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《1.3正弦定理、余弦定理的应用》课时对点练(含答案)

1、1.3正弦定理、余弦定理的应用一、选择题1.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45,在D点测得塔顶A的仰角30,并测得水平面上的BCD120,CD40 m,则电视塔的高度为() A10 m B20 mC20 m D40 m答案D解析设电视塔的高度为x m,则BCx,BDx.在BCD中,由余弦定理得3x2x2402240xcos 120,即x220x8000,解得x20(舍去)或x40.故电视塔的高度为40 m.2从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30,看正南方向有一只船俯角为45,则此时两船间的距离为()A2h米 B.h米C.h米 D2h米答案A解析如图

2、所示,由题意可知,BCh,ACh,AB2h(米)3作用在同一点的三个力F1,F2,F3平衡,已知|F1|30 N,|F2|50 N,F1与F2之间的夹角是60,则F3与F1之间的夹角的正弦值为()A. B C. D答案C解析由题意,知F3应和F1,F2的合力F平衡设F3与F1之间的夹角为,作图(如图),可知当三力平衡时,由余弦定理得|F3|70(N),再由正弦定理得,即sin .故选C.4如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB5,BC8,CD3,DA5,A,B,C,D四点共圆,则AC的长为()A5 B6 C7 D8答案C解析

3、因为A,B,C,D四点共圆,所以DB.在ABC和ADC中,由余弦定理可得8252285cos(D)3252235cos D,整理得cos D,代入得AC2325223549,故AC7.5.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,则cos 的值为() A. B. C. D.答案D解析由题图知,在ABC中,AB40,AC20,BAC120,由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800,所以BC20,由正弦定理得sinA

4、CBsinBAC,由BAC120知ACB为锐角,故cosACB.故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.二、填空题6.如图所示,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得BCD15,BDC30,CD30,并在点C测得塔顶A的仰角为60,则塔高AB_.答案15解析在BCD中,CBD1801530135.由正弦定理得,所以BC15.在RtABC中,ABBCtanACB1515.7.如图,某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75的斜坡改造成倾斜角为30的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长_m. 答案100解析设坡底需加长x m,

5、由正弦定理得,解得x100.8甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上,15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是_ km.答案3解析由题意知,AB246(km),BAS30,ASB753045.由正弦定理,得BS3(km)9已知海上A,B两个小岛相距10海里,C岛临近陆地,若从A岛望C岛和B岛成60的视角,从B岛望C岛和A岛成75视角,则B岛与C岛之间的距离是_海里答案5解析如图所示,C180607545,AB10.由正弦定理得,所以BC5.10某人在地上画了一个角BDA60

6、,他从角的顶点D出发,沿角的一边DA行走10米后,拐弯往另一方向行走14米正好到达BDA的另一边BD上的一点N,则N与D之间的距离为_米答案16解析如图,设DNx,DC10,CN14,D60,cos D,解得x16(负值舍去)11.如图所示为一角槽,已知ABAD,ABBE,并测量得AC3 mm,BC2 mm,AB mm,则ACB_.答案解析在ABC中,由余弦定理,得cosACB.因为ACB(0,),所以ACB.三、解答题12某人沿折线段ABCD前进,从A到B,方位角是50,距离是3 km;从B到C,方位角是110,距离是3 km;从C到D,方位角是140,距离是93 km.求AD间的距离解如图

7、,由已知,ABBC3,CD93,ABC50(180110)120.BACACB30,ACD360140(7030)120.AC3AD,即AD间的距离为()km.13甲船在A处,乙船在A的南偏东45方向距A9海里的B处,并以20海里/时的速度沿南偏西15方向行驶,若甲船以28海里/时的速度行驶,用多少小时能最快追上乙船?解如图所示,设用t小时甲船能追上乙船,且在C处相遇在ABC中,AC28t,BC20t,AB9,ABC1804515120.由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC,即(28t)292(20t)22920t,128t260t270,t或t(舍去),甲船用小时能最快追上乙

8、船14某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进40 m后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30,则塔高为_ m.答案解析如图所示,设AE为塔,B为塔正东方向一点,沿南偏西60前进40 m到达C处,即BC40,CAB135,ABC30,ACB15.在ABC中,即,AC20.过点A作AGBC,垂足为G,此时仰角AGE最大,在ABC中,由面积公式知BCAGBCACsinACB.AGACsinACB20sin 15,AG20sin(4530)2010(1)在RtAEG中,AEAGtanAGE,AE10(1)10,塔高为 m.15在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B,C,D.已知B,C两市相距20 km,C,D相距34 km,C市在B,D两市之间,如图所示,某时刻C市感到地表震动,8 s后B市感到地表震动,20 s后D市感到地表震动,已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B,C,D三市的距离解在ABC中,由题意得ABAC1.5812 km.在ACD中,由题意得ADAC1.52030 km.设ACx km,AB(12x) km,AD(30x) km.在ABC中,cosACB,在ACD中,cosACD.B,C,D在一条直线上,即,解得x.AB km,AD km.即震中A到B,C,D三市的距离分别为 km, km, km.