1、2019 年辽宁省沈阳市沈北新区中考数学二模试卷一、选择题（每题 2 分，共 20 分）1 （2 分）由 5 个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ）A BC D2 （2 分）下列四个数：3， ，1，其中最小的数是（ ）A B3 C1 D3 （2 分）一种花瓣的花粉颗粒直径约为 0.0000065 米，0.0000065 用科学记数法表示为（ ）A6.510 5 B6.510 6 C6.510 7 D6510 64 （2 分）下列运算正确的是（ ）Aa 2a3a 6 B （ab） 2a 2b2 C （a 2） 3a 5 Da 2+a2a 45 （2 分）反比例函数 y 的图象在
2、（ ）A第一、三象限 B第二、四象限C第一、二象限 D第三、四象限6 （2 分）打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水） ，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ）A BC D7 （2 分）如图，O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在O 上，则APB 等于（ ）A30 B45 C55 D608 （2 分）据调查，2013 年 5 月济南市的房价均价为 7600 元/m 2，2015 年同期达到 8200元/m 2，假设这两年济南市房价的平均增长率为 x，根据题意，所列方
3、程为（ ）A7600（1+x%） 28200 B7600（1x%） 28200C7600（1+x） 28200 D7600（1 x ） 282009 （2 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB3cm，BC5cm ，对角线 AC，BD 相交于点 O，则 OA 的取值范围是（ ）A2cmOA 5cm B2cmOA 8cm C1cmOA4cm D3cm OA8cm10 （2 分）二次函数 yax 2+bx+c（a0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）A函数有最小值B对称轴是直线 xC当 x ， y 随 x 的增大而减小D当1x2 时，y0二、填空题（每题 3 分，共 18
4、分）11 （3 分）分解因式：ab 34ab 12 （3 分）不等式组 的解集为 13 （3 分）如图，ABC 的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将ABC 绕 C 点按逆时针方向旋转 90，那么点 B 的对应点 B的坐标是 14 （3 分）如图，某小区有一块长为 30m，宽为 24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m 15 （3 分）在ABC 中，AB15，AC 13，高 AD12，则ABC 的周长为 16 （3 分）如图，将菱形纸片 ABCD 折叠，使点 A 恰好落在菱形的对称中心
5、O 处，折痕为 EF，若菱形 ABCD 的边长为 2cm，A120，则 EF cm三、解答题17 （6 分）化简分式：（ ） ，并从 1，2，3，4 这四个数中取一个合适的数作为 x 的值代入求值18 （8 分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分类别 A B C D E节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲人数 12 30 m 54 9请你根据以上的信息，回答下列问题：（1）被调查的学生中，最喜爱体育节目的有 人，这些学生数占被调查总人数的百分比
6、为 %（2）被调查学生的总数为 人，统计表中 m 的值为 ，统计图中 n 的值为 （3）在统计图中，E 类所对应扇形圆心角的度数为 （4）该校共有 2000 名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数19 （8 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且DFBE（1）求证：CECF；（2）若点 G 在 AD 上，且GCE45，则 GEBE+GD 成立吗？为什么？20 （8 分）小华和小军做摸球游戏：A 袋装有编号为 1，2，3 的三个小球，B 袋装有编号为 4，5，6 的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同从两个袋子中分别随机摸出一个小
7、球，若 B 袋摸出小球的编号与 A 袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜这个游戏对双方公平吗？请说明理由21 （8 分）某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元，经市场预测，销售定价为 52 元时，可售出 180 个，定价每增加 1 元，销售量减少 10 个因受库存影响，每批次进货个数不得超过 180 个商店若准备获利 2000 元，则应进货多少个？定价多少元？22 （10 分）如图，AB、AC 分别是O 的直径和弦，ODAC 于点 D过点 A 作O 的切线与OD 的延长线交于点 P，PC、 AB 的延长线交于点 F（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若ABC60，AB 10
