1、2019 年辽宁省沈阳市大东区中考数学一模试卷一、选择题（每小题 2 分，共 20 分）1（2 分） 的相反数是（ ）A B C D2（2 分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（ ）A B C D3（2 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D4（2 分）2018 年春节期间共有 7.68 亿人选择使用微信红包传递新年祝福，收发红包总人数同比去年增加约 10%，7.68 亿用科学记数法可以表示为（ ）A7.6810 9 B7.6810 8 C0.76810 9 D0.76810 105（2 分）下列计算正确的是（ ）A2a 2a 21 B（a
2、b） 2ab 2 Ca 2+a3a 5 D（a 2） 3a 66（2 分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示：读书时间（小时）7 8 9 10 11学生人数 6 10 9 8 7则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（ ）A9，8 B9，9 C9.5，9 D9.5，87（2 分）平面直角坐标系中，点 P，Q 在同一反比例函数图象上的是（ ）AP（2，3），Q（3，2） BP（2，3）Q（3，2）CP（2，3），Q（4， ） DP（2，3），Q（3，2）8（2 分）如图，ABC 沿着 BC 方向平移得到ABC ，点 P
3、是直线 AA上任意一点，若ABC，PB C的面积分别为 S1，S 2，则下列关系正确的是（ ）AS 1S 2 BS 1S 2 CS 1S 2 DS 12S 29（2 分）无理数 2 3 在（ ）A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间10（2 分）如图，ABCDEF 为O 的内接正六边形，AB m ，则图中阴影部分的面积是（ ）A m2 B m2 C（ ）m 2 D（ ）m 2二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11（3 分）分解因式：a 24 12（3 分）在不透明的盒子中装有 5 个黑色棋子和若干个白色做子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋
4、子，摸到黑色棋子的概率是 ，则白色棋子的个数是 13（3 分）若分式方程 有增根，则实数 a 的值是 14（3 分）如图，AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则 cosAOB 的值是 15（3 分）某企业 2018 年初获利润 300 万元，到 2020 年初计划利润达到 507 万元，则这两年的年利润平均增长率为 16（3 分）如图，将边长为 4 的正方形纸片 ABCD 折叠，使得点 A 落在边 CD 的中点 E处，折痕为 FG，点 F、G 分别在边 AD、BC 上，则折痕 FG 的长度为 三、解答题（17 题 6 分，18 题、19 题各 8 分，共 22 分）17（6 分）计算：2 1
5、 +3tan60 +（2019 ） 018（8 分）如图在平行四边形 ABCD 中，过点 B 作 BMAC 于点 E，交 CD 于点 M，过点 D 作 DNAC 于点 F，交 AB 于点 N（1）求证：四边形 BMDN 是平行四边形；（2）已知 AF5，EM 3，求 AN 的长19（8 分）某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题选择一个，九年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（1）求共抽取了多少名学生的征文；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）
6、在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少；（4）如果该校九年级共有 1200 名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名四、（每小题 8 分，共 16 分）20（8 分）某学校在小小数学家的课堂练习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国数学大赛，请用列表法或画树状图法，求恰好同时选中甲、丁两位同学的概率21（8 分）小颖准备用 21 元买笔和笔记本已知每支笔 3 元，每个笔记本 2.5 元，她买了 2 个笔记本请你帮她算一算，她还可能买几支笔？五、（本题 10 分）22（10 分）如图，已知：AB 是 O 的直径，点 C 在O 上，CD 是
7、O 的切线，ADCD 于点 D，E 是 AB 延长线上一点，CE 交O 于点 F，连接 OC、AC（1）求证：AC 平分DAO（2）若DAO105，E30求 OCE 的度数；若O 的半径为 2 ，求线段 EF 的长六、（本题 10 分）23（10 分）如图，在平面直角坐标系中，过点 A（1， ）B（4， ）的直线 l 分别与x 轴、y 轴交于点 C，D（1）求直线 l 的函数表达式（2）P 为 x 轴上一点，若 PCD 为等腰三角形直接写出点 P 的坐标（3）将线段 AB 绕 B 点旋转 90，直接写出点 A 对应的点 A 的坐标七、（本题 12 分）24（12 分）如图在等腰 RtABC 中
