1、2021 年辽宁省锦州市中考数学二模试卷年辽宁省锦州市中考数学二模试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 个小题，每小题个小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 12 的绝对值是（ ） A2 B2 C D 2下列四个图形分别是节能、节水、绿色食品和低碳标志，其中轴对称图形是（ ） A B C D 3如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A B C D 4如图，ABCD，165，235，则B（ ） A20 B25 C30 D35 5下列事件属于必然事件的是（ ） A随意掷一枚均匀的骰子，朝上一面的点数为 6 B抛一枚硬币，正面朝上 C两个加数的和一定大于每一
2、个加数 D任意实数的绝对值为非负数 6某市在城市建设过程中，需要铺设一条长为 9600 米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划提高了 20%，结果提前了 8 天完成任务，设原计划每天铺设管道 x米，根据题意，所列方程正确的是（ ） A B C D 7如图所示，菱形 ABCO 的边长为 5，对角线 OB 的长为 4，P 为 OB 上一动点，则 AP+OP 的最小值为（ ） A4 B5 C2 D3 8如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，如果动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 BAC 运动到点 C，同时动点 Q 从点 A 出发，以
3、每秒个单位长度的速度沿 ACD 运动到点 D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止设APQ 的面积为 S，运动时间为 t 秒，则 S 关于 t 的函数图象大致为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9因式分解：12x3y3xy 10截至 2021 年 2 月 25 日，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下 128000 个贫困村全部脱贫，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹，将数据 128000 用科学记数法表示为 11某市林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率
4、，实验结果统计如下： 移植总数（n） 50 270 400 750 1500 3500 7000 9000 14000 成活数（m） 47 235 369 662 1335 3180 6321 8073 12628 成活频率（） 0.94 0.87 0.923 0.883 0.89 0.908 0.903 0.897 0.902 由此可以估计该种幼树移植成活的概率为 .（结果保留小数点后两位） 12已知数据 1，a，3，5，7，其中整数 a 是这组数据的平均数，则该组数据的方差是 13如图，半径为 10 的扇形 AOB 中，AOB90，C 为上一点，CDOA，CEOB，垂足分别为 D、E若CD
5、E36，则图中阴影部分的面积为 14如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象过点 A（3，0），对称轴为直线 x1，给出以下结论：abc0；b24ac0；抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标为（1，0）；若 B（，y1），C（，y2）为函数图象上的两点，则 y1y2.其中正确的结论是 .（填写代表正确结论的序号） 15 如图， 平行四边形 ABCO 的边 AB 的中点 D 在 y 轴上，对角线 AC 与 y 轴交于点 E，若反比例函数 y（x0）的图象恰好经过点 A，且四边形 BCED 的面积为 10，则 k 的值为 16如图，直线 yx+与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 A1，过点 A
6、1作 A1B1MA1交 x 轴于点 B1，以A1B1为边向右作正方形 A1B1C1A2；延长 A2C1交 x 轴于点 B2，以 A2B2为边向右作正方形 A2B2C2A3；以此类推，作正方形 A3B3C3A4，AnBnnAn+1.则点 C2021的纵坐标为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 个题，个题，17 题题 6 分，分，18，19 题各题各 8 分，共分，共 22 分）分） 17先化简，再求值：，其中 x 是不等式 3x71 的正整数解 18为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校男、女生的身高进行抽样调查抽取的样本中，男生和女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图
