1、1.3正弦定理、余弦定理的应用学习目标1.能运用解三角形的知识解决简单的测量问题.2.能用解三角形的知识解决物理问题.3.加强正弦定理、余弦定理的综合应用能力知识点一测量中的常用角名称定义示例方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角点A的方位角为225方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角点A的方向角为南偏西45(或称西南方向)知识点二常见问题的测量方案1距离问题类型简图测量两点A，B均可达先选定适当的位置C，用测角器测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即AB两点A，B可视，但有一点不可达如左图，在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m(由于A，
2、C在河岸的同侧，这是可以做到的)，再借助仪器，测出ACB，CAB，那么在ABC中，已知两角及一边，运用正弦定理就可以求出AB.两点A，B可视，均不可达测量者可以在河岸选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离.2高度问题类型简图测量方案底部可达测得BCa，BCA，ABatan .底部不可达点B与C，D共线测得CDa及C与ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值.点B与C，D不共线测得CDa及BCD，BDC，ACB的度数. 在B
3、CD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.1南偏东30指正南为始边，在水平面内向东旋转30.()2方位角可以是270.()3两点可视但不可到达问题的测量方案需要构造已知两角及一边的三角形并求解()4高度问题大多通过仰角转化为水平面内的距离问题来解决()题型一测量问题命题角度1距离问题例1如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得ADC30，2分钟后该船行驶至B处，此时测得ACB60，BCD45，ADB60.(1)求A，D间的距离；(2)求船速解(1)在ACD中，CD1，ADC30，ACDACBBCD
4、105，CAD1803010545.由正弦定理，得ADsinACD(千米)(2)在BCD中，BDsinBCD1.在ADB中，AB2AD2BD22ADBDcosADB21221.AB(千米)，船速为 千米/分钟反思感悟本方案的实质是把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为解ACD求AD，再解BCD求BD.最后解ADB求AB，把一个貌似困难的大问题分解为一个个可以轻松登上的台阶，是数学中常用的方法跟踪训练1如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A，B；找到一个点D，从点D可以观察到点A，C；找到一个点E，从点E可以观察到点B，C，并测量得到一些数据：CD2
5、，CE2，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，则A，B两点之间的距离为_(取cos 48.19)答案解析依题意，知在ACD中，A30，由正弦定理得AC2.在BCE中，CBE45，由正弦定理得BC3.连接AB，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB10，AB.命题角度2高度问题例2如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD. 解由于CD平面ABD，CAD45，所以CDAD.因此只需在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804
6、512015，由，得AD800(1)(m)即山的高度为800(1) m.反思感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题跟踪训练2如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_m. 答案10解析在BCD中，CD10 m，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理，得，BC10(m)在RtABC中，tan 60，ABBCtan
7、 6010(m)命题角度3角度问题例3如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为_答案45解析依题意可得AD20，AC30，又CD50，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.反思感悟解决角度问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题跟踪训练3甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最
8、快与乙船相遇？解如图所示设经过t小时两船在C点相遇，则在ABC中，BCat(海里)，ACat(海里)，B18060120，由，得sinCAB，0CAB60，CAB30，DAC603030，甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇题型二物理问题例4如图，某大桥主孔采用独塔双索面斜拉悬臂组合结构体系，假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是53，每根钢索中的拉力都是5104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？(已知sin 530.8，cos 530.6) 解把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形OACB，其对角线就表示它们的合力由对称性可知，
9、合力方向一定沿塔柱竖直向下，且这个平行四边形是一个菱形方法一如图所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即ABOC，且ADDB，ODOC.考虑直角三角形AOD，则AOD53，而ODOC，则合力|F|2|F1|cos 53251040.66104(N)方向竖直向下答：合力的大小为6104 N，方向竖直向下方法二在三角形OAC中，cosOACcos(180253)(2cos2531)120.620.28，由余弦定理，OC1046104N.方向竖直向下答：合力的大小为6104 N，方向竖直向下反思感悟物理中很多矢量如速度、力等的计算大多可以归为解三角形解决此类问题的办法是结合物理知识把
10、涉及的量用图形表示出来，转化为解三角形问题跟踪训练4如图所示，某同学沿平直路面由A点出发前进了100 m到达斜坡底端的B点，又沿倾角为60的斜面前进了100 m达到C点，求此同学的位移和路程解如图所示，画出该同学的位移矢量图，为该同学的位移，方向由AC. 方法一过点C作CDAB，垂足为D，由直角三角形知识，BDBCcos 6010050(m)，CDBCsin 6010050(m)AC100(m)路程SABBC200(m)答：如图为该同学的位移，大小为100 m，方向由AC，路程的大小为200 m.方法二在ABC中，ABBC100，ABC120.由余弦定理，AC100(m)即该同学位移为100
11、m方向由AC，路程SABBC200(m)答：如图为该同学的位移，大小为100 m，方向由AC，路程的大小为200 m.三角测量中的数学抽象典例如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.求索道AB的长解在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.素养评析数学抽象指舍去事
12、物的一切物理属性，得到数学研究对象在本例中，我们舍去A，B，C三处的景致、海拔、经度、纬度等非本质属性，得到纯粹的三个点，舍掉步行、乘缆车、速度等表征，直接抽象出线段AC，AB的长，都属于数学抽象.1如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，ACB45，CAB105后，可以计算出A，B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m答案A解析ABC1804510530，在ABC中，由，得AB10050(m)2如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC60 m，天文台最高处B的仰角为45，天文台底部C的
13、仰角为15，则天文台BC的高为() A20 m B30 mC20 m D30 m答案B解析由题意，可得B45，BAC30，故BC30(m)3.如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好 千米，那么x的值是_答案4解析由余弦定理，得x296xcos 6013，整理得x23x40，解得x4(舍负)4某船开始看见一灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行45 km后，看见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是_ km.答案15解析设灯塔位置为A，船的初始位置为O，船的终止位置为B，由题意知OB45，AOB30，OAB120，所以由正弦定理，
14、得ABsin AOB15，即此时船与灯塔的距离是15 km.5一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为_ km.答案6解析如图，在平行四边形ABCD中，为河水流速，为船在静水中的航速，则为船在河中实际航速. 在ABC中，AB2，BC4，ABC60.AC2.船的实际航程为26(km)1测量高度通常借助仰角(或俯角)转化为求地面上某两点的距离2正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
