1、2020 年辽宁省沈阳市大东区中考数学二模试卷年辽宁省沈阳市大东区中考数学二模试卷 一、选择题 1的倒数是（ ） A B C5 D5 2 如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体， 从左面看到的该几何体的形状为 （ ） A B C D 3下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ） A平行四边形 B菱形 C矩形 D等边三角形 4据不完全统计，截至 2 月 12 日，河南省已有 7 家外商投资企业为抗击“新冠肺炎”疫情 捐赠总价值约 2.61 亿元的物资和现金数据“2.61 亿”用科学记数法表示为（ ） A2.61107 B2.61108 C0.2611010 D261106 5数据 4，3，2，
2、1，3 的众数是（ ） A1 B2 C3 D4 6若分式的值为 0，则 x 的值是（ ） A2 或2 B2 C2 D0 7下列事件中，是必然事件的是（ ） A掷一次骰子，向上一面的点数是 6 B经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C射击运动员射击一次，命中靶心 D13 个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月 8如图，BCDE，垂足为点 C，ACBD，B40，则ACE 的度数为（ ） A40 B50 C45 D60 9不等式组的解集为（ ） A6x8 B6x8 C2x4 D2x8 10小明同学在校外实践活动中对一座大桥开展测量活动如图，在桥外一点 A 测得大桥 主架与水面的交汇点
3、 C 的俯角为 ，大桥主架的顶端 D 的仰角为 ，已知测量点与大桥 主架的水平距离 ABm，则此时大桥主架顶端离水面的高 CD 为（ ） Amsin+msin Bmcos+mcos Cmtan+mtan D+ 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11分解因式：x2+2x+1 12一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是 1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点 数大于 4 的概率是 13 在平面直角坐标系中， 点 M （a， b） 与点 N （3， 1） 关于 x 轴对称， 则 ba的值是 14已知关于 x 的方程 x22kx+40 有两个相等的实数根，则 k 的取值是 15已知正比例
4、函数 y2x 与反比例函数 y（m 为常数）的一个交点为 A，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B，且 OB3，则 m 的值 16如图，在ABC 中，ACB90，ACBC2，D 是边 AC 的中点，CEBD 于 E若 F 是边 AB 上的点，且使AEF 为等腰三角形，则 AF 的长为 三、解答题（第 17 小题 6 分，第 18、19 小题各 8 分，共 22 分） 17计算：（2020）02cos30+（） 1 18如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的中点为 O，点 G，H 在对角线 AC 上，AGCH， 过 O 作直线 EF，与边 AB，CD 分别相交于点 E，F 求证：四边形
5、EHFG 是平行四边形 19一个不透明的盒子中装有两个红球，一个白球和一个黄球，这些球除颜色外都相同，从 中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法或画树 状图法求两次摸到的球的颜色都是红色的概率 四、（每小题 8 分，共 16 分） 20某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间线上随机调查了部分学生，调查结 果整理如下： 阅读时间人数统计表 阅读时间 t（小时） 人数 占人数百分比 0t0.5 4 20% 0.5t1 m 15% 1t1.5 5 25% 1.5t2 6 n 2t2.5 2 10% 根据图表解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共抽取了 名学生
6、； （2）在阅读时间人数统计表中 m ，n ； （3）根据抽样调查的结果，请估计该校 2000 名学生中有多少名学生每天阅读时间在 2 t2.5 时间段？ 21某村组织村民种植香菇，2017 年的人均收入为 40000 元，由于此项种植技术得到很好 指导，2019 年的人均收入为 48400 元 （1）求 2017 年到 2019 年该村人均收入的年平均增长率； （2）假设 2020 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测 2020 年该村的人均收入是多少元？ 五、（本题 10 分） 22如图，已知 AB 是O 的直径，C 是O 上一点，连接 AC，BCOEBC 交 AC