7、表 组别 男女生身高（cm） A x155 B 155x160 C 160 x165 D 165x170 E x170 根据图表中提供的信息，回答下列问题： （1）男生身高的中位数落在 组（填组别字母）； （2）女生身高扇形统计图“B 组”所对应的扇形圆心角的度数为 ； （3）已知该校共有男生 500 人，女生 480 人，请估计身高在 160 x170 之间的学生有多少人？ 19在一次数学兴趣小组活动中，小明和小刚两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标有数字） （1）小明转动一次甲转盘，转盘停止后，指针所指区域内为数字“5”的概率是 ；
8、（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一扇形区域内为止） （2）游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一扇形区域内为止），若指针所指区域内两数和小于 12，则小明获胜；若指针所指区域内两数和等于 12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于 12，则小刚获胜这个游戏规则公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 2 个题，每题个题，每题 8 分，共分，共 16 分）分） 20 某家电超市销售每台进价分别为 200 元、 170 元的 A， B 两种型号的电风扇， 下表是近两周的销售情况：
9、销售时段 销售量 销售收入 A 型号 B 型号 第一周 3 台 5 台 1800 元 第二周 4 台 10 台 3100 元 （1）求 A，B 两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备再采购这两种型号的电风扇共 30 台，并且全部售出，所获得的总利润不低于 1305 元，求 A 种型号的电风扇至少采购多少台？ 21某校为了迎接建党百年，丰富学生社会实践活动，决定组织八年级学生到红色文化基地 A 和人工智能科技馆 C 参观学习如图，学校在点 B 处，A 位于学校的东北方向，C 位于学校南偏东 30方向，C 在A 的南偏西 15方向（30+30）km 处如果将八年级学生分成两组分别参观学习，
10、两组学生同时从学校出发，第一组学生乘坐客车前往 A 地，速度是 40km/h；第二组学生乘坐公交车前往 C 地，速度是30km/h请问：哪组学生先到达目的地？并通过计算说明理由（参考数据：1.414，1.732） 五、解答题（本题共五、解答题（本题共 8 分）分） 22如图，ABC 内接于O，AC 为O 的直径，PB 是O 的切线，B 为切点，OPBC，垂足为 E，交O 于点 D，连接 BD （1）求证：BD 平分PBC； （2）若O 的半径为 1，PD3DE，求 sinP 及 AB 的长 六、解答题（本题共六、解答题（本题共 10 分）分） 23某网店经营一种热销商品，每件进价为 20 元，
11、出于营销考虑，要求每件商品的售价不低于 20 元且不高于 28 元，在销售过程中发现该商品每周的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为 22 元时，销售量为 36 件；当销售单价为 24 元时，销售量为 32 件 （1）请求出 y 与 x 的函数关系式； （2）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为 w 元， 写出 w 与 x 的函数关系式； 将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 七、解答题（本题共七、解答题（本题共 12 分）分） 24在ABC 中，ACB90将ABC 绕点 C 逆时针旋转一定角度（旋转角度不大于
12、 180），得到DEC（点 D，E 分别与点 A，B 对应），连接 AD，BE （1）如图 1，当点 A，C，E 在同一条直线上时，直接写出 AD 与 BE 的位置关系为 ； （2）如图 2，当点 D 落在 AB 上时，（点 D 不与点 A 重合），请判断 AD 与 BE 的位置关系，并证明你的结论； （3）如图 3，将ABC 绕点 C 逆时针旋转 60时，延长 AD 与直线 BC，BE 分别相交于点 F，G，连接CG，试探究线段 CG 与 DE 之间满足的数量关系，并说明理由 八、解答题（本题共八、解答题（本题共 12 分）分） 25如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 在 y 轴的正半轴上