8、，BAC90，ABAC2 ，M 为 AC 的中点D 是射线 CB 上一个动点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到线段AE，连接 ED，N 为 ED 的中点，连接 MN（1）如图 1，BCE ，NM 与 AC 的位置关系是 ；（2）如图 2，判断（1）中 NM 与 AC 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接 ME，在点 D 运动的过程中，当 CD 的长为何值时， ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果八、（本题 12 分）25（12 分）如图，在平面直角坐标中，抛物线 yax 2+bx+c 过点 A（1，0），B（3， 0），C（0，3），点 P 是直线
9、 BC 上方抛物线上的一动点， PEy 轴，交直线BC 于点 E 连接 AP，交直线 BC 于点 D（1）求抛物线的函数表达式；（2）当 AD2PD 时，求点 P 的坐标；（3）求线段 PE 的最大值；（4）当线段 PE 最大时，若点 F 在直线 BC 上且EFP2ACO，直接写出点 F 的坐标2019 年辽宁省沈阳市大东区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 2 分，共 20 分）1（2 分） 的相反数是（ ）A B C D【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案【解答】解： 的相反数是 ，故选：C【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数
10、2（2 分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（ ）A B C D【分析】找到从左侧面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中【解答】解：从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形故选：A【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左侧面看得到的视图3（2 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称
11、图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合4（2 分）2018 年春节期间共有 7.68 亿人选择使用微信红包传递新年祝福，收发红包总人数同比去年增加约 10%，7.68 亿用科学记数法可以表示为（ ）A7.6810 9 B7.6810 8 C0.76810 9 D0.76810 10【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数
12、变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：7.68 亿用科学记数法可以表示为 7.68108故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值5（2 分）下列计算正确的是（ ）A2a 2a 21 B（ab） 2ab 2 Ca 2+a3a 5 D（a 2） 3a 6【分析】根据合并同类项法则判断 A、C；根据积的乘方法则判断 B；根据幂的乘方法则判断 D【解答】解：A、2a 2a
13、2a 2，故 A 错误；B、（ab） 2a 2b2，故 B 错误；C、a 2 与 a3 不是同类项，不能合并，故 C 错误；D、（a 2） 3a 6，故 D 正确故选：D【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键6（2 分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示：读书时间（小时）7 8 9 10 11学生人数 6 10 9 8 7则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（ ）A9，8 B9，9 C9.5，9 D9.5，8【分析】根据表格中的数据可知该班有学生 40 人，从而可以求得中位
14、数和众数，本题得以解决【解答】解：由表格可得，该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是：9、8，故选：A【点评】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位数7（2 分）平面直角坐标系中，点 P，Q 在同一反比例函数图象上的是（ ）AP（2，3），Q（3，2） BP（2，3）Q（3，2）CP（2，3），Q（4， ） DP（2，3），Q（3，2）【分析】根据两点的横纵坐标的乘积是否相等即可得到结论【解答】解：A、（2）（3）3（2），故点 P，Q 不在同一反比例函数图象上；B、2（3）32，故点 P，Q 不在同一反比例函数图象上；C、23（4）（ ），故点 P，Q 在