7、于 E， 过点 A 作O 的切线交 OE 的延长线于点 D，连接 DC 并延长交 AB 的延长线于点 F （1）求证：DC 是O 的切线； （2）若BAC30，AB4，直接写出线段 CF 的长 六、（本题 10 分） 23如图，RtOAB 的直角边 OA 在 x 轴上，边 OB 在 y 轴上，A 的坐标为（6，0），B 的 坐标为（0，3），在第一象限有一点 C 的坐标为（3，4） （1）求直线 AB 的函数表达式； （2） P 是 x 轴上一动点， 点 P 在运动过程中， 是否存在某个位置， 使得PBOBOC？ 若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3） 若动点 P 在 x
8、 轴上从点 （6， 0） 出发， 以每秒 1 个单位的速度向 x 轴正方向运动， 过点 P 作直线 l 垂直于 x 轴，设运动时间为 t请直接写出当 t 为何值时，在直线 l 上存 在点 M，在直线 AB 上存在点 Q使得以 OC 为一边，O，C，M，Q 为顶点的四边形为 菱形 七、（本题 12 分） 24 在正方形 ABCD 中， AB6， 对角线 AC 和 BD 相交于点 O， E 是 AB 所在直线上一点 （不 与点 B 重合），将线段 OE 绕点 E 顺时针旋转 90得到 EF （1）如图 1，当点 E 和点 A 重合时，连接 BF，直接写出 BF 的长为 ； （2）如图 2，点 E
9、在线段 AB 上，且 AE1，连接 BF，求 BF 的长； （3）若 DG：AG2：1，连接 CF，H 是 CF 的中点，是否存在点 E 使GEH 是以 EG 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出 EB 的长；若不存在，试说明理由 八、（本题 12 分） 25如图 1，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，直线 l 是抛物线的对称轴，D 是抛物线的顶点 （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图 1，连结 BD，线段 OC 上点 E 关于直线 l 的对称点 E恰好在线段 BD 上，求点 E 的坐标； （3）如图 2，点 P
10、是直线 BC 上方抛物线上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线分别与 BC 交于点 M，与 x 轴交于点 N试问：抛物线上是否存在点 Q，使得PQN 与AMN 的面 积相等，且线段 PQ 的长度最小？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在，请 说明理由 参考答案 一、选择题（每小题 2 分，共 20 分） 1的倒数是（ ） A B C5 D5 【分析】根据倒数的定义可知 解：根据倒数的定义可知，的倒数是 5 故选：C 2 如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体， 从左面看到的该几何体的形状为 （ ） A B C D 【分析】从左面看到的是两列，其中第一列是三层，第二列是一层，进而画
11、出左视图 解：从左面面看，看到的是两列，第一列是三层，第二列是一层， 故选：D 3下列图形中，不属于中心对称图形的是（ ） A平行四边形 B菱形 C矩形 D等边三角形 【分析】根据中心对称图形的概念求解 解：A、平行四边形是中心对称图形，故本选项不合题意； B、菱形是中心对称图形，故本选项不合题意； C、矩形是中心对称图形，故本选项不合题意； D、等边三角形不是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 4据不完全统计，截至 2 月 12 日，河南省已有 7 家外商投资企业为抗击“新冠肺炎”疫情 捐赠总价值约 2.61 亿元的物资和现金数据“2.61 亿”用科学记数法表示为（ ） A2.6110
12、7 B2.61108 C0.2611010 D261106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解：2.61 亿261000000 用科学记数法表示为 2.61108 故选：B 5数据 4，3，2，1，3 的众数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据众数的定义即可得到结论 解：在这组数据 4，3，2，1，3 中，3 出现的次数最多， 故数据 4，3，2，1，3 的众数是 3， 故选
13、：C 6若分式的值为 0，则 x 的值是（ ） A2 或2 B2 C2 D0 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案 解：分式的值为 0， x240， 解得：x2 或2 故选：A 7下列事件中，是必然事件的是（ ） A掷一次骰子，向上一面的点数是 6 B经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C射击运动员射击一次，命中靶心 D13 个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月 【分析】根据事件发生的可能性大小判断 解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是 6，是随机事件； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件； D、13
