1、8.1正弦定理(二)学习目标1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.知识链接以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是.(1)在ABC中，若，则A90(2)在ABC中，若sin2Asin2B，则ab(3)在ABC中，若sinAsinB，则AB；反之，若AB，则sinAsinB(4)在ABC中，答案(2)解析对于(1)，由正弦定理可知，sinBcosB，sinCcosC，BC45，故A90，故(1)正确.对于(2)，由sin2Asin2B可得AB或2A2B，ab或a2b2c2，故
2、(2)错误.对于(3)，在ABC中，sinAsinBabAB，故(3)正确.对于(4)，因为，所以，故(4)正确.预习导引1.正弦定理的常见变形(1)sinAsinBsinCabc；(2)2R；(3)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(4)sinA，sinB，sinC.2.三角变换公式(1)sin ()sincoscossin；(2)sin ()sincoscossin；(3)sin22sincos.题型一利用正弦定理判断三角形的形状例1在ABC中，若sinA2sinBcosC，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状.解方法一在ABC中，根据正弦定理：2R(R为AB
3、C外接圆的半径).sin2Asin2Bsin2C，222，即a2b2c2.A90，BC90.由sinA2sinBcosC，得sin902sinBcos(90B)，sin2B.B是锐角，sinB，B45，C45.ABC是等腰直角三角形.方法二在ABC中，根据正弦定理：sinA，sinB，sinC.sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，ABC是直角三角形且A90.A180(BC)，sinA2sinBcosC，sin(BC)2sinBcosC.sinBcosCcosBsinC0，即sin(BC)0.BC0，即BC.ABC是等腰直角三角形.规律方法依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有
4、以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.跟踪演练1在ABC中，已知a2tanBb2tanA，试判断ABC的形状.解在ABC中，由正弦定理，.又a2tanBb2tanA，sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B.2A2B或2A2B，即AB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形.题型二
5、利用正弦定理求最值或范围例2在锐角ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a2bsinA，求cosAsinC的取值范围.解设R为ABC外接圆的半径.a2bsinA，2RsinA4RsinBsinA，sinB.B为锐角，B.令ycosAsinCcosAsin(BA)cosAsincosAsincosAcossinAcosAsinAsin.由锐角ABC知，BA，A.A，sin，sin，即y0，所以0B，所以cosB1.因为2cosB，所以12cosB2，故12.题型三正弦定理与三角变换的综合例3已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ac2b，且2cos2B8cosB50，求
6、角B的大小并判断ABC的形状.解2cos2B8cosB50，2(2cos2B1)8cosB50.4cos2B8cosB30，即(2cosB1)(2cosB3)0.解得cosB或cosB(舍去).0B，B.ac2b.由正弦定理得sinAsinC2sinB2sin.sinAsin(A)，sinAsincosAcossinA.化简得sinAcosA，sin(A)1.0A，A.A，C.ABC是等边三角形.规律方法借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.跟踪演练3已知方程x2(bcosA)xacosB0的两
7、根之积等于两根之和，且a、b为ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状.解设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得bcosAacosB.由正弦定理得2RsinBcosA2RsinAcosB，sinAcosBcosAsinB0，sin(AB)0.A、B为ABC的内角，0A，0B，ABsinB，则角A与角B的大小关系为()A.ABB.AsinB2RsinA2RsinB(R为ABC外接圆的半径)abAB.2.在ABC中，已知A150，a3，则其外接圆的半径R的值为()A.3B.C.2D.不确定答案A解析在ABC中，由正弦定理得62R，R3.3.在ABC中，AC，BC2，B60，则角C
8、的值为()A.45B.30C.75D.90答案C解析由正弦定理得，sinA.BC2AC，A60.A45.C75.4.在ABC中，若，则ABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案B解析由正弦定理可得，tanAtanBtanC，ABC.5.已知一三角形中a2，b6，A30，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形.解a2，b6，ab，A30bsinA，所以本题有两解，由正弦定理得：sinB，故B60或120.当B60时，C90，c4；当B120时，C30，ca2.所以B60，C90，c4或B120，C30，c2.课堂小结1.已知a，b和A，用正弦定理解三角形的各种情况：(1)列表如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数一解两解一解一解(2)也可利用正弦定理sinB进行讨论：如果sinB1，则问题无解；如果sinB1，则问题有一解；如果求出sinB1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断.2.判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是否是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式.