15、同一反比例函数图象上；D、（2）3（3） （2），故点 P，Q 不在同一反比例函数图象上；故选：C【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键8（2 分）如图，ABC 沿着 BC 方向平移得到ABC ，点 P 是直线 AA上任意一点，若ABC，PB C的面积分别为 S1，S 2，则下列关系正确的是（ ）AS 1S 2 BS 1S 2 CS 1S 2 DS 12S 2【分析】根据平行线间的距离相等可知ABC，PBC的高相等，再由同底等高的三角形面积相等即可得到答案【解答】解：ABC 沿着 BC 方向平移得到ABC ，AABC ，点 P 是直线 AA上任意一点，ABC
16、，PB C 的高相等，S 1S 2，故选：C【点评】本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等9（2 分）无理数 2 3 在（ ）A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间【分析】首先得出 2 的取值范围进而得出答案【解答】解：2 ，6 7，无理数 2 3 在 3 和 4 之间故选：B【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键10（2 分）如图，ABCDEF 为O 的内接正六边形，AB m ，则图中阴影部分的面积是（ ）A m2 B m2 C（ ）m
17、 2 D（ ）m 2【分析】利用圆的面积公式和三角形的面积公式求得圆的面积和正六边形的面积，阴影面积（圆的面积正六边形的面积） ，即可得出结果【解答】解：正六边形的边长为 m， O 的半径为 m， O 的面积为 m2 m2，空白正六边形为六个边长为 m 的正三角形，每个三角形面积为 mmsin60 m2，正六边形面积为 m2，阴影面积为（m 2 m2） （ ）m 2，故选：D【点评】本题主要考查了正多边形和圆的面积公式，注意到阴影面积（圆的面积正六边形的面积） 是解答此题的关键二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11（3 分）分解因式：a 24 （a+2）（a2） 【分析】有两项，都能写
18、成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开【解答】解：a 24（a+2）（a2）【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键12（3 分）在不透明的盒子中装有 5 个黑色棋子和若干个白色做子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是 ，则白色棋子的个数是 15 【分析】黑色棋子除以相应概率算出棋子的总数，减去黑色棋子的个数即为白色棋子的个数；【解答】解：5 515白色棋子有 15 个；故答案为：15【点评】本题主要考查了概率的求法，概率所求情况数与总情况数之比13（3 分）若分式方程 有增根，则实数 a 的值是 4 或 8 【分析】对分式方程
19、 + 进行正常求解，化简为 2xa4，当 x0 或x2 时，分式方程有增根，在 x0 和 x2 时，分别求出 a 的值即可【解答】解： + ， + ，当 x22x0 时，原式化为 3xa+x 2x 4，2xa4，分式方程有增根，x0 或 x2，当 x0 时，a4；当 x2 时，a8故答案是 4 或 8【点评】考查知识点：分式方程的解法；分式方程增根情况能够正确求解分式方程，会求分式方程的增根，在有增根时求解 a 的值14（3 分）如图，AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则 cosAOB 的值是 【分析】首先连接 AB，由勾股定理易求得OA21 2+3210，AB 21 2+3210，OB
20、22 2+4220，然后由勾股定理的逆定理，可证得AOB 是等腰直角三角形，继而可求得 cosAOB 的值【解答】解：连接 AB，OA 21 2+3210，AB 21 2+3210，OB 22 2+4220，OA 2+AB2OB 2，OA AB，AOB 是等腰直角三角形，即OAB90，AOB45，cosAOBcos45 故答案为： 【点评】此题考查了锐角三角函数的定义、勾股定理以及勾股定理的逆定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用15（3 分）某企业 2018 年初获利润 300 万元，到 2020 年初计划利润达到 507 万元，则这两年的年利润平均增长率为 30%
21、【分析】一般用增长后的量增长前的量（1+增长率），如果设工厂年利润的平均增长率为 x，根据题意即可列出方程求出即可【解答】解：这两年的年利润平均增长率为 x，根据题意可列出方程为：300（1+x） 2507，解得：x 12.3（不合题意舍去），x 20.330%，故答案为：30%【点评】此题考查了一元二次方程的应用，即一元二次方程解答有关平均增长率问题对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为 a（1+x） 2b（ab）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为 a（1x） 2b（ab）16（3 分）如图，将边长为 4 的正方形纸片 ABCD 折叠，使得点 A 落在边 CD 的中点 E处，折