14、 个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，是必然事件； 故选：D 8如图，BCDE，垂足为点 C，ACBD，B40，则ACE 的度数为（ ） A40 B50 C45 D60 【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可 解：ACBD，B40， ACB40， BCDE， ACE904050， 故选：B 9不等式组的解集为（ ） A6x8 B6x8 C2x4 D2x8 【分析】首先计算出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集即可 解：， 由得：x6， 由得：x8， 不等式组的解集为：6x8， 故选：B 10小明同学在校外实践活动中对一座大桥开展测量活动如图，在桥外一
15、点 A 测得大桥 主架与水面的交汇点 C 的俯角为 ，大桥主架的顶端 D 的仰角为 ，已知测量点与大桥 主架的水平距离 ABm，则此时大桥主架顶端离水面的高 CD 为（ ） Amsin+msin Bmcos+mcos Cmtan+mtan D+ 【分析】根据直角三角形锐角三角函数求出 BC、BD，即可求解 解：在 RtABC 中，tan， BCAB tanmtan， 在 RtABD 中，tan， BDAB tanmtan， CDBC+BDmtan+mtan 故选：C 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11分解因式：x2+2x+1 （x+1）2 【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中
16、有两项能化为两个数的平方和，第三项正 好为这两个数的积的 2 倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解 解：x2+2x+1（x+1）2 故答案为：（x+1）2 12一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是 1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点 数大于 4 的概率是 【分析】先求出点数大于 4 的数，再根据概率公式求解即可 解：在这 6 种情况中，掷的点数大于 4 的有 2 种结果， 掷的点数大于 4 的概率为， 故答案为： 13 在平面直角坐标系中， 点 M （a， b） 与点 N （3， 1） 关于 x 轴对称， 则 ba的值是 1 【分析】根据关于 x 轴对称的点的坐标特点可得 a、b
17、的值，进而可得答案 解：点 M（a，b）与点 N（3，1）关于 x 轴对称， a3，b1， ba1， 故答案为：1 14已知关于 x 的方程 x22kx+40 有两个相等的实数根，则 k 的取值是 2 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出0，求出 k 的值即可 解：关于 x 的方程 x22kx+40 有两个相等的实数根， （2k）2160，解得 k2 故答案为：2 15已知正比例函数 y2x 与反比例函数 y（m 为常数）的一个交点为 A，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B，且 OB3，则 m 的值 17 【分析】由点 A 在正比例函数 y2x 的图象上，可得点 A 的坐标为（3，6）
18、，再根据点 A 在反比例函数 y的图象上，即可得出 m 的值 解：由题意得，可知点 A 的横坐标是 3， 点 A 在正比例函数 y2x 的图象上， 点 A 的坐标为（3，6）， 又点 A 在反比例函数 y的图象上， 6， 解得 m17 故答案为：17 16如图，在ABC 中，ACB90，ACBC2，D 是边 AC 的中点，CEBD 于 E若 F 是边 AB 上的点，且使AEF 为等腰三角形，则 AF 的长为 或或 【分析】由相似三角形的性质可求 AH 的长，BH 的长，分三种情况讨论，由等腰三角形 的性质和勾股定理可求解 解：ACB90，ACBC2， AB2， DCB90，CEBD， CDEB
19、DC， CD2DE DB， ADCD， AD2DE DB， ， ADEADB， DAEDBA； ， AE， DE，BD， BE， 如图 1 中，若 AEAF 时， AF， 如图 2 中，若 FEAE 时，过点 E 作 EJAB 于 J， JE2AE2AJ2EB2BJ2， AJ2（2AJ）2， AJ， AEEF，EJAF， AF2AJ， 如图 3 中，若 EFAF 时，过点 E 作 EJAB 于 J， EJ2AE2AJ2EF2FJ2， AF2（AF）2， AF， 综上所述：AD 的长为或或 故答案为或或 三、解答题（第 17 小题 6 分，第 18、19 小题各 8 分，共 22 分） 17计算