13、，点 B，C 在 x 轴上，OA2，OB1，OC4 （1）求过 A，B，C 三点的抛物线的表达式； （2）M 为抛物线对称轴上一动点，连接 BM，CM，将BCM 沿直线 BM 翻折得到BCM，若点 C恰好落在抛物线的对称轴上，求点 M 的坐标； （3）如图 2，连接 AC，若点 D 在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度由点 B 向点 O 运动，同时，点E 在线段 OA 上以每秒 2 个单位长度的速度由点 O 向点 A 运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），过点 E 作 EPx 轴，交 AC 于点 P，在运动过程中，线段 PD 的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不
14、存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 2 分，共分，共 16 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）目要求的） 12 的绝对值是（ ） A2 B2 C D 【分析】根据绝对值的定义，可直接得出2 的绝对值 解：|2|2， 故选：B 2下列四个图形分别是节能、节水、绿色食品和低碳标志，其中轴对称图形是（ ） A B C D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时也可以说这个图形关于这条直线
15、（成轴）对称 解：选项 C 能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 选项 A、B、D 不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：C 3如图是由多个相同小立方体搭成的几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A B C D 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，进而得出答案 解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一列两行都只有一个正方体，所以此几何体
16、如图所示： 故选：B 4如图，ABCD，165，235，则B（ ） A20 B25 C30 D35 【分析】利用平行线的性质和对顶角性质以及三角形外角定理即可解决问题 解：ABCD，165， AEG165， 235，2EFB， EFB35， AEGB+EFB， B653530， 故选：C 5下列事件属于必然事件的是（ ） A随意掷一枚均匀的骰子，朝上一面的点数为 6 B抛一枚硬币，正面朝上 C两个加数的和一定大于每一个加数 D任意实数的绝对值为非负数 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可 解：A、随意掷一枚均匀的骰子，朝上一面的点数为 6，是随机事件，不符合题意； B、抛一枚硬币，正面朝上
17、，是随机事件，不符合题意； C、两个加数的和一定大于每一个加数，是随机事件，不符合题意； D、任意实数的绝对值为非负数，是必然事件，符合题意； 故选：D 6某市在城市建设过程中，需要铺设一条长为 9600 米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划提高了 20%，结果提前了 8 天完成任务，设原计划每天铺设管道 x米，根据题意，所列方程正确的是（ ） A B C D 【分析】设原计划每天铺设管道 x 米，根据工作效率比原计划提高 20%，结果提前了 8 天完成任务，列方程即可 解：设原计划每天铺设管道 x 米， 由题意得，8 故选：D 7如图所示，菱形 AB
18、CO 的边长为 5，对角线 OB 的长为 4，P 为 OB 上一动点，则 AP+OP 的最小值为（ ） A4 B5 C2 D3 【分析】如图，过点 A 作 AHOC 于点 H，过点 P 作 PFOC 于点 F，连接 AC 交 OB 于点 J利用面积法求出 AH，再证明 PFOP，利用垂线段最短，可得结论 解：如图，过点 A 作 AHOC 于点 H，过点 P 作 PFOC 于点 F，连接 AC 交 OB 于点 J 四边形 OABC 是菱形， ACOB， OJJB2，CJ， AC2CJ2， AHOC， OCAHOBAC， AH4， sinPOF， PFOP， AP+OPAP+PF， AP+PFAH
