1、1.2余弦定理第1课时余弦定理学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题知识点一余弦定理在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有余弦定理语言叙述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍公式表达a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C也可以写成cos A，cos B，cos C思考在a2b2c22bccos A中，若A90，公式会变成什么？答案a2b2c2，即勾股定理知识点二余弦定理可以解决两类解斜三角形的问题1已知三角形的三边，求三角形的三个角2已
2、知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角1勾股定理是余弦定理的特例()2余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素()3在ABC中，已知两边及其夹角时，ABC不一定唯一()题型一余弦定理的证明例1已知钝角ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，试借助三角函数定义用a，b和角C表示边c.解不妨设A为钝角如图，作BDCA，交CA延长线于点D. 由三角函数定义，sin C，cos C，BDasin C，CDacos C.ADCDCAacos Cb.c2BD2AD2a2sin2C(acos Cb)2a2sin2Ca2cos2Cb22abcos Ca2b22abcos C.引申探究注
3、意到|b，|a，的夹角为C，恰好可以作为一组基底，能否用平面向量完成例1?解，|2()2222，即c2a2b22abcos C.反思感悟所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方跟踪训练1用解析几何的两点间距离公式来证明余弦定理解如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcos A，bsin A)，BC2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2A，即a2b2c22bccos A.同理可证b2c2a22cacos B，c2a2b22abco
4、s C.题型二用余弦定理解三角形命题角度1已知两边及其夹角例2在ABC中，a1，b2，cos C，则c ；sin A .答案2解析根据余弦定理，得c2a2b22abcos C12222124，解得c2.由cos C，得sin C，由正弦定理，得sin A.反思感悟已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边跟踪训练2在ABC中，已知a2，b2，C15，求A.解由余弦定理，得c2a2b22abcos C84，所以c.由正弦定理，得sin A，因为ba，所以BA，所以A为锐角，所以A30.命题角度2已知三边例3在ABC中，已知a2，b62，c4，求A，B，C.解根据余弦定理，得cos A
5、.A(0，)，A，cos C，C(0，)，C.BAC，A，B，C.反思感悟已知三边求三角，可利用余弦定理先求一个角跟踪训练3在ABC中，sin Asin Bsin C245，判断三角形的形状解因为abcsin Asin Bsin C245，所以可令a2k，b4k，c5k(k0)c最大，cos Cbc，C为最小角且C为锐角，由余弦定理，得cos C.C.3如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 答案解析设顶角为C，周长为l，因为l5c，所以ab2c，由余弦定理，得cos C.4在ABC中，a3，b2，cos C，则c2 .答案304解析c2a2b22abcos C(3)2(2)2232304.5在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2ac，则角B为 答案解析a2b2c2ac，cos B，又角B为ABC的内角，B.1余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例2利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题(1)已知两边和夹角，解三角形(2)已知三边求三角形的任意一角