20、：（2020）02cos30+（） 1 【分析】先化简二次根式、计算零指数幂和负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘 法，最后计算加减可得 解：原式12+22 1+22 1 18如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的中点为 O，点 G，H 在对角线 AC 上，AGCH， 过 O 作直线 EF，与边 AB，CD 分别相交于点 E，F 求证：四边形 EHFG 是平行四边形 【分析】 由 “ASA” 可证COFAOE， 可得 EOFO， 且 GOHO， 可证四边形 EHFG 是平行四边形 【解答】证明：对角线 AC 的中点为 O， AOCO，且 AGCH， GOHO， 四边形 ABCD 是矩形
21、， ADBC，CDAB，CDAB， DCACAB，且 COAO，FOCEOA， COFAOE（ASA）， FOEO，且 GOHO， 四边形 EHFG 是平行四边形 19一个不透明的盒子中装有两个红球，一个白球和一个黄球，这些球除颜色外都相同，从 中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法或画树 状图法求两次摸到的球的颜色都是红色的概率 【分析】画出树状图，共有 12 种等可能的结果数，两次摸到的球的颜色都是红色的结果 数为 2，由概率公式即可得出答案 解：画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，两次摸到的球的颜色都是红色的结果数为 2， 摸到的两个球的颜色能配成
22、紫色的概率 四、（每小题 8 分，共 16 分） 20某校为了解学生课外阅读情况，就学生每周阅读时间线上随机调查了部分学生，调查结 果整理如下： 阅读时间人数统计表 阅读时间 t（小时） 人数 占人数百分比 0t0.5 4 20% 0.5t1 m 15% 1t1.5 5 25% 1.5t2 6 n 2t2.5 2 10% 根据图表解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共抽取了 20 名学生； （2）在阅读时间人数统计表中 m 3 ，n 30% ； （3）根据抽样调查的结果，请估计该校 2000 名学生中有多少名学生每天阅读时间在 2 t2.5 时间段？ 【分析】（1）阅读时间在 1t1.5 人
23、数所在的百分比即可得到结论； （2）根据总人数其所占的百分比得到 m，根据 1.5t2 的人数总人数即可得到结 论； （3）利用 2000阅读时间在 2t2.5 时间段的人数所占的百分比即可得到结论 解：（1）此次抽样调查中，共抽取了 525%20 名学生； 故答案为：20； （2）在阅读时间人数统计表中 m2015%3，n100%30%， 故答案为：3，30%； （3）200010%200（名）， 答：估计该校 2000 名学生中有 200 名学生每天阅读时间在 2t2.5 时间段 21某村组织村民种植香菇，2017 年的人均收入为 40000 元，由于此项种植技术得到很好 指导，2019
24、年的人均收入为 48400 元 （1）求 2017 年到 2019 年该村人均收入的年平均增长率； （2）假设 2020 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测 2020 年该村的人均收入是多少元？ 【分析】（1）设 2017 年到 2019 年该村人均收入的年平均增长率为 x，根据 2017 年及 2019 年该村人均收入，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据 2020 年该村的人均收入2019 年该村的人均收入（1+增长率），即可求出 结论 解：（1）设 2017 年到 2019 年该村人均收入的年平均增长率为 x， 依题意，得：40
25、000（1+x）248400， 解得：x10.110%，x22.1（不合题意，舍去） 答：2017 年到 2019 年该村人均收入的年平均增长率为 10% （2）48400（1+10%）53240（元） 答：预测 2020 年该村的人均收入是 53240 元 五、（本题 10 分） 22如图，已知 AB 是O 的直径，C 是O 上一点，连接 AC，BCOEBC 交 AC 于 E， 过点 A 作O 的切线交 OE 的延长线于点 D，连接 DC 并延长交 AB 的延长线于点 F （1）求证：DC 是O 的切线； （2）若BAC30，AB4，直接写出线段 CF 的长 【分析】（1）连接 OC，根据平
26、行线的性质得到OEAACB，由圆周角定理得到 OEAACB90，根据线段垂直平分线的性质得到 DADC，证明ADOCDO （SSS），得出DAOOCD，根据切线的性质得到DAO90，求得 OCDC，于 是得到结论； （2）证明BOC 是等边三角形，得出BOF60，解直角三角形即可得到结论 【解答】（1）证明：连接 OC， OEBC， OEAACB， AB 是O 的直径， OEAACB90， ODAC，由垂径定理得 OD 垂直平分 AC， DADC， DODO，OCOA， ADOCDO（SSS）， DAOOCD， DA 为O 的切线，OA 是半径， DAO90， OCDDAO90， 即 OCDC
