1、8.6.1 直线与直线垂直 知识点 异面直线所成的角 1定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，我们把 a与 b所成的_ (或_)叫作异面直线 a与 b 所成的角(或夹角) 2范围：_. 3当 _时，a 与 b 互相垂直，记作_ 状元随笔 异面直线所成角的范围是 0 90 ，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直 锐角 直角 0 90 90 ab. 【新知初探】 教材解难 求异面直线所成的角的步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相
2、交直线 (2)求转化为一个三角形的内角， 通过解三角形， 求出所找的角 (3)结论设由(2)所求得的角的大小为 .若 0 90 ， 则 为所求；若 90 0)，则 MP22k，DM52k，DP32k， DM2DP2MP2，DPM90 . 异面直线 DB1与 EF 所成的角为 90 . 方法四：方法四： 如图， 在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方体，连接 B1Q，易得 B1QEF， DB1Q 就是异面直线 DB1与 EF 所成的角(或其补角) 设 AA1k(k0)，则 B1D 3k，DQ 5k，B1Q 2k， B1D2B1Q2DQ2，DB1Q90 . 异面直线 DB1与 EF 所成的角为
3、 90 . 状元随笔 利用中位线作平行线， 找出异面直线 DB1与 EF 所成的角即可求解. 方法归纳 求异面直线所成角的步骤 一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角； 二证：证明作出的角就是要求的角； 三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解 跟踪训练 1 (1)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，异面直线 A1B 与 B1C 所成的角为( ) A30 B45 C60 D90 解析：(1)连接 A1D，DB，A1D，DB 和 BA1分别是正方体三个面上的对角线，A1DDBBA1，BA1D60 . B1CA1D， B1C 与 A1B 所成的角即 A1D
4、与 A1B 所成的角，即BA1D.故异面直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60 . 答案：(1)C (2)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是棱 CD，CC1的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是_ 解析： (2)如题图， 过点 M 作 MEDN 交 CC1于点 E， 连接 A1E，则A1ME 为异面直线 A1M 与 DN 所成的角(或其补角)，E 为CN 的中点设正方体的棱长为 a，则 A1M32a，ME54a，A1E414a，所以 A1M2ME2A1E2，所以A1ME90 ，即异面直线 A1M 与 DN 所成的角为 90 . 答案： (2)90 题
5、型二 直线与直线垂直 例 2 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心求证 AO1BD. 【证明】 如图，连接 B1D1. ABCDA1B1C1D1是正方体， BB1綉DD1. 四边形 BB1D1D 是平行四边形， B1D1BD. 直线 AO1与 B1D1所成的角即为直线 AO1与 BD 所成的角 连接 AB1，AD1，易证 AB1AD1. 又 O1为底面 A1B1C1D1的中心，O1为 B1D1的中点， AO1B1D1，AO1BD. 方法归纳 证明直线与直线垂直的方法 等腰三角形中线即是高线 勾股定理 异面直线所成的角为直角 跟踪训练 2 如图，P 是平面 ABC 外一点，PA4，BC2 5，D，E 分别为 PC，AB 的中点，且 DE3.求证：PABC. 证明：如图，取 AC 的中点 F，连接 DF，EF， 在PAC 中，D 是 PC 的中点，F 是 AC 的中点， DFPA，同理可得 EFBC， DFE 为异面直线 PA 与 BC 所成的角(或其补角) 在DEF 中，DE3， 又 DF12PA2，EF12BC 5， DE2DF2EF2，DFE90 ， 即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90 ，PABC. 状元随笔