8、，求线段 CF 的长23 （10 分）在直角坐标系中，过原点 O 及点 A（8，0） ，C（0，6）作矩形 OABC、连结OB，点 D 为 OB 的中点，点 E 是线段 AB 上的动点，连结 DE，作 DFDE，交 OA 于点 F，连结 EF已知点 E 从 A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 AB 上移动，设移动时间为 t 秒（1）如图 1，当 t3 时，求 DF 的长（2）如图 2，当点 E 在线段 AB 上移动的过程中，DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 tanDEF 的值（3）连结 AD，当 AD 将DEF 分成的两部分的面积之比为 1：2 时
9、，求相应的 t 的值24 （12 分）如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BCD，ACAB，E 是 BC 的中点，ADAE（1）求证：AC 2CDBC；（2）过 E 作 EGAB ，并延长 EG 至点 K，使 EKEB 若点 H 是点 D 关于 AC 的对称点，点 F 为 AC 的中点，求证：FHGH ；若 B30 ，求证：四边形 AKEC 是菱形25 （12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax 2+bx5 与 x 轴交于A（1 ，0） ，B（5，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 D 是 y 轴上的一点，且以 B，C，D 为顶点的三角形
10、与 ABC 相似，求点 D的坐标；（3）如图 2，CEx 轴与抛物线相交于点 E，点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点，过点 H 且与 y 轴平行的直线与 BC，CE 分别相交于点 F，G，试探究当点 H 运动到何处时，四边形 CHEF 的面积最大，求点 H 的坐标及最大面积；（4）若点 K 为抛物线的顶点，点 M（4，m ）是该抛物线上的一点，在 x 轴，y 轴上分别找点 P，Q，使四边形 PQKM 的周长最小，求出点 P， Q 的坐标2019 年辽宁省沈阳市沈北新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题 2 分，共 20 分）1 （2 分）由 5 个相同的立方体搭成的几何体
11、如图所示，则它的主视图是（ ）A BC D【分析】细心观察图中几何体摆放的位置，根据主视图是从正面看到的图象判定则可【解答】解：从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为：1，1，2故选：C【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图2 （2 分）下列四个数：3， ，1，其中最小的数是（ ）A B3 C1 D【分析】将四个数从大到小排列，即可判断【解答】解：1 3，最小的数为，故选：A【点评】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小3 （2 分）一种花瓣的花粉颗粒直径约为 0.0
12、000065 米，0.0000065 用科学记数法表示为（ ）A6.510 5 B6.510 6 C6.510 7 D6510 6【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.00000656.510 6 ；故选：B【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定4 （2 分）下列运算正确的是（ ）Aa 2a3a 6 B （ab） 2a 2
13、b2 C （a 2） 3a 5 Da 2+a2a 4【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘；以及合并同类项法则对各选项分析判断即可得解【解答】解：A、a 2a3a 2+3a 5，故本选项错误；B、 （ab） 2a 2b2，故本选项正确；C、 （a 2） 3a 23a 6，故本选项错误；D、a 2+a22a 2，故本选项错误故选：B【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键5 （2 分）反比例函数 y 的图象在（ ）A第一、三象限 B第二、四象限C第一、
14、二象限 D第三、四象限【分析】反比例函数 y （k0）的图象 k0 时位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；k 0 时图象位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大【解答】解：k40，函数图象在二、四象限故选：B【点评】本题考查了反比例函数图象的性质较为简单，容易掌握6 （2 分）打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水） ，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ）A BC D【分析】理解洗衣机的四个过程中的含水量与图象的关系是关键【解答】解：
15、因为进水时水量增加，函数图象的走势向上，所以可以排除 B，清洗时水量大致不变，函数图象与 x 轴平行，排水时水量减少，函数图象的走势向下，排除 A，对于 C、D，因为题目中明确说明了一开始时洗衣机内无水故选：D【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力7 （2 分）如图，O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 P 在O 上，则APB 等于（ ）A30 B45 C55 D60【分析】连接 OA，OB根据正方形的性质，得AOB90再根据圆周角定理，即可求解【解答】解：连接 OA，OB根据正方形的性质，得AOB90再根据圆周角定理，得APB 45故选：B【点评】此题综合运用了正方形的性质以及