27、， OC 是O 的半径， DC 是O 的切线； （2）解：在 RtABC 中，BAC30， ABC60， 又OAOC， BOC 是等边三角形， BOF60， 在 RtCOF 中，tanBOF， CF2 六、（本题 10 分） 23如图，RtOAB 的直角边 OA 在 x 轴上，边 OB 在 y 轴上，A 的坐标为（6，0），B 的 坐标为（0，3），在第一象限有一点 C 的坐标为（3，4） （1）求直线 AB 的函数表达式； （2） P 是 x 轴上一动点， 点 P 在运动过程中， 是否存在某个位置， 使得PBOBOC？ 若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3） 若动点 P
28、 在 x 轴上从点 （6， 0） 出发， 以每秒 1 个单位的速度向 x 轴正方向运动， 过点 P 作直线 l 垂直于 x 轴，设运动时间为 t请直接写出当 t 为何值时，在直线 l 上存 在点 M，在直线 AB 上存在点 Q使得以 OC 为一边，O，C，M，Q 为顶点的四边形为 菱形 【分析】（1）利用待定系数法直接求出直线 AB 的解析式； （2）分点 P 在 x 轴负半轴时，先求出直线 OC 的解析式，再判断出 BP 平行于 OC，进 而求出 BP 的解析式，即可得出点 P 的坐标，点 P 在 x 轴正半轴时，利用对称性，即可 得出结论； （3）分以 OC 与 CQ 为邻边和以 OC 与
29、 OQ 为邻边时，先求出点 Q 的坐标，利用平移的 性质得出点 M 的坐标，即可得出结论 解：（1）设直线 AB 的解析式为 ykx+b（k0）， 点 A（6，0），B（0，3）在直线 AB 上， ， ， 直线 AB 的解析式为 yx+3； （2）如图 1， 当点 P 在 x 轴负半轴上时， 点 C（3，4）， 直线 OC 的解析式为 yx， PBOBOC， BPCO， B（0，3）， 直线 BP 的解析式为 yx+3， 令 y0，则x+30， x， P（，0）， 当点 P 在 x 轴正半轴上时， 由对称性知，P（，0）， 即点 P 的坐标为（，0）或（，0）； （3）如图 3， 由（1）知，
30、直线 AB 的解析式为 yx+3， C（3，4）， OC5， 设 Q（m，m+3）， 以 OC 与 CQ 为邻边时，CQOC5， CQ5， m2 或 m6， Q1（2，4），Q3（6，0）， 点 C（3，4）向左平移 3（2）5 个单位到点 Q， （2，4）， 点 O 也向左平移 5 个单位得到点 M1（5，0）， t5（6）1， 点 C（3，4）向右平移 633 个单位，再向下平移 404 个单位到点 Q3， 点 O 也向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位得到点 M3（3，4）， t3（6）9， 以 OC 与 OQ 为邻边时，OQOC5， 5， m或 m， Q2（ ，），Q4（，），
31、 点 O 向左平移个单位，再向上平移个单位到点 Q2（， ）， 点 C（3，4）也向左平移个单位，再向上平移个单位到点 M2 （，）， t（6）， 点 O 向右平移个单位，再向上个单位到 Q4， 点 C（3，4）也向右平移个单位，再向上平移个单位到点 M4 （，）， t（6）， 即 t 的值为 1 或 9 或或 七、（本题 12 分） 24 在正方形 ABCD 中， AB6， 对角线 AC 和 BD 相交于点 O， E 是 AB 所在直线上一点 （不 与点 B 重合），将线段 OE 绕点 E 顺时针旋转 90得到 EF （1）如图 1，当点 E 和点 A 重合时，连接 BF，直接写出 BF 的
32、长为 3 ； （2）如图 2，点 E 在线段 AB 上，且 AE1，连接 BF，求 BF 的长； （3）若 DG：AG2：1，连接 CF，H 是 CF 的中点，是否存在点 E 使GEH 是以 EG 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出 EB 的长；若不存在，试说明理由 【分析】（1）先根据旋转的性质和正方形的性质得 OBOE3，再证明AOB AFB（SAS），得 FBOB3； （2）如图 2，作辅助线，构建全等三角形，证明OEGEFH（AAS），得 OGEH 3，EGFH2，计算 BH 的长，最后利用勾股定理可得结论； （3）先根据 AD6，且 DG：AG2：1，计算 AG2，DG4，分三
33、种情况：当 EGH90时，E 在 A 的左侧时，如图 3，作辅助线，构建全等三角形和直角三角形， 设 AEx，在 RtEGH 中，根据 EG2+GH2EH2，列方程可得 x 的值，从而得 BE 的长； 当GEH90时，如图 4，同理作辅助线，设 BEx，则 AE6x，证明GAE EPH，列比例式可得结论，其中 x0，就是，如图 5 所示，不符合题意 解：（1）如图 1，由旋转得：OEF90，OEEF， 四边形 ABCD 是正方形，且边长为 6， ACBD6，OAB45， FEB904545OAB， ABAB， AOBAFB（SAS）， BFOBBDAC3， 故答案为：3； （2）如图 2，过
