 1下列对象不能构成集合的是( ) 我国近代著名的数学家； 所有的欧盟成员国； 空气中密度大的气体 A B C D 【解析】 研究一组对象能否构成集合的问题， 首先要考查集合中元素的确定性中的“著名”没有明确的界限；中的研究对象显然符合确定性；中“密度大”没有明确的界限故选 D. 【答案】 D 2下列三个关系
15、式： 5R；14Q；0Z.其中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D0 【解析】 正确；因为14Q，错误；0Z，正确 【答案】 B 3.a，b，c，d 为集合 A 的四个元素，那么以 a，b，c，d 为边长构成的四边形可能是( ) A矩形 B平行四边形 C菱形 D梯形 【解析】 由于集合中的元素具有“互异性”，故 a，b，c，d 四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等. 【答案】 D 4.设集合 Ax|x23xa0，若 4A，则集合 A 用列举法表示为_. 【解析】 4A，1612a0， 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
16、a4， Ax|x23x401,4 【答案】 1,4 5用适当的方法表示下列集合： (1)方程组 2x3y143x2y8的解集； (2)所有的正方形； (3)抛物线 yx2上的所有点组成的集合 【解】 (1)解方程组 2x3y143x2y8，得 x4y2， 故解集为(4，2) (2)集合用描述法表示为x|x 是正方形，简写为正方形 (3)集合用描述法表示为(x，y)|yx2 四、小结 1.集合的概念 2.集合元素的三个特征： 3.常见数集的专用符号 4.集合的表示方法 五、作业 习题 1.1 1,2 题 通过总结，让学生进一步巩固集合与元素的含义与性质，集合的表示方法，提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识。