16、圆周角定理8 （2 分）据调查，2013 年 5 月济南市的房价均价为 7600 元/m 2，2015 年同期达到 8200元/m 2，假设这两年济南市房价的平均增长率为 x，根据题意，所列方程为（ ）A7600（1+x%） 28200 B7600（1x%） 28200C7600（1+x） 28200 D7600（1 x ） 28200【分析】2014 年的房价 82002012 年的房价 7600（1+年平均增长率） 2，把相关数值代入即可【解答】解：2013 年同期的房价为 7600（1+x） ，2014 年的房价为 7600（1+x） （1+x）7600（1+x） 2，即所列的方程为 7
17、600（1+x） 28200，故选：C【点评】考查列一元二次方程；得到 2013 年房价的等量关系是解决本题的关键9 （2 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB3cm，BC5cm ，对角线 AC，BD 相交于点 O，则 OA 的取值范围是（ ）A2cmOA 5cm B2cmOA 8cm C1cmOA4cm D3cm OA8cm【分析】由在平行四边形 ABCD 中，AB3cm，BC 5cm，根据平行四边形对角线互相平分与三角形三边关系，即可求得 OAOC AC，2cmAC8cm，继而求得 OA 的取值范围【解答】解：平行四边形 ABCD 中，AB3cm，BC 5 cm，OAOC AC，2c
18、mAC8cm，1cmOA 4 cm故选：C【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形三边关系此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意掌握平行四边形对角线互相平分定理的应用10 （2 分）二次函数 yax 2+bx+c（a0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）A函数有最小值B对称轴是直线 xC当 x ， y 随 x 的增大而减小D当1x2 时，y0【分析】根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断 A；根据图形直接判断 B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断 C；根据图象，当1x2 时，抛物线落在 x 轴的下方，则 y0，从而判断 D【解答】解：A、由抛物线
19、的开口向上，可知 a0，函数有最小值，正确，故 A 选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为 x ，正确，故 B 选项不符合题意；C、因为 a0，所以，当 x 时，y 随 x 的增大而减小，正确，故 C 选项不符合题意；D、由图象可知，当1x2 时，y0，错误，故 D 选项符合题意故选：D【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题二、填空题（每题 3 分，共 18 分）11 （3 分）分解因式：ab 34ab ab（b+2） （b2） 【分析】先提取公因式 ab，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解：ab 34ab，ab（b 24） ，ab（b+2）
20、（b2） 故答案为：ab（b+2） （b2） 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止12 （3 分）不等式组 的解集为 1x5 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可【解答】解：解不等式得：x1，解不等式 得： x5，不等式组的解集是1x5，故答案为：1x5【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键13 （3 分）如图，ABC 的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将ABC 绕 C 点按逆时针方向旋转 90，那么点 B
21、 的对应点 B的坐标是 （1，0） 【分析】先画出旋转后的图形，然后写出 B点的坐标【解答】解：如图，将ABC 绕 C 点按逆时针方向旋转 90，点 B 的对应点 B的坐标为（1，0） 故答案为：（1，0） 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如：30，45，60，90，18014 （3 分）如图，某小区有一块长为 30m，宽为 24m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 2 m 【分析】设人行通道的宽度
22、为 x 米，将两块矩形绿地合在一起长为（303x）m，宽为（242x）m，根据矩形绿地的面积为 480m2，即可列出关于 x 的一元二次方程，解方程即可得出 x 的值，经检验后得出 x20 不符合题意，此题得解【解答】解：设人行通道的宽度为 x 米，将两块矩形绿地合在一起长为（303x）m，宽为（242x）m ，由已知得：（303x）（242x）480，整理得：x 222x +400，解得：x 12，x 220，当 x20 时，303x 30，242x 16，不符合题意舍去，即 x2答：人行通道的宽度为 2 米故答案为 2【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于 x 的一元二
