2022高考数学一轮总复习课件:3.1 导数的概念及运算
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1、第三章 导数及其应用 考点要求考点要求 1导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景 (2)理解导数的几何意义 2导数的运算 (1)能根据导数定义求函数 yC(C 为常数),yx,yx2,yx3,y1 x,y x的导数 (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简 单的复合函数(限于形如 f(axb)的导数 (3)常见基本初等函数的导数公式 (C)0(C 为常数);(xn)nxn 1,nN ; (sinx)cosx;(cosx)sinx; (ex)ex;(ax)axlna(a0,且 a1); (lnx)1 x;(logax) 1 xlogae(a
2、0,且 a1) (4)常用的导数运算法则 法则 1:u(x) v(x)u(x) v(x) 法则 2:u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) 法则 3: u(x) v(x) u(x)v(x)u(x)v(x) v2(x) (v(x)0) 3导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求 不超过三次的多项式函数的单调区间 (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求某些函数的极大值、极小 值,以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值,体会导数与单调性、极值、 最大(小)值的关系 4生活中的优化问题 会
3、利用导数解决某些实际问题 31 导数的概念及运算导数的概念及运算 【教材梳理】 1导数的概念 (1)定义 如果函数 yf(x)的自变量 x 在 x0处有增量 x,那么函数 y 相应地有增量 yf(x0 x)f(x0),比值y x就叫函数 yf(x)从 x0 到 x0 x 之间的平均变化率,即y x f(x0 x)f(x0) x 如果当 x0 时,y x有极限,我们就说函数 yf(x)在点 x0 处 _,并把这个极限叫做 f(x)在点 x0处的导数,记作或 y| 0 xx ,即 f(x0) 0 lim x y x 0 lim x f(x0 x)f(x0) x (2)导函数 当 x 变化时,f(x
4、)便是 x 的一个函数,我们称它为 f(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函 数有时也记作 y,即 f(x)y 0 lim x f(xx)f(x) x (3)用定义求函数 yf(x)在点 x0处导数的方法 求函数的增量 y_; 求平均变化率y x_; 取极限,得导数 f(x0) 0 lim x y x 2导数的几何意义 函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义,就是曲线 yf(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线的斜 率也就是说,曲线 yf(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线的斜率是相应的切线方程为 3基本初等函数的导数公式 (1)c(c 为常数), (x)(Q*) (2)(si
5、nx)_, (cosx)_ (3)(lnx)_, (logax)_ (4)(ex)_, (ax)_ 4导数运算法则 (1)f(x) g(x)_ (2)f(x)g(x)_; 当 g(x)c(c 为常数)时,即cf(x)_ (3) f(x) g(x) _ (g(x)0) 5复合函数的导数 复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u),ug(x)的导数间的关系为 _即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 【常用结论】 6导数的两条性质 (1)奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数 (2)可导函数 yf(x)的导数为 f(x),若 f(x)为增函数,则 f(
6、x)的图象是下凹的;反之,若 f(x) 为减函数,则 f(x)的图象是上凸的 7几类重要切线方程 (1)yx1 是曲线 ylnx 的切线, yx 是曲线 yln(x1)的切线, , yxn 是曲线 yln(x n1)的切线,如图 1 图 1 图 2 (2)yx1 与 yex 是曲线 yex的切线,如图 2 (3)yx 是曲线 ysinx 与 ytanx 的切线,如图 3 图 3 图 4 (4)yx1 是曲线 yx2x,yxlnx 及 y11 x的切线,如图 4 由以上切线方程又可得重要不等式,如 lnxx1,x1ex等 【自查自纠】 1(1)可导 f(x0) (3)f(x0 x)f(x0) f
7、(x0 x)f(x0) x 2f(x0) yy0f(x0)(xx0) 3(1)0 x 1 (2)cosx sinx (3)1 x 1 xlna (4)ex axlna 4(1)f(x) g(x) (2)f(x)g(x)f(x)g(x) cf(x) (3)f(x)g(x)f(x)g(x) g(x)2 5yxyuux 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“” (1)f(x0)与f(x0)表示的意义相同 ( ) (2)加速度是位移关于时间的导数 ( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 ( ) (5)函数 f(x)si
8、n(x)的导数是 f(x)cosx ( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5) 如图所示为函数 yf(x),yg(x)的导函数的图象,那么 yf(x),yg(x)的图象可能是( ) A B C D 解:由 yf(x)的图象知 yf(x)在(0,)上单调递减,说明 函数 yf(x)的切线的斜率在(0,)上也单调递减,故可排除 A, C又由图象知 yf(x)与 yg(x)的图象在 xx0处相交,说明 y f(x)与 yg(x)的图象在 xx0处的切线的斜率相同,故可排除 B故选 D (2021 届陕西西安中学高三月考)已知函数 f(x)的导函数为 f(x), 且满 足 f(x)2x
9、f(1)lnx,则 f(1) ( ) Ae B1 C1 De 解:对函数 f(x)求导,得 f(x)2f(1)1 x,将 x1 代入得,f(1) 2f(1)1,即 f(1)1故选 B (2020全国卷)函数 f(x)x42x3的图象在点(1, f(1)处的切线方程 为 ( ) Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x1 解:因为 f(x)x42x3,所以 f(x)4x36x2,所以 f(1)1,f(1) 2,因此,所求切线的方程为 y12(x1),即 y2x1故选 B (2020全国卷)曲线 ylnxx1 的一条切线的斜率为 2,则该切 线的方程为_ 解:设切线的切点坐标为(x0,y0),
10、ylnxx1,y1 x1,y|xx0 1 x01 2,所以 x01,y02,所以切点坐标为(1,2),所求的切线方程为 y22(x1), 即 y2x故填 y2x 考点一考点一 求导运算求导运算 求下列函数的导数: (1)y(3x24x)(2x1); (2)yx2sinx; (3)y3xex2xe; (4)y lnx x21; (5)yln(2x5) 解:(1)因为 y(3x24x)(2x1) 6x33x28x24x6x35x24x, 所以 y18x210 x4 (2)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx (3)y(3xex)(2x)e (3x)ex3x(ex)(2x) 3
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