22、痕为 FG，点 F、G 分别在边 AD、BC 上，则折痕 FG 的长度为 【分析】过点 G 作 GHAD 于 H，根据翻折变换的性质可得 GFAE，然后求出GFH D，再利用“角角边”证明ADE 和GHF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 GFAE ，再利用勾股定理列式求出 AE，从而得解【解答】解：如图，过点 G 作 GHAD 于 H，则四边形 ABGH 中，HG AB，由翻折变换的性质得 GFAE，AFG+DAE 90，AED +DAE 90，AFGAED，四边形 ABCD 是正方形，ADAB，HGAD ，在ADE 和GHF 中，ADEGHF（AAS），GFAE，点 E 是 CD 的中点
23、，DE CD 2，在 Rt ADE 中，由勾股定理得，AE 2 ，GF 的长为 2 故答案为：2 【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键三、解答题（17 题 6 分，18 题、19 题各 8 分，共 22 分）17（6 分）计算：2 1 +3tan60 +（2019 ） 0【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可【解答】解：2 1 +3tan60 +（2019 ） 0 +3 2+13 【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
24、在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用18（8 分）如图在平行四边形 ABCD 中，过点 B 作 BMAC 于点 E，交 CD 于点 M，过点 D 作 DNAC 于点 F，交 AB 于点 N（1）求证：四边形 BMDN 是平行四边形；（2）已知 AF5，EM 3，求 AN 的长【分析】（1）只要证明 DNBM，DMBN 即可；（2）只要证明CEMAFN，可得 FNEM3，在 RtAFN 中，根据勾股定理AN 即可解决问题；【解答】证明：（1）四
25、边形 ABCD 是平行四边形，CDAB ，BMAC，DNAC，DNBM，四边形 BMDN 是平行四边形；（2）四边形 BMDN 是平行四边形，DM BN，CDAB ，CDAB，CMAN，MCENAF，CEMAFN90，CEMAFN，FNEM3 ，在 Rt AFN 中，AN 【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型19（8 分）某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题选择一个，九年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分
26、征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（1）求共抽取了多少名学生的征文；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少；（4）如果该校九年级共有 1200 名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名【分析】（1）用“诚信”的人数除以所占的百分比求出总人数；（2）用总人数减去“爱国”“敬业”“诚信”“的人数，求出“友善”的人数，从而补全统计图；（3）选择“爱国”主题所对应的百分比为 205040%，即可得到选择“爱国”主题所对应的圆心角；（4）用样本估计总体的思想解决问题即可【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生有 36
27、%50（名）（2）选择“友善”的人数有 502012315（名），条形统计图如图所示：（3）选择“爱国”主题所对应的百分比为 205040%，选择“爱国”主题所对应的圆心角是 40%360144；（4）该校九年级共有 1200 名学生，估计选择以“友善”为主题的九年级学生有120030%360 名【点评】本题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题四、（每小题 8 分，共 16 分）20（8 分）某学校在小小数学家的课堂练习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国数学
28、大赛，请用列表法或画树状图法，求恰好同时选中甲、丁两位同学的概率【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、丁两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：画树状图得：共有 12 种等可能的结果，恰好同时选中甲、丁两位同学的有 2 种情况，恰好同时选中甲、丁两位同学的概率为 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比21（8 分）小颖准备用 21 元买笔和笔记本已知每支笔 3