23、次方程是解题的关键15 （3 分）在ABC 中，AB15，AC 13，高 AD12，则ABC 的周长为 32 或 42 【分析】在 RtABD 中，利用勾股定理可求出 BD 的长度，在 RtACD 中，利用勾股定理可求出 CD 的长度，由 BCBD+CD 或 BCBDCD 可求出 BC 的长度，再将三角形三边长度相加即可得出ABC 的周长【解答】解：在 RtABD 中，BD 9；在 Rt ACD 中， CD 5，BCBD+ CD14 或 BC BDCD4，C ABC AB+BC+AC15+14+1342 或 CABC AB+BC+AC 15+4+1332故答案为：32 或 42【点评】本题考查
24、了勾股定理以及三角形的周长，利用勾股定理结合图形求出 BC 边的长度是解题的关键16 （3 分）如图，将菱形纸片 ABCD 折叠，使点 A 恰好落在菱形的对称中心 O 处，折痕为 EF，若菱形 ABCD 的边长为 2cm，A120，则 EF cm【分析】根据菱形性质得出 ACBD，AC 平分BAD，求出ABO30，求出AO，BO、DO，根据折叠得出 EFAC，EF 平分 AO，推出 EFBD ，推出，EF 为ABD 的中位线，根据三角形中位线定理求出即可【解答】解：连接 BD、AC，四边形 ABCD 是菱形，ACBD，AC 平分BAD，BAD120，BAC60，ABO906030，AOB90，
25、AO AB 21，由勾股定理得：BODO ，A 沿 EF 折叠与 O 重合，EFAC，EF 平分 AO，ACBD，EFBD ，EF 为ABD 的中位线，EF BD （ + ） ，故答案为： 【点评】本题考查了折叠性质，菱形性质，含 30 度角的直角三角形性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力三、解答题17 （6 分）化简分式：（ ） ，并从 1，2，3，4 这四个数中取一个合适的数作为 x 的值代入求值【分析】利用分式的运算，先对分式化简单，再选择使分式有意义的数代入求值即可【解答】解：（ ） ）（ ） x+2，x 240，x30，x
26、2 且 x2 且 x3，可取 x1 代入，原式3【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟悉掌握分式的运算法则是解题的关键，注意分式有意义的条件18 （8 分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分类别 A B C D E节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲人数 12 30 m 54 9请你根据以上的信息，回答下列问题：（1）被调查的学生中，最喜爱体育节目的有 30 人，这些学生数占被调查总人数的百分比为 20 %（2）被调查学生的总数为 150 人，
27、统计表中 m 的值为 45 ，统计图中 n 的值为 36 （3）在统计图中，E 类所对应扇形圆心角的度数为 21.6 （4）该校共有 2000 名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数【分析】 （1）观察图表体育类型即可解决问题；（2）根据“总数B 类型的人数B 所占百分比”可得总数；用总数减去其他类型的人数，可得 m 的值；根据百分比所占人数 /总人数可得 n 的值；（3）根据圆心角度数360所占百分比，计算即可；（4）用学生数乘以最喜爱新闻节目所占百分比可估计最喜爱新闻节目的学生数【解答】解：（1）最喜爱体育节目的有 30 人，这些学生数占被调查总人数的百分比为 20%故答案为
28、 30，20（2）总人数3020%150 人，m150123054945 ，n% 100%36% ，即 n36，故答案为 150，45，36（3）E 类所对应扇形的圆心角的度数360 21.6故答案为 21.6（4）估计该校最喜爱新闻节目的学生数为 2000 160 人答：估计该校最喜爱新闻节目的学生数为 160 人【点评】本题考查统计表、扇形统计图、样本估计总体等知识没解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型19 （8 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且DFBE（1）求证：CECF；（2）若点 G 在 AD 上，且GCE45，
29、则 GEBE+GD 成立吗？为什么？【分析】 （1）由 DFBE ，四边形 ABCD 为正方形可证CEBCFD，从而证出CECF（2）由（1）得，CECF，BCE+ ECDDCF+ECD 即ECFBCD90又GCE45所以可得GCEGCF，故可证得ECGFCG，即EGFGGD+DF又因为 DFBE，所以可证出 GEBE+GD 成立【解答】 （1）证明：在正方形 ABCD 中， ，CBECDF（SAS） CECF（2）解：GEBE +GD 成立理由是：由（1）得：CBECDF，BCEDCF，BCE+ ECDDCF+ ECD，即ECFBCD 90，又GCE45，GCFGCE45 ，ECGFCG（S
