6.4.3(第三课时)余弦定理、正弦定理应用举例 课后作业(含答案)

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1、第三课时第三课时 余弦定理、正弦定理应用举例余弦定理、正弦定理应用举例 基础达标 一、选择题 1.如图,两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的南偏西 40 ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60 ,则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A.北偏东 10 B.北偏西 10 C.南偏东 80 D.南偏西 80 解析 由条件及题图可知,AB40 ,又BCD60 ,所以CBD30 ,所以DBA10 ,因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80. 答案 D 2.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测 20 m 高的旗杆,甲观测的仰角为50 ,乙观测的仰角为 40 ,用

2、d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有( ) A.d1d2 B.d120 m D.d2tan 40 可知,d1d2. 答案 B 3.一艘船以 4 km/h 的速度,沿与水流方向成 120 的方向航行,已知河水流速为 2 km/h,则经过 3 h,该船实际航程为( ) A.2 15 km B.6 km C.2 21 km D.8 km 解析 如图所示,在ACD 中,AC2 3,CD4 3,ACD60 , 由余弦定理,得 AD2AC2CD22AC CDcos ACD124822 34 31236. 解得 AD6,即该船实际航程为 6 km. 答案 B 4.从高出海平面 h 米的小岛看正东

3、方向有一只船俯角为 30 ,看正南方向一只船俯角为 45 ,则此时两船间的距离为( ) A.2h 米 B. 2h 米 C. 3h 米 D.2 2h 米 解析 如图所示,BC 3h,ACh, AB 3h2h22h. 答案 A 5.如图所示, 在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15 ,向山顶前进 100 m 到达 B 处,又测得 C 对于山坡的斜度为 45 ,若 CD50 m,山坡对于地平面的坡度为 ,则 cos 等于( ) A.32 B.22 C. 31 D. 21 解析 在ABC 中,由正弦定理得ABsin 30ACsin 135,AC100 2.

4、 在ADC 中,ACsin(90 )CDsin 15, cos sin(90 )AC sin 15CD 31. 答案 C 二、填空题 6.一架飞机在海拔 8 000 m 的高度飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸的俯角分别是 30 和 45 ,则这个海岛的宽度为_ m.(精确到 0.1 m) 解析 宽8 000tan 308 000tan 455 856.4(m). 答案 5 856.4 7.一船以 22 6 km/h 的速度向正北航行,在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 45 ,1小时 30 分后航行到 B 处,在 B 处看灯塔 S 在船的南偏东 15 ,则灯塔 S 与 B 之间的距离为_ k

5、m. 解析 如图,ASB180 15 45 120 ,AB22 63233 6(km), 由正弦定理,得33 6sin 120SBsin 45,SB66(km). 答案 66 8.一角槽的横断面如图所示,四边形 ABED 是矩形,已知DAC50 ,CBE70 ,AC90,BC150,则 DE_. 解析 由题意知ACB120 ,在ACB 中,由余弦定理,得 AB2AC2BC22AC BC cos ACB90215022901501244 100. AB210,DE210. 答案 210 三、解答题 9.如图所示,在地面上共线的三点 A,B,C 处测得一建筑物的仰角分别为 30 ,45 ,60 ,

6、且 ABBC60 m,求建筑物的高度. 解 设建筑物的高度为 h m,由题图知,PA2h,PB 2h,PC2 33h, 在PBA 和PBC 中,分别由余弦定理,得 cos PBA6022h24h2260 2h, cos PBC6022h243h2260 2h. PBAPBC180 ,cos PBAcos PBC0. 由,解得 h30 6或 h30 6(舍去), 即建筑物的高度为 30 6 m. 10.某观测站 C 在城 A 的南偏西 20 的方向,由城 A 出发的一条公路,走向是南偏东 40 , 在 C 处测得公路上 B 处有一人, 距 C 为 31 km, 正沿公路向 A 城走去,走了 20

7、 km 后到达 D 处,此时 CD 间的距离为 21 km,问:这人还要走多少千米才能到达 A 城? 解 如图,令ACD,CDB, 在CBD 中,由余弦定理得 cos BD2CD2CB22BD CD2022123122202117, sin 4 37. 又 sin sin(60 )sin cos 60 sin 60 cos 4 371232175 314. 在ACD 中,由正弦定理,得21sin 60ADsin , AD21sin sin 6015(km). 故这个人再走 15 km 才能到达 A 城. 能力提升 11.如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两

8、座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 ,30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC0.1 km.若 ABBD,则 B,D 间距离为_ km. 解析 在ABC 中,BCA60 ,ABC75 60 15 ,AC0.1 km, 在ABC 中,由正弦定理,得ABsin BCAACsin ABC, 所以 AB0.1sin 60sin 153 2 620(km), 又因为 BDAB,所以 BD3 2 620 km. 答案 3 2 620 12.如图,游客从景点 A 下山至 C 有两种路径:一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 乘缆

9、车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A下山.甲沿AC匀速步行, 速度为50 m/min.在甲出发2 min后, 乙从A乘缆车到B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.已知缆车从 A 到 B 要 8 min,AC 长为 1 260 m,若 cos A1213,sin B6365.为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min,求乙步行的速度 v(m/min)的取值范围. 解 在ABC 中,cos A1213,sin B6365, sin A 1cos2A112132513. 由正弦定理,得 BCAC sin Asin B1 26051363

10、65500(m), 乙从 B 出发时,甲已经走了 50(281)550(m), 甲还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min, 由题意得500v710503,解得1 25043v62514. 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min,乙步行的速度 v m/min 的取值范围是1 25043,62514. 创新猜想 13.(多选题)某人向正东方向走了 x km 后向右转了 150 , 然后沿新方向走了 3 km,结果离出发点恰好 3 km,则 x 的值为( ) A. 3 B.2 3 C.2 D.3 解析 如图所示,在ABC 中,ABx,BC3,AC 3,ABC30 , 由余弦定理得,AC2AB2BC22AB BC cos ABC, 即( 3)2x2322x 3 cos 30 . x23 3x60.解得 x2 3或 x 3. 答案 AB 14.(多空题)甲、乙两楼相距 20 米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60 ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30 ,则甲楼的高是_米,乙楼的高是_米. 解析 甲楼的高为 20tan 60 20 320 3(米); 乙楼的高为 20 320tan 30 20 320334033(米). 答案 20 3 4033

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