19、， AP+OP4， AP+OP 的最小值为 4， 故选：A 8如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，如果动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 BAC 运动到点 C，同时动点 Q 从点 A 出发，以每秒个单位长度的速度沿 ACD 运动到点 D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止设APQ 的面积为 S，运动时间为 t 秒，则 S 关于 t 的函数图象大致为（ ） A B C D 【分析】分类讨论，点 P 在线段 AB 上，点 Q 在线段 AC 上；点 P 在线段 AC 上，点 Q 在线段 CD上，分别过点 Q 作 QHAB 于点 H，过点 Q 作 QMAC 于点 M，
20、再利用解直角三角形求出 QH 和 QM的长度，最后求出APQ 的面积，从而得到对应的函数图象 解：AB3，BC4， AC5， 点 P 在线段 AB 上的运动时间为 313s，点 Q 在线段 AC 上的运动时间为 53s，点 P 从 BAC 的运动时间为（3+5）18s，点 Q 从 ACD 的运动时间为（5+3）s， 点 P 与点 Q 同时出发，同时分别到达点 A 与点 C， 如图 1，当点 P 在线段 AB 上，点 Q 在线段 AC 上，即 0t3 时，AP3t，AQt， 过点 Q 作 QHAB 于点 H，则 HQAQsinQAHAQsinBACtt， S（3t）tt2+2t（t）2+，故选项
21、 D 错误，不符合题意； 如图 2，当点 P 在线段 AC 上，点 Q 在线段 CD 上，即 3t时，APt3，CQt5， 过点 Q 作 QMAC 于点 M，则 MQCQsinQCMCQsinACD（t5）t4， S（t3）（t4）t24t+6（t3）2，故选项 A、B 错误，不符合题意； 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9因式分解：12x3y3xy 3xy（2x1）（2x+1） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可 解：原式3xy（4x21） 3xy（2x+1）（2x1） 故答案为：3xy（2
22、x+1）（2x1） 10截至 2021 年 2 月 25 日，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下 128000 个贫困村全部脱贫，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹， 将数据 128000 用科学记数法表示为 1.28105 【分析】将一个数表示成 a10n，1a10，n 是正整数的形式，叫做科学记数法，根据此定义即可得出答案 解：根据科学记数法的定义，1280001.28105， 故答案为 1.28105 11某市林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下： 移植总数（n） 50 270 400 750 1500 3500 7000 90
23、00 14000 成活数（m） 47 235 369 662 1335 3180 6321 8073 12628 成活频率（） 0.94 0.87 0.923 0.883 0.89 0.908 0.903 0.897 0.902 由此可以估计该种幼树移植成活的概率为 0.90 .（结果保留小数点后两位） 【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率 解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， 这种幼树移植成活率的概率约为 0.90， 故答案为：0.90 12已知数据 1，a，3，5，7，
24、其中整数 a 是这组数据的平均数，则该组数据的方差是 4 【分析】根据平均数确定出 a 后，再根据方差的公式计算方差即可 解：由平均数的公式得：（1+a+3+5+7）5a，解得 a4； 则方差（14）2+（44）2+（34）2+（54）2+（74）24 故答案为：4 13如图，半径为 10 的扇形 AOB 中，AOB90，C 为上一点，CDOA，CEOB，垂足分别为 D、E若CDE36，则图中阴影部分的面积为 10 【分析】连接 OC，易证得四边形 CDOE 是矩形，则DOECEO，得到COBDEOCDE36，图中阴影部分的面积扇形 OBC 的面积，利用扇形的面积公式即可求得 解：连接 OC，