30、AS） GEGF GEDF +GDBE+GD【点评】本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和 GE 相等的线段，从而证出关系是不是成立20 （8 分）小华和小军做摸球游戏：A 袋装有编号为 1，2，3 的三个小球，B 袋装有编号为 4，5，6 的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若 B 袋摸出小球的编号与 A 袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜这个游戏对双方公平吗？请说明理由【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字的差为偶数的情况，再利用概率公式
31、求解即可求得答案【解答】解：不公平，画树状图得：共有 9 种等可能的结果，数字的差为偶数的有 4 种情况，P （小华胜） ，P （小军胜） ， ，这个游戏对双方不公平【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数之比21 （8 分）某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元，经市场预测，销售定价为 52 元时，可售出 180 个，定价每增加 1 元，销售量减少 10 个因受库存影响，每批次进货个数不得超过 180 个商店若准备获利 2000 元，
32、则应进货多少个？定价多少元？【分析】利用销售利润 2000售价进价，进而求出即可【解答】解：设每个小家电的增加是 x 元，由题意，得（52+x40） （18010x）2000，解得 x18，x 2218010x180，x0，x8，则 18010x 100（个） ，52+860（元） ，答：商店若准备获利 2000 元，则应进货 100 个，定价 60 元【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键22 （10 分）如图，AB、AC 分别是O 的直径和弦，ODAC 于点 D过点 A 作O 的切线与OD 的延长线交于点 P，PC、 AB 的延
33、长线交于点 F（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若ABC60，AB 10，求线段 CF 的长【分析】 （1）连接 OC，可以证得OAPOCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：OCP90，即 OCPC，即可证得；（2）先证OBC 是等边三角形得COB60，再由（1）中所证切线可得OCF90，结合半径 OC5 可得答案【解答】解：（1）连接 OC，ODAC，OD 经过圆心 O，ADCD，PAPC，在OAP 和OCP 中， ，OAPOCP（SSS） ，OCPOAPPA 是O 的切线，OAP90OCP90，即 OCPCPC 是O 的切线（2）OBOC，OBC 60，OBC
34、是等边三角形，COB60，AB10，OC5，由（1）知OCF90，CFOCtan COB5 【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题23 （10 分）在直角坐标系中，过原点 O 及点 A（8，0） ，C（0，6）作矩形 OABC、连结OB，点 D 为 OB 的中点，点 E 是线段 AB 上的动点，连结 DE，作 DFDE，交 OA 于点 F，连结 EF已知点 E 从 A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 AB 上移动，设移动时间为 t 秒（1）如图 1，当 t3 时，求 DF 的长
35、（2）如图 2，当点 E 在线段 AB 上移动的过程中，DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 tanDEF 的值（3）连结 AD，当 AD 将DEF 分成的两部分的面积之比为 1：2 时，求相应的 t 的值【分析】 （1）当 t3 时，点 E 为 AB 的中点，由三角形中位线定理得出DEOA，DE OA4，再由矩形的性质证出 DEAB，得出OABDEA90，证出四边形 DFAE 是矩形，得出 DFAE3 即可；（2）作 DM OA 于 M，DNAB 于 N，证明四边形 DMAN 是矩形，得出MDN90，DMAB ，DNOA，由平行线得出比例式 ， ，由三角形中位线
36、定理得出 DM AB3，DN OA4，证明DMFDNE，得出 ，再由三角函数定义即可得出答案；（3）作作 DMOA 于 M，DNAB 于 N，若 AD 将DEF 的面积分成 1：2 的两部分，设 AD 交 EF 于点 G，则点 G 为 EF 的三等分点；当点 E 到达中点之前时，NE 3t ，由DMF DNE 得：MF （3t） ，求出AF4+MF t+ ，得出 G（ ， t） ，求出直线 AD 的解析式为y x+6，把 G（ ， t）代入即可求出 t 的值；当点 E 越过中点之后， NEt 3，由DMF DNE 得：MF （t3） ，求出AF4MF t+ ，得出 G（ ， t） ，代入直线
37、AD 的解析式 y x+6求出 t 的值即可【解答】解：（1）当 t3 时，点 E 为 AB 的中点，A（8，0） ，C（0，6） ，OA8，OC6，点 D 为 OB 的中点，DEOA ，DE OA4，四边形 OABC 是矩形，OAAB，DEAB，OABDEA90，又DFDE ，EDF90，四边形 DFAE 是矩形，DFAE3；（2）DEF 的大小不变；理由如下：作 DM OA 于 M，DNAB 于 N，如图 2 所示：四边形 OABC 是矩形，OAAB，四边形 DMAN 是矩形，MDN90，DMAB ， DNOA， ， ，点 D 为 OB 的中点，M、N 分别是 OA、AB 的中点，DM A
