1、5.2.3 简单复合函数的导数 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解复合函数的概念 (易混点) 2理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点) 1.通过复合函数求导公式的学习， 培养数学抽象、 逻辑推理的核心素养 2借助复合函数求导及导数运算法则的综合应用， 提升数学运算的核心素养. 1复合函数的概念 一般地，对于两个函数 yf (u)和 ug(x)，如果通过中间变量 u， y 可以表示成 x 的函数， 那么称这个函数为函数 yf (u)和 ug(x)的复合函数，记作_ yf (g(x) 【新知初探】 思考：函数 ylog2(x1)是由哪些函数复合而成的？ 提示 函数
2、 ylog2(x1)是由 ylog2u 及 ux1两个函数复合而成的 2复合函数的求导法则 复合函数 yf (g(x)的导数和函数 yf (u)， ug(x)的导数间的关系为 yx_， 即 y 对 x 的导数等于_ yu ux y对u的导数与u对x的导数的乘积 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数 ysin(x)的复合过程是 ysin u，ux( ) (2)f (x)ln(3x1)则 f (x)13x1( ) (3)f (x)x2cos2x，则 f (x)2xcos2x2x2sin2x( ) 提示 (2)中 f (x)33x1. (3)中，f (x)2xcos 2x2x2sin
3、 2x. 答案 (1) (2) (3) 【初试身手】 2函数 y13x12的导数是( ) A63x13 B63x12 C63x13 D63x12 C y13x12， y213x13(3x1)63x13. 3下列对函数的求导正确的是( ) Ay(12x)3，则 y3(12x)2 Bylog2(2x1)，则 y12x1ln 2 Cycosx3，则 y13sinx3 Dy22x1，则 y22xln 2 D A 中，y6(12x)2，A 错误； B 中，y22x1ln 2，B 错误； C 中，y13sinx3，C 错误； D 中 y22x1ln 2(2x1)22xln 2.故 D 正确 类型一 复合函
4、数的导数 【例 1】 求下列函数的导数： (1)ye2x1；(2)y12x13；(3)y5log2(1x)；(4)yln 3xex. 【合作探究】 解 (1)函数 ye2x1可看作函数 yeu和 u2x1 的复合函数， yxyu ux(eu)(2x1)2eu2e2x1. (2)函数 y12x13可看作函数 yu3和 u2x1 的复合函数， yxyu ux(u3)(2x1)6u46(2x1)462x14. (3)函数 y5log2(1x)可看作函数 y5log2u 和 u1x 的复合函数， yxyu ux(5log2u) (1x)5uln 25x1ln 2. (4)(ln 3x)13x(3x)1
5、x. yln 3xexln 3xexex21xln 3xex1xln 3xxex. 【规律方法】 1解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数， 不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成 2复合函数求导的步骤 跟进训练 1求下列函数的导数： (1)y103x2；(2)yln(exx2)；(3)yx 1x2. 解 (1)令 u3x2，则 y10u. 所以 yxyu ux10uln 10 (3x2)3103x2ln 10. (2)令 uexx2，则 yln u. yxyu ux1u (exx2)ex2xexx2. (3)y(x 1x2) 1x2x(
6、1x2) 1x2x21x212x2 1x21x2. 类型二 三角函数型函数的导数 【例 2】 求下列函数的导数： (1)ycosx2sin x2cosx2；(2)yx2tan x. 解 (1)ycosx2sinx2cosx2cosx2sinx2cos2x2 12sin x12(1cos x)12(sin xcos x)12， y12sin xcos x1212(sin xcos x)12(cos xsin x) (2)因为 yx2sin xcos x， 所以 y(x2)sin xcos x2xcos2xsin xsin xcos2x2x1cos2x. 【规律方法】 三角函数型函数的求导要求 对
7、三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导. 复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导. 跟进训练 2求下列函数的导数： (1)ysin2x3；(2)ysin3xsin x3；(3)ycos4xsin4x. 解 (1)y1cos 23x2，y12cos 23x213sin 23x. (2)y(sin3xsin x3)(sin3x)(sin x3) 3sin2xcos xcos x3 3x23sin2xcos x3x2cos x3. (3)ycos4xsin4x(cos2xsin2x)(
8、cos2xsin2x)cos 2x， y(cos 2x)2sin 2x. 类型三 导数运算法则的综合应用 探究问题 1若直线 yxb 与曲线 yex相切于点 P，你能求出切点坐标及 b 的值吗？ 提示 设 P(x0，y0)，由题意可知 y|xx0ex0， 所以 ex01，即 x00，点 P(0，1) 由点 P(0，1)在直线 yxb 上可知 b1. 2曲线 yaexxln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y2xb，你能求出 a，b 的值吗？ 提示 yaexln x1，y|x1ae1， 2ae1，ae1，切点为(1，1)， 将(1，1)代入 y2xb，得 12b， b1，故 a1e，b1.