25、 AOB90，CDOA，CEOB， 四边形 CDOE 是矩形， CDOE， DEOCDE36， 由矩形 CDOE 易得到DOECEO， COBDEO36 图中阴影部分的面积扇形 OBC 的面积， S扇形OBC10 图中阴影部分的面积10， 故答案为 10 14如图，二次函数 yax2+bx+c 的图象过点 A（3，0），对称轴为直线 x1，给出以下结论：abc0；b24ac0；抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标为（1，0）；若 B（，y1），C（，y2）为函数图象上的两点，则 y1y2.其中正确的结论是 .（填写代表正确结论的序号） 【分析】利用抛物线开口方向得到 a0，利用抛物线的对称轴方程
26、得到 b2a0，则可对进行判断；利用抛物线与 x 轴的交点个数对进行判断；利用抛物线的对称性对进行判断；利用二次函数的性质对进行判断 解：由图象可知，a0，b0，c0， abc0，故错误； 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，故正确； 抛物线与 x 轴的一个交点为（3，0），而抛物线的对称轴为直线 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为的横坐标为 2（1）（3）1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0），所以正确； B（，y1），C（，y2）为函数图象上的两点，又点 C 离对称轴近， y1y2，故错误 正确， 故答案为： 15 如图， 平行四边形 ABCO 的边 AB 的中点 D
27、在 y 轴上，对角线 AC 与 y 轴交于点 E，若反比例函数 y（x0）的图象恰好经过点 A，且四边形 BCED 的面积为 10，则 k 的值为 12 【分析】设ADE 的面积为 a，根据平行四边形性质可得 ABOC，ABOC，由 D 是 AB 的中点得：AB2AD， 由ADECOE， 四边形 BCED 的面积为 10， 根据相似三角形性质可得 a2， 进而可得 SAEO2a，依据反比例函数系数的几何意义即可得到答案 解：如图，设ADE 的面积为 a， D 是 AB 的中点， AB2AD， 四边形 ABCO 是平行四边形， ABOC，ABOC， ADECOE， （）2， COE 的面积4a，
28、AOE 的面积2a， SABCSACO， 四边形 BCED 的面积6aa5a， 四边形 BCED 的面积为 10， 5a10， a2， ADO 的面积a+2a3a6， 反比例函数 y（x0）的图象恰好经过点 A， k6212 故答案为：12 16如图，直线 yx+与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 A1，过点 A1作 A1B1MA1交 x 轴于点 B1，以A1B1为边向右作正方形 A1B1C1A2；延长 A2C1交 x 轴于点 B2，以 A2B2为边向右作正方形 A2B2C2A3；以此类推，作正方形 A3B3C3A4，AnBnnAn+1.则点 C2021的纵坐标为 【分析】利用已知条件得出
29、点 A1和点 M 的坐标，进而得出线段 OM，OA1的长度；解直角三角形得出第一个小正方形的边长，过点 C1作 x 轴的垂线段，解直角三角形即可得到点 C1的纵坐标；利用同样的方法求出第二个小正方形的边长，过点 C2作 x 轴的垂线段，解直角三角形即可得到点 C2的纵坐标，同理可得 C3的纵坐标，通过分析已求得的点的纵坐标的规律即可求得结论 解：直线 yx+与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 A1， A1（0，），M（3，0） OA1，OM3 tanA1MO， A1MO30 四边形形 A1B1C1A2为正方形， MA1B190，A1B1B290 OA1B130，A1B1O60 C1B1B2
30、30 在 RtA1OB1中， cosOA1B1， A1B12 B1C1A1B12 过点 C1作 C1Ax 轴于点 A，如图， sinC1B1B2， AC121 C1的纵坐标为 1 在 RtB1C1B2中， tanC1B1B2， B2C1 A2B2A2C1+B2C12+ 四边形 A1B1C1A2和四边形 A2B2C2A3是正方形， B1C1B2C2 C2B2B3C1B1B230 过点 C2作 C2Bx 轴于点 B，如图， sinC2B2B3， 1+ C2的纵坐标为：1+ 同理可得 C3的纵坐标为： C1的纵坐标为：1， C2的纵坐标为：1+， C3的纵坐标为：， n的纵坐标为： C2021的纵坐
31、标为： 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 个题，个题，17 题题 6 分，分，18，19 题各题各 8 分，共分，共 22 分）分） 17先化简，再求值：，其中 x 是不等式 3x71 的正整数解 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，解不等式确定 x 的值，代入计算即可 解：原式 ， 解不等式 3x71，得 x2， x 是不等式 3x71 的正整数解， x1，x2， 由题意得：x0，2，4， 则当 x1 时，原式1 18为了了解某中学学生的身高情况，随机对该校男、女生的身高进行抽样调查抽取的样本中，男生和女生的人数相同，根据所得数据绘制成如图所示的统计图表 组别