34、O 作 OGAB 于 G，过 F 作 FHAB 于 H， 四边形 ABCD 是正方形， OABOBA45， OGAOGB90， AOG 和OGB 是等腰直角三角形， AGBGOG3， AE1， EG2， OEF90， OEG+FEH90，FEH+EFH90， OEGEFH， OEEF，OGEEHF90， OEGEFH（AAS）， OGEH3，EGFH2， BHABAEEH6132， RtFHB 中，由勾股定理得：BF2； （3）存在GEH 是以 EG 为直角边的直角三角形； AD6，且 DG：AG2：1， AG2，DG4， 分三种情况： 当EGH90时，E 在 A 的左侧时，如图 3，过 F
35、作 FMBC，交 CB 的延长线于 M，过 H 作 HNFM 于 N，交 AB 于 P，过 H 作 HQAD 于 Q，过 O 作 OKAB 于 K， 过 F 作 FLAB 于 L， 设 AEx， 同理得OEKEFL（AAS）， OKEL3，EKFL3+x， H 是 CF 的中点，HNCM， FNMNBL， HNCM， HPHNPN， RtEGH 中，EG2+GH2EH2， +， x27x+20， x1，x2， 当 x1 时，BE6+（如图 6 所示）， 当 x2 时，BE6+； 当GEH90时，如图 4，过 F 作 FMBC，交 CB 的延长线于 M，过 H 作 HN FM 于 N，交 AB
36、于 P，过 O 作 OKAB 于 K，过 F 作 FLAB 于 L， 设 BEx，则 AE6x， 同理得： OKEL3， BLFMx3， FLEK3 （6x） x3， HNCM， EPBEPBx，HPHNPN（x3）， GEHAEG+PEH90，AEG+AGE90， AGEPEH， EAGEPH90， GAEEPH， ，即， x25x0， 解得：x0（舍）或 5， 即 BE5； 如图 5，当 E 与 B 重合时，GEH90，此种情况不符合题意； 综上，BE 的长是 5 或或 八、（本题 12 分） 25如图 1，二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）两点，
37、与 y 轴交于点 C，直线 l 是抛物线的对称轴，D 是抛物线的顶点 （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图 1，连结 BD，线段 OC 上点 E 关于直线 l 的对称点 E恰好在线段 BD 上，求点 E 的坐标； （3）如图 2，点 P 是直线 BC 上方抛物线上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线分别与 BC 交于点 M，与 x 轴交于点 N试问：抛物线上是否存在点 Q，使得PQN 与AMN 的面 积相等，且线段 PQ 的长度最小？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在，请 说明理由 【分析】（1）先根据抛物线的解析式判断出二次项的系数为1，再根据点 A，B 坐标的 特点按交点
38、式设出化简即可得出结论； （2）先确定出直线 BD 的解析式，设出点 E 的坐标，进而得出点 E的坐标，代入直线 BD 解析式求解，即可得出结论； （3）设出点 P 的坐标，表示出点 M，N 的坐标，再设出点 Q 到直线 PM 的距离为 h，根 据PQN 与AMN 的面积相等，求出 h1，进而得出点 Q 的坐标，再分两种情况，利 用 PQ 最短，求出 m，即可得出结论 解：（1）二次函数 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（1，0），B（3，0）， 抛物线的解析式为 y（x+1）（x3）x2+2x+3； （2）由（1）知，抛物线的解析式为 yx2+2x+3（x1）2+4， D（1，4）
39、， B（3，0）， 直线 BD 的解析式为 y2x+6， 设点 E（0，a）， 点 E是点 E 关于抛物线对称轴对称的点， E（2，a）， 点 E（2，a）在直线 BD 上， 22+6a， a2， E（0，2）； （3）由（1）知，抛物线的解析式为 yx2+2x+3， C（0，3）， B（3，0）， 直线 BC 的解析式为 yx+3， 设点 P（m，m2+2m+3）， M（m，m+3），N（m，0）， SAMNAN MN （m+1）（m+3）（m+1）（m3）， 设点 Q 到直线 PM 的距离为 h， SPQN PN h（m2+2m+3） h （m+1）（m3）， PQN 与AMN 的面积相等， （m+1）（m3） h（m+1）（m3）， h1，Q 的横坐标为（m+1）或（m1）， Q（m+1，m2+4）或（m1，m2+4m）， 当 Q（m+1，m2+4）时，PQ2（m+1m）2+m2+4（m2+2m+3）2（2m1） 2+1， 当 m时，PQ2最小，即 PQ 最小，此时 Q（，）， 当 Q（m1，m2+4m）时，PQ2（m1m）2+m2+4m（m2+2m+3）2（2m 3）2+1， 当 m时，PQ2最小，即 PQ 最小，此时 Q（，）， 即满足条件的点 Q（，）或（，）