9、【例 3】 (1)曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xy30的最短距离是( ) A 5 B2 5 C3 5 D0 (2)设曲线 yeax在点(0，1)处的切线与直线 x2y10垂直，则 a_. (1)A (2)2 (1)设曲线 yln(2x1)在点(x0， y0)处的切线与直线2xy30 平行 y22x1，y|xx022x012，解得 x01， y0ln(21)0，即切点坐标为(1，0) 切点(1，0)到直线 2xy 30 的距离为 d|203|41 5， 即曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离是 5. (2)令 yf (x)，则曲线 yeax在点(0，1)处的切线的斜率为
10、 f (0)，又切线与直线 x2y10 垂直，所以 f (0)2.因为 f (x)eax，所以 f (x)(eax)eax (ax)aeax，所以 f (0)ae0a，故 a2. 母题探究 1(变条件)本例(1)的条件变为“曲线 yln(2x1)上的点到直线 2xym0 的最小距离为 2 5”，求 m 的值 解 由题意可知，设切点 P(x0，y0)， 则 y|xx022x012，x01，即切点 P(1，0)， |20m|52 5，解得 m8 或12. 即实数 m 的值为 8 或12. 2(变条件、变结论)把本例(1)条件变为“若直线 ykxb 是yln x2 的切线，也是 yln(x1)的切线
11、”，求 b 的值 解 函数 yln x2 的导函数为 y1x， 函数 yln(x1)的导函数为 y1x1. 设曲线 yln x2 和曲线 yln(x1)上的切点横坐标分别为 m，n， 则该直线方程可以写成 y1m (xm)ln m2， 也可以写成 y1n1(xn)ln(n1) 整理后对比得 1m1n1，ln m1lnn1nn1， 则该直线方程可以写成 y1m (xm)ln m2， 也可以写成 y1n1(xn)ln(n1) 整理后对比得 1m1n1，ln m1lnn1nn1，解得 m12，n12， 因此 b1ln 2. 【规律方法】 利用导数的几何意义解题时的注意点 1求曲线过某一定点的切线方程
12、或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出. 2切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组. 3如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件. 4与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个. 1求复合函数的导数的注意点： 分解的函数通常为基本初等函数； 求导时分清是对哪个变量求导； 计算结果尽量简洁 2和与差的运算法则可以推广 f (x1) f (x2) f (xn)f (x1) f (x2) f (xn) 【课堂小结】 1函数 y(x21)n的复合过程
13、正确的是( ) Ayun，ux21 By(u1)n，ux2 Cytn，t(x21)n Dy(t1)n，tx21 答案 A 【学以致用】 2函数 yx2cos 2x 的导数为( ) Ay2xcos 2xx2sin 2x By2xcos 2x2x2sin 2x Cyx2cos 2x2xsin 2x Dy2xcos 2x2x2sin 2x B y(x2)cos 2xx2(cos 2x) 2xcos 2xx2(sin 2x) (2x) 2xcos 2x2x2sin 2x. 3已知 f (x)ln(3x1)，则 f (1)_. 32 f (x)13x1(3x1)33x1，f (1)331132. 4已知 f (x)xex，则 f (x)在 x2 处的切线斜率是_ 1e2 f (x)xex，f (x)exxex(1x)ex，f (2)1e2. 根据导数的几何意义知 f (x)在 x2 处的切线斜率为 kf (2)1e2. 5求下列函数的导数： (1)ye2x；(2)y(13x)3. 解 (1)ye2x (2x)e2x 22e2x. (2)y3(13x)2(13x)9(13x)2 或 y81x254x9.