32、男女生身高（cm） A x155 B 155x160 C 160 x165 D 165x170 E x170 根据图表中提供的信息，回答下列问题： （1）男生身高的中位数落在 D 组（填组别字母）； （2）女生身高扇形统计图“B 组”所对应的扇形圆心角的度数为 108 ； （3）已知该校共有男生 500 人，女生 480 人，请估计身高在 160 x170 之间的学生有多少人？ 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）根据 B 组所对应的百分比可得圆心角的度数； （3）分别用男、女生的人数，相加即可得解 解：（1）根据条形统计图可得男生共有 40 人，第 20 和第 21 人的身高均在
33、 D 组， 故答案为：D； （2）在样本中，由女生身高扇形图可得，135%20%10%5%30%， 36030%108 所以女生身高扇形统计图“B 组”所对应的扇形圆心角的度数为 108 故答案为：108； （3）（人）， 故估计身高在 160 x170 之间的学生约有 541 人 19在一次数学兴趣小组活动中，小明和小刚两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标有数字） （1）小明转动一次甲转盘，转盘停止后，指针所指区域内为数字“5”的概率是 ；（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一扇形区域内为止） （2）游戏规则如下：两人分别同
34、时转动甲、乙转盘，转盘停止后（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一扇形区域内为止），若指针所指区域内两数和小于 12，则小明获胜；若指针所指区域内两数和等于 12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于 12，则小刚获胜这个游戏规则公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有 12 种等可能的结果，其中和小于 12 的结果有 6 种，和大于 12 的结果有 3 种，再由概率公式取小明获胜的概率和小刚获胜的概率，然后比较大小，即可得出结论 解：（1）小明转动一次甲转盘，转盘停止后，指针所指区域内为数字“5”的概率是， 故答案为：；
35、 （2）此游戏规则不公平，理由如下： 根据题意画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果，其中和小于 12 的结果有 6 种，和大于 12 的结果有 3 种， 小明获胜的概率为，小刚获胜的概率为 ， 此游戏规则不公平 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 2 个题，每题个题，每题 8 分，共分，共 16 分）分） 20 某家电超市销售每台进价分别为 200 元、 170 元的 A， B 两种型号的电风扇， 下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售量 销售收入 A 型号 B 型号 第一周 3 台 5 台 1800 元 第二周 4 台 10 台 3100 元 （1）求 A，B 两种型号的电风扇
36、的销售单价； （2）若超市准备再采购这两种型号的电风扇共 30 台，并且全部售出，所获得的总利润不低于 1305 元，求 A 种型号的电风扇至少采购多少台？ 【分析】（1）设 A 种型号的电风扇的销售单价为 x 元，B 种型号的电风扇的销售单价为 y 元，利用总价单价数量，结合近两周的销售数量及销售收入，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出 A，B 两种型号的电风扇的销售单价； （2）设采购 A 种型号电风扇 m 台，则采购 B 种型号的电风扇（30m）台，利用总利润每台的销售利润销售数量，结合总利润不低于 1305 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的
37、取值范围，再取其中的最小整数值即可得出 A 种型号的电风扇至少采购 11 台 解：（1）设 A 种型号的电风扇的销售单价为 x 元，B 种型号的电风扇的销售单价为 y 元， 依题意得：， 解得： 答：A 种型号的电风扇的销售单价为 250 元，B 种型号的电风扇的销售单价为 210 元 （2）设采购 A 种型号电风扇 m 台，则采购 B 种型号的电风扇（30m）台， 依题意得：（250200）m+（210170）（30m）1305， 解得：m10.5， 又m 为正整数， m 的最小值为 11 答：A 种型号的电风扇至少采购 11 台 21某校为了迎接建党百年，丰富学生社会实践活动，决定组织八年