29、元，每个笔记本 2.5 元，她买了 2 个笔记本请你帮她算一算，她还可能买几支笔？【分析】根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可【解答】解：设她还可以买 x 支笔，根据题意，得 3x+2.5221，解得 x ，答：她还可能买 1 支、2 支、3 支、4 支、或 5 支笔【点评】本题考查的是一元一次不等式的应用，列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： 弄清题中数量关系，用字母表示未知数根据题中的不等关系列出不等式 解不等式，求出解集 写出符合题意的解五、（本题 10 分）22（10 分）如图，已知：AB 是 O 的直径，点 C 在O 上，CD 是O 的切线，ADCD 于点 D，E 是 AB
30、 延长线上一点，CE 交O 于点 F，连接 OC、AC（1）求证：AC 平分DAO（2）若DAO105，E30求 OCE 的度数；若O 的半径为 2 ，求线段 EF 的长【分析】（1）由切线性质知 OCCD，结合 ADCD 得 ADOC，即可知DACOCAOAC，从而得证；（2） 由 ADOC 知EOCDAO105，结合 E30可得答案；作 OGCE，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知 CGFGOG ，由 OC2 得出 CGFGOG2，在 RtOGE 中，由E30可得答案【解答】解：（1）CD 是O 的切线，OCCD ，ADCD，ADOC，DACOCA，OCOA，OCAOAC，OACDAC，A
31、C 平分DAO；（2） AD OC，EOCDAO105，E30，OCE45；作 OGCE 于点 G，则 CGFGOG，OC2 ， OCE45 ，CGOG2，FG2，在 Rt OGE 中，E30，GE2 ， 【点评】本题主要考查圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质，熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质是解题的关键六、（本题 10 分）23（10 分）如图，在平面直角坐标系中，过点 A（1， ）B（4， ）的直线 l 分别与x 轴、y 轴交于点 C，D（1）求直线 l 的函数表达式（2）P 为 x 轴上一点，若 PCD 为等腰三角形直接写
32、出点 P 的坐标（3）将线段 AB 绕 B 点旋转 90，直接写出点 A 对应的点 A 的坐标【分析】（1）由点 A，B 的坐标，利用待定系数法可求出直线 l 的函数表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 C，D 的坐标，进而可得出 CD 的长，分 DCDP，CDCP，PC PD 三种情况考虑：当 DCDP 时，利用等腰三角形的性质可得出 OCOP 1，进而可得出点 P1 的坐标； 当 CDCP 时，由 CP 的长度结合点 C 的坐标可得出点 P2，P 3 的坐标； 当 PCPD 时，设 OP4m，利用勾股定理可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出 m 的值，进而可得出点
33、P4 的坐标综上，此问得解；（3）过点 B 作直线 l 的垂线，交 y 轴于点 E，则DOCDBE，利用相似三角形的性质可求出点 E 的坐标，由点 B，E 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BE 的函数表达式，设点 A的坐标为（n， n ），由 ABAB 可得出关于 n 的一元二次方程，解之即可得出点 A的坐标，此题得解【解答】解：（1）设直线 l 的函数表达式为 ykx+ b（k 0），将 A（1， ），B（4， ）代入 ykx+b，得：，解得： ，直线 l 的函数表达式为 y x+8（2）当 x0 时，y x+88，点 D 的坐标为（0，8）；当 y0 时， x+80，解得：x6，点 C
34、的坐标为（6，0），CD10分三种情况考虑（如图 1 所示）：当 DCDP 时，OCOP 1，点 P1 的坐标为（6，0）；当 CDCP 时，CP10，点 P2 的坐标为（4，0），点 P3 的坐标为（16，0）；当 PCPD 时，设 OP4m ，（6+m） 2 82+m2，解得：m ，点 P4 的坐标为（ ，0）综上所述：点 P 的坐标为（6，0），（4，0），（16，0）或（ ，0）（3）过点 B 作直线 l 的垂线，交 y 轴于点 E，如图 2 所示点 B（4， ），点 D（0， 8），BD CDOEDB ，DOCDBE90，DOCDBE ， ，即 ，DE ，点 E 的坐标为（0， ）利
35、用待定系数法可求出直线 BE 的函数表达式为 y x 设点 A的坐标为（n， n ）ABAB，（4n） 2+ （ n ） 2（41） 2+（ ） 2，即 n28n0，解得：n 10，n 28，点 A的坐标为（0， ）或（8， ）【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）分 DCDP，CD CP，PCPD 三种情况，利用等腰三角形的性质求出点 P 的坐标；（3）利用相似三角形的性质及待定系数法，求出过点 B 且垂直于直线 l 的直线的解析式七、（本题 12