38、B3，DN OA4，EDF90，FDMEDN，又DMFDNE90，DMFDNE， ，EDF90，tanDEF ；（3）作 DM OA 于 M，DNAB 于 N，若 AD 将DEF 的面积分成 1：2 的两部分，设 AD 交 EF 于点 G，则点 G 为 EF 的三等分点；当点 E 到达中点之前时，如图 3 所示，NE 3t ，由DMFDNE 得：MF （3t） ，AF4+MF t+ ，点 G 为 EF 的三等分点，G（ ， t） ，设直线 AD 的解析式为 ykx+b，把 A（8，0） ，D（4，3）代入得： ，解得： ，直线 AD 的解析式为 y x+6，把 G（ ， t）代入得：t ；当点
39、 E 越过中点之后，如图 4 所示，NE t 3，由DMFDNE 得：MF （t3） ，AF4MF t+ ，点 G 为 EF 的三等分点，G（ ， t） ，代入直线 AD 的解析式 y x+6 得：t ；综上所述，当 AD 将DEF 分成的两部分的面积之比为 1：2 时，t 的值为 或【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、一次函数解析式的求法等知识；本题综合性强，难度较大24 （12 分）如图，在四边形 ABCD 中，AC 平分BCD，ACAB，E 是 BC 的中点，ADAE（1）求证：AC 2CDBC
40、；（2）过 E 作 EGAB ，并延长 EG 至点 K，使 EKEB 若点 H 是点 D 关于 AC 的对称点，点 F 为 AC 的中点，求证：FHGH ；若 B30 ，求证：四边形 AKEC 是菱形【分析】 （1）欲证明 AC2CDBC ，只需推知ACD BCA 即可；（2） 连接 AH构建直角AHC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰对等角以及等量代换得到：FHGCAB 90，即 FHGH；利用 “在直角三角形中，30 度角所对的直角边等于斜边的一半” 、 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形 AKEC 的四条边都相等，则四边形 AKEC 是菱形【解答】证明：（1
41、）AC 平分 BCD，DCAACB又ACAB， ADAE，DAC+CAE90， CAE+EAB90，DACEAB又E 是 BC 的中点，AEBE，EAB ABC，DACABC，ACDBCA， ，AC 2CDBC；（2） 证明：连接 AHADCBAC90，点 H、D 关于 AC 对称，AHBCEGAB，AEBE，点 G 是 AB 的中点，HGAG ，GAH GHA点 F 为 AC 的中点，AFFH ，HAFFHA，FHG AHF+ AHG FAH +HAGCAB90，FHGH ；EK AB ， ACAB，EKAC，又B30，AC BCEBEC又 EKEB，EKAC，即 AKKEECCA，四边形
42、AKEC 是菱形【点评】本题考查了四边形综合题，需要熟练掌握相似三角形的判定与性质， “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 、 “在直角三角形中，30 度角所对的直角边等于斜边的一半”以及菱形的判定才能解答该题，难度较大25 （12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax 2+bx5 与 x 轴交于A（1 ，0） ，B（5，0）两点，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 D 是 y 轴上的一点，且以 B，C，D 为顶点的三角形与 ABC 相似，求点 D的坐标；（3）如图 2，CEx 轴与抛物线相交于点 E，点 H 是直线 CE 下方抛物线上的动点，过点
43、H 且与 y 轴平行的直线与 BC，CE 分别相交于点 F，G，试探究当点 H 运动到何处时，四边形 CHEF 的面积最大，求点 H 的坐标及最大面积；（4）若点 K 为抛物线的顶点，点 M（4，m ）是该抛物线上的一点，在 x 轴，y 轴上分别找点 P，Q，使四边形 PQKM 的周长最小，求出点 P， Q 的坐标【分析】 （1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点 D 的坐标；（3）先求出直线 BC 的解析式，进而求出四边形 CHEF 的面积的函数关系式，即可求出最大值；（4）利用对称性找出点 P，Q 的位置，进而求出 P，Q 的坐标【解答
44、】解：（1）点 A（1，0） ，B（5，0）在抛物线 yax 2+bx5 上， ， ，抛物线的表达式为 yx 24x 5，（2）如图 1，令 x0，则 y5，C（0，5） ，OCOB，OBCOCB45，AB6，BC 5 ，AC要使以 B，C，D 为顶点的三角形与ABC 相似，ACBBCD，则有 或当 时，CDAB6，D（0，1） ，当 时， ，CD ，D（0， ）即：D 的坐标为（0，1）或（ 0， ） （3）设 H（t，t 24t5） ，CEx 轴，点 E 的纵坐标为5，E 在抛物线上，x 24x55，x0（舍）或 x4，E（4，5） ，CE4，B（5，0） ，C（0，5） ，直线 BC 的解析式为 yx5，F（t，t5） ，HFt5（t 24t5）（t ） 2+ ，CEx 轴，HFy 轴，CEHF，S 四边形 CHEF CEHF2（t ） 2+ ，当 t 时，四边形 CHEF 的面积最大为 当 t 时，t 24t5 105 ，H（ ， ） ；（4）如图 2，K 为抛物线的顶点，K（2，9） ，K 关于 y 轴的对称点 K（2，9） ，M（4，m）在抛物线上，M（4，5） ，点 M 关于 x 轴的对称点 M（4，5） ，直线 KM的解析式为 y x ，P（ ，0） ，Q（0， ）