38、级学生到红色文化基地 A 和人工智能科技馆 C 参观学习如图，学校在点 B 处，A 位于学校的东北方向，C 位于学校南偏东 30方向，C 在A 的南偏西 15方向（30+30）km 处如果将八年级学生分成两组分别参观学习，两组学生同时从学校出发，第一组学生乘坐客车前往 A 地，速度是 40km/h；第二组学生乘坐公交车前往 C 地，速度是30km/h请问：哪组学生先到达目的地？并通过计算说明理由（参考数据：1.414，1.732） 【分析】 过点 B 作 BDAC 于 D， 在 RtBCD 中证得 BDCD， 设 BDx， 则 CDx，在 RtABD 中，BAC30，利用三角函数定义表示出 A
39、D 的长，在 RtBDC 中，利用三角函数表示出 CD 的长，由AD+CDAC 列出方程问题得解 解：第二组学生先到达目的地 如图，过点 B 作 BDAC 于 D 依题意得，BAE45，ABC105，CAE15， BAC30， ACB45 在 RtBCD 中，BDC90，ACB45， CBD45， CBDDCB， BDCD 设 BDx，则 CDx， 在 RtABD 中，BAC30， AB2BD2x， ， ， 在 RtBDC 中，BDC90，DCB45， ， ， ， ， x30， AB2x60， 第一组用时：60401.5（h）；第二组用时：， ， 第二组学生先到达目的地 五、解答题（本题共五、
40、解答题（本题共 8 分）分） 22如图，ABC 内接于O，AC 为O 的直径，PB 是O 的切线，B 为切点，OPBC，垂足为 E，交O 于点 D，连接 BD （1）求证：BD 平分PBC； （2）若O 的半径为 1，PD3DE，求 sinP 及 AB 的长 【分析】（1）连接 OB，根据切线的性质得到 OBPB，根据等腰三角形的性质、同角的余角相等证明结论； （2）过点 D 作 DKPB 于点 K，根据角平分线的性质得到 DKDE，根据正弦的定义求出 sinP，根据BEOPEB 求出 OE，根据三角形中位线定理解答即可 【解答】（1）证明：如图，连接 OB， PB 是O 切线， OBPB，
41、PBO90， PBD+OBD90， OBOD， OBDODB， OPBC， BED90， DBE+ODB90， PBDDBE， BD 平分PBC； （2）解：如图，过点 D 作 DKPB 于点 K， BD 平分PBE，DEBE，DKPB， DKDE， PD3DE， PD3DK， 在 RtPDK 中，sinP， OBE+PBE90，PBE+P90， OBEP， OEBBEP90， BEOPEB， ，即， BO1， OE， OBOC，OEBC， BEEC， AOOC， AB2OE 六、解答题（本题共六、解答题（本题共 10 分）分） 23某网店经营一种热销商品，每件进价为 20 元，出于营销考虑，
42、要求每件商品的售价不低于 20 元且不高于 28 元，在销售过程中发现该商品每周的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为 22 元时，销售量为 36 件；当销售单价为 24 元时，销售量为 32 件 （1）请求出 y 与 x 的函数关系式； （2）设该网店每周销售这种商品所获得的利润为 w 元， 写出 w 与 x 的函数关系式； 将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题 （2）根据题意列出函数解析式即可 （3）根据二次函数解析式，配方法得到顶点式，利用二次函数的性质即可解决问题
43、 解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 ykx+b， 把 x22，y36 和 x24，y36 分别代入 ykx+b 得， 解得， y 与 x 的函数关系式为 y2x+80； （2）由题意可得：w（x20）（2x+80）2x2+120 x1600， w 与 x 的函数关系式为 w2x2+120 x1600 w2x2+120 x16002（x30）2+200， 20，w 有最大且对称轴为直线 x30， 在对称轴左侧，即 x30 时，w 随 x 的增大而增大， 又售价不低于 20 元且不高于 28 元，即 20 x28， 当 x28 时，（元）， 答：该商品销售单价定为 28 元时，才能使网店销
44、售该该商品所获利润最大，最大利润是 192 元 七、解答题（本题共七、解答题（本题共 12 分）分） 24在ABC 中，ACB90将ABC 绕点 C 逆时针旋转一定角度（旋转角度不大于 180），得到DEC（点 D，E 分别与点 A，B 对应），连接 AD，BE （1）如图 1，当点 A，C，E 在同一条直线上时，直接写出 AD 与 BE 的位置关系为 ADBE ； （2）如图 2，当点 D 落在 AB 上时，（点 D 不与点 A 重合），请判断 AD 与 BE 的位置关系，并证明你的结论； （3）如图 3，将ABC 绕点 C 逆时针旋转 60时，延长 AD 与直线 BC，BE 分别相交于点
