1、1.3正弦定理、余弦定理的应用一、选择题1.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为() A10 m B20 mC20 m D40 m答案D解析设电视塔的高度为x m，则BCx，BDx.在BCD中，由余弦定理得3x2x2402240xcos 120，即x220x8000，解得x20(舍去)或x40.故电视塔的高度为40 m.2从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30，看正南方向有一只船俯角为45，则此时两船间的距离为()A2h米 B.h米C.h米 D2h米答案A解析如图
2、所示，由题意可知，BCh，ACh，AB2h(米)3作用在同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知|F1|30 N，|F2|50 N，F1与F2之间的夹角是60，则F3与F1之间的夹角的正弦值为()A. B C. D答案C解析由题意，知F3应和F1，F2的合力F平衡设F3与F1之间的夹角为，作图(如图)，可知当三力平衡时，由余弦定理得|F3|70(N)，再由正弦定理得，即sin .故选C.4如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为()A5 B6 C7 D8答案C解析
3、因为A，B，C，D四点共圆，所以DB.在ABC和ADC中，由余弦定理可得8252285cos(D)3252235cos D，整理得cos D，代入得AC2325223549，故AC7.5.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为() A. B. C. D.答案D解析由题图知，在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，所以BC20，由正弦定理得sinA
4、CBsinBAC，由BAC120知ACB为锐角，故cosACB.故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.二、填空题6.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB_.答案15解析在BCD中，CBD1801530135.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.7.如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75的斜坡改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长_m. 答案100解析设坡底需加长x m，
5、由正弦定理得，解得x100.8甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是_ km.答案3解析由题意知，AB246(km)，BAS30，ASB753045.由正弦定理，得BS3(km)9已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75视角，则B岛与C岛之间的距离是_海里答案5解析如图所示，C180607545，AB10.由正弦定理得，所以BC5.10某人在地上画了一个角BDA60
6、，他从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达BDA的另一边BD上的一点N，则N与D之间的距离为_米答案16解析如图，设DNx，DC10，CN14，D60，cos D，解得x16(负值舍去)11.如图所示为一角槽，已知ABAD，ABBE，并测量得AC3 mm，BC2 mm，AB mm，则ACB_.答案解析在ABC中，由余弦定理，得cosACB.因为ACB(0，)，所以ACB.三、解答题12某人沿折线段ABCD前进，从A到B，方位角是50，距离是3 km；从B到C，方位角是110，距离是3 km；从C到D，方位角是140，距离是93 km.求AD间的距离解如图
7、，由已知，ABBC3，CD93，ABC50(180110)120.BACACB30，ACD360140(7030)120.AC3AD，即AD间的距离为()km.13甲船在A处，乙船在A的南偏东45方向距A9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？解如图所示，设用t小时甲船能追上乙船，且在C处相遇在ABC中，AC28t，BC20t，AB9，ABC1804515120.由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC，即(28t)292(20t)22920t，128t260t270，t或t(舍去)，甲船用小时能最快追上乙
8、船14某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，则塔高为_ m.答案解析如图所示，设AE为塔，B为塔正东方向一点，沿南偏西60前进40 m到达C处，即BC40，CAB135，ABC30，ACB15.在ABC中，即，AC20.过点A作AGBC，垂足为G，此时仰角AGE最大，在ABC中，由面积公式知BCAGBCACsinACB.AGACsinACB20sin 15，AG20sin(4530)2010(1)在RtAEG中，AEAGtanAGE，AE10(1)10，塔高为 m.15在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B，C，D三市的距离解在ABC中，由题意得ABAC1.5812 km.在ACD中，由题意得ADAC1.52030 km.设ACx km，AB(12x) km，AD(30x) km.在ABC中，cosACB，在ACD中，cosACD.B，C，D在一条直线上，即，解得x.AB km，AD km.即震中A到B，C，D三市的距离分别为 km， km， km.