36、 分）24（12 分）如图在等腰 RtABC 中，BAC90，ABAC2 ，M 为 AC 的中点D 是射线 CB 上一个动点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到线段AE，连接 ED，N 为 ED 的中点，连接 MN（1）如图 1，BCE 90 ，NM 与 AC 的位置关系是 MNAC ；（2）如图 2，判断（1）中 NM 与 AC 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接 ME，在点 D 运动的过程中，当 CD 的长为何值时， ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果【分析】（1）如图 1 中，连接 AN，CN 证明BAD CAE（SAS），推出ABDACE
37、45，再利用直角三角形斜边中线的性质以及等腰三角形的性质即可解决问题（2）如图 2 中，结论不变证明方法类似（1）（3）根据垂线段最短即可解决问题【解答】解：（1）如图 1 中，连接 AN，CN ABC，ADE 都是等腰直角三角形，ABAC，ADAE，BACDAE90，BACB45BADCAE，BADCAE（SAS），ABDACE45，ECB45+45 90 ，DNEN，CN DE，同法 AN DE，NANC，AMMC，NMAC，故答案为 90，MNAC（2）如图 2 中，结论不变理由：连接 AN，CN ABC，ADE 都是等腰直角三角形，ABAC，ADAE，BACDAE90，BACB45BA
38、DCAE，BADCAE（SAS），ABDACE，ABCACB45，ABDACE135，DCB90，DNEN，CN DE，同法 AN DE，NANC，AMMC，NMAC（3）如图 3 中，由（1）可知ECB90，CEBC，当 MEEC 时，ME 的值最小，在 Rt ABC 中，ABAC 2 ，BC4，AMMC ，在 Rt CME 中，ECMCME45，ECEM1 ，由（1）可知：BADCAE，BDEC1，CD413当 CD3 时，EM 的值最小，最小值为 1【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，垂线段最短等知识，解题的
39、关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题八、（本题 12 分）25（12 分）如图，在平面直角坐标中，抛物线 yax 2+bx+c 过点 A（1，0），B（3， 0），C（0，3），点 P 是直线 BC 上方抛物线上的一动点， PEy 轴，交直线BC 于点 E 连接 AP，交直线 BC 于点 D（1）求抛物线的函数表达式；（2）当 AD2PD 时，求点 P 的坐标；（3）求线段 PE 的最大值；（4）当线段 PE 最大时，若点 F 在直线 BC 上且EFP2ACO，直接写出点 F 的坐标【分析】（1）由于抛物线与 x 轴的两个交点坐标已知，可把抛物线的解
40、析式设成交点式，再代入另一已知点坐标便可求出解析式；（2）过 A 作 EFx 轴，与 BC 相交于点 F，用待定系数法求出 BC 的解析式，设 P 点的横坐标为 t，进而求得 AF 与 PE，由相似三角形的比例线段求得 t 便可；（3）根据 PE 关于 t 的函数解析式，由函数的性质求出其最大值便可；（4）分两种情况：当 F 点在 PE 的左边时，过点 P 作 PMBC 于点 M，过 E 作ENx 轴于点 N，过点 F 作 FQx 轴于点 Q，过点 O 作 OGAC 于点 G，取 AC 的中点 H，连接 OH，通过三角形相似求出 MF 的值便可；将求得的 F 点坐标，关于 PM对称点便是另一
41、F 点【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：ya（x+1）（x3）（a0），则3a1（3），a1，抛物线的解析式为：y（x+1）（x 3），即 yx 2+2x+3；（2）过 A 作 EFx 轴，与 BC 相交于点 F，如图 1，设 P（t，t 2+2t+3），则 AFPE，设 BC 的解析式为 ykx+b（k 0），则，解得， ，直线 BC 的解析式为：y x+3，E（t，t+3），F（1，4），AF4，PEt 2+3t，AFPE，AFDPED， ，AD2PD ， ，解得，t1 或 2，P（1，4）或 P（2，3）；（3）PE 的解析式为：PEt 2+3t（t ） 2+ （0t3），当 t 时
42、， PE 的值最大为 ；（4） 当 F 点在 PE 的左边时，过点 P 作 PM BC 于点 M，过 E 作 ENx 轴于点 N，过点 F 作 FQx 轴于点 Q，过点O 作 OGAC 于点 G，取 AC 的中点 H，连接 OH，由（3）知，当 PE 取最大值时，P（ ， ），PE ，E（ ， ），OBOC3，OBCOCB45，BE EM ，PEM45，PMEM ，AC ，OHCH ，OG ，HG ，OHG2ACO，EFP 2ACO，EFP OHG，OGHPMF，OGHPMF， ，即 ，MF ，BFBE+EM+ MF ，FQBQ BF ，OQ ，F（ ， ），当 F 点在 PE 的右边时，此时的 F 点恰好与（ ， ）关于 PM 对称，易求此时F（ ， ）故 F 的坐标为（ ， ）或（ ， ）【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理的应用，求二次函数的最值，难度较大，是中考的压轴题，第（2）题关键是构造相似三角形；第（3）题的突破口是把线段的最大值转化为二次函数，利用二次函数求最值的方法解决；第（3）题难度很大，作的辅助线较多，关键要把EFP2ACO 利用起来，需要作多条辅助线，构造直角三角形，相似三角形