45、F，G，连接CG，试探究线段 CG 与 DE 之间满足的数量关系，并说明理由 【分析】（1）延长 AD 交 BE 于 G，根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）根据相似三角形的判定和性质解答即可； （3）根据旋转的性质和相似三角形的判定和性质解答即可 解：（1）延长 AD 交 BE 于 G， ， 由旋转的性质得，ABCDEC， ECBC，CDAC， ACB90， BCE 和ACD 是等腰直角三角形， CDAEBC45， GDBCDA45， EBC+GDB90， AGB90， ADBE， 故答案为：ADBE； （2）AD 与 BE 的位置关系是 ADBE 证明：如图 2， EC
46、DBCA90，CECB，CDCA， ECB+BCDDCA+BCD， ECBDCA， BCEACD， EBCA， ACB90， A+ABC90， EBAEBC+ABC90， ADBE （3）如图 3， 线段 CG 与 DE 之间满足的数量关系是 DEC 是由ABC 绕点 C 逆时针旋转 60得到的， BCEACD60，CECB，CDCA，EDBA， BEC 和ADC 为等边三角形， EBCFAC60， ACB90， AFCBFG30， BGFACF90， BFGAFC， ， ， GFCBFA， CGFABF， ， EDAB， 八、解答题（本题共八、解答题（本题共 12 分）分） 25如图 1，在
47、平面直角坐标系中，点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B，C 在 x 轴上，OA2，OB1，OC4 （1）求过 A，B，C 三点的抛物线的表达式； （2）M 为抛物线对称轴上一动点，连接 BM，CM，将BCM 沿直线 BM 翻折得到BCM，若点 C恰好落在抛物线的对称轴上，求点 M 的坐标； （3）如图 2，连接 AC，若点 D 在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度由点 B 向点 O 运动，同时，点E 在线段 OA 上以每秒 2 个单位长度的速度由点 O 向点 A 运动（当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动），过点 E 作 EPx 轴，交 AC 于点 P，在运动过程中，线段 PD
48、的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由 【分析】（1）根据 OA，OB，OC 的长可得 A 点、B 点、C 点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设抛物线的对称轴直线与 x 轴交于点 H，根据抛物线的解析式可得对称轴方程，可得点 H 的坐标，求得 BH 的长，再利用三角函数得出CBH60，分点 M 在 x 轴上方和下方两种情况分类讨论分别求出 M 的坐标即可； （3）设点 D 运动的时间为 t 秒（0t1），过点 P 作 PFx 轴于点 F，根据点 D、E 的运动速度及方向可用 t 表示出 D 点、 E 点的坐标及 P 点的纵坐标， 证APEACO，
49、根据比例关系得出 P 点的坐标，根据勾股定理得出 PD2关于 t 的二次函数，根据二次函数的性质即可求出答案 解：（1）设过 A，B，C 三点的抛物线的表达式为 yax2+bx+c， 由题意可知：A（0，2），B（1，0），C（4，0）， c2， 将 B（1，0），C（4，0），c2 代入 yax2+bx+c 可得， 解得， 所以抛物线的表达式为； （2）抛物线与 x 轴交于 B（1，0），C（4，0）， BC5，抛物线的对称轴为直线， 如图，设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 H， 则 H 点的坐标为， 由翻折得 BCBC5， 在 RtBHC中， CBH60， 当点 M1在 x 轴下方时， 由翻折得， 在 RtM1BH 中， 点 M1的坐标为， 当 M2在 x 轴上方时，由翻折得， 在 RtM2BH 中， 点 M2的坐标为， 点 M 的坐标为或； （3）如图，设点 D 运动的时间为 t 秒（0t1）， 则 D（1+t，0），E（0，2t），P（xP，2t） PEOC， APEACO， ，即， xP42t， 过点 P 作 PFx 轴于点 F，则 F（44t，0）， DF（44t）（1+t）55t， PD2DF2+PF2（55t）2+（2t）229t250t+25， 又， 当时，PD2最小值为， 故在运动过程中，线段 PD 的长度存在最小值，最小值为
