1、2019 年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷一、选择题1（2 分）下列各数是无理数的是（ ）A BC0.414414414 D2（2 分）如图是由几个相同小立方体组成的几何体，则从上面看这个几何体所得到的图形是（ ）A BC D3（2 分）截止到 2019 年 3 月 31 日 24：00，电影流浪地球的票房已经达到 46.52 亿元，数据 46.52 亿可以用科学记数法表示为（ ）A4.65210 B4.65210 10 C4.65210 9 D46.5210 84（2 分）下列事件中，是必然事件的是（ ）A掷一次骰子，向上一面的点数是 6B任意画个三角形，其内角和为 180C篮球队员在罚
2、球线上投篮一次，未投中D一元二次方程一定有两个实数根5（2 分）下列图形中：是中心对称图形的共有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个6（2 分）下列运算正确的是（ ）Aa 2a3a 6 B + C（a+b） 2a 2+b2 D（a 2） 3a 67（2 分）已知点 A（2，a）与点 B（3，b）都在反比例函数 y （k0）的图象上，则a 与 b 的大小关系是（ ）Aab Bab Cab D不能确定8（2 分）在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，20，22，23，20，22则这组数据中的众数和中位数分别是（ ）A22 个、20
3、个 B22 个、21 个 C20 个、21 个 D20 个、22 个9（2 分）如图，在ABC 中，C90，E，F 分别是 AC，BC 上两点，AE 16，BF12，点 P，Q ，D 分别是 AF，BE，AB 的中点，则 PQ 的长为（ ）A10 B8 C2 D2010（2 分）在一条笔直的公路上有 A，B 两地，甲骑自行车从 A 地到 B 地；乙骑自行车从 B 地到 A 地，到达 A 地后立即按原路返回 B 地如图是甲、乙两人离 B 地的距离y（km）与行驶时间 x（h）之间的函数图象下列说法中正确的个数为（ ）A，B 两地距离是 30 千米；甲的速度为 15 千米/时；点 M 的坐标为（
4、，20）；当甲、乙两人相距 10 千米时，他们的行驶时间是 小时或 小时A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题11（3 分）分解因式：2x 28xy+8y 2 12（3 分）如图，ADBECF，AB3，BC5，DE2，则 DF 长为 13（3 分）计算：（m+2+ ） 14（3 分）如图，ABC 中，AB6，AC 4，AD 平分BAC，DEAB 于点E，BFAC 于点 F，DE2，则 BF 的长为 15（3 分）某网店销售某种商品，成本为 30 元/件，当销售价格为 60 元/ 件时，每天可售出 100 件，经市场调查发现，销售单价每降 1 元，每天销量增加 10 件，当销售单价为
5、元时，每天获取的利润最大16（3 分）如图，在ABC 中，ABAC 4，tanB ，点 D 在 BC 边上，且 CD1，将ABD 沿直线 AD 翻折得到 AED，点 B 的对应点为 E，DE 与边 AC 交于点 F，则EF 的长为 三、解答题17（6 分）cos30（ ） 1 4（ 3.14） 0+18（8 分）已知：如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，CNAB，DN 交 AC 于点M，MAMC（1）求证：CDAN；（2）若AMD2MCD，试判断四边形 ADCN 的形状，并说明理由19（8 分）为了解某中学学生课余活动情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统
6、计，现从该校随机抽取 n 名学生作为样本，采用问卷调查的方式收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中提供的信息，解答下列问题：（1）请直接补全条形统计图；（2）若该校共有学生 3200 名，试估计该校喜爱看课外书的学生人数；（3）若被调查喜爱体育活动的 4 名学生中有 3 名男生和 1 名女生，现从这 4 名学生中任意抽取 2 名，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到 2 名男生的概率四、20（8 分）如图 1 是一把折叠椅，图 2 是椅完全打开支稳后的侧面示意图，AB 表示地面所在的直线，其中 AD 和 BC 表示两较粗
7、的钢管，EG 表示座板平面，EG AB，交 AC于点 F，且 ，AB 长 48cm，DAB60，ABC75，FG 长 24cm，CD 长24cm，（1）求座板 EG 的长；（2）求此时椅的最大高度（即点 D 到直线 AB 的距离）（结果保留号）21（8 分）沈阳市某学校 2018 年在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费 2000 元，购买乙种足球共花费 1400 元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2 倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花 20 元（1）求购买一个甲种足球，一个乙种足球各需多少元？（2）为相应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两
8、种足球共 50 个，如果此次购买甲、乙两种足球的费用不超过 2950 元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？五、22（10 分）如图，直线 PT 与 O 相切于点 T，直线 PO 与O 相交于 A，B 两点，连接AT，BT（1）求证：PTAB；（2）若 PTBT6 ，请直接写出图中阴影部分的面积（结果保留无理数）六、23（10 分）如图，点 M（ 2，m ）在直线 y2x （x0）上，点 A，B 的坐标分别是（4，0），（0，3），连接 AB，将AOB 沿射线 OM 方向平移，使点 O 移动到点 M，得到CMD（点 A，B 分别对应点 C，D ）（1）填空：m 的值为 ，点 C 的坐标是
9、；（2）在射线 OM 上是否存在一点 N，使NCMBOM？如果存在，请求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）连接 AD，点 P 是射线 OM 上一动点，请直线写出使ADP 是等腰三角形时点 P的坐标七、24（12 分）已知正方形 ABCD，P 为射线 AB 上一点，以 BP 为边做正方形 BPEF，使点F 在线段 CB 的延长线上，连接 EA、EC 、AC （1）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，判断ACE 的形状，并说明理由（2）如图 2，若点 P 在线段 AB 上，若点 P 是线段 AB 的中点，判断ACE 的形状，并说明理由当 AB BP 时，请直接写出CAE 的
10、度数八、25（12 分）如图，抛物线 yax 2+bx4 与 x 轴交于点 A（2，0），B（4，0），与 y轴交于点 C，顶点 D（1）求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标；（2）动点 PQ 以相同的速度从点 O 同时出发，分别在线段 OB，OC 上向点 B，C 方向运动，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 E当四边形 OQEP 为矩形时，求点 E 的坐标；过点 E 作 EMBC 于点 M，连接 BE，PM ，QM ，设BPM 的面积为 S1，CQM 的面积为 S2，当 PE 将BCE 的面积分成 1：3 两部分时，请直接写出 的值连接 CP，DQ，请直接写出 CP+DQ 的最小值201
11、9 年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1（2 分）下列各数是无理数的是（ ）A BC0.414414414 D【分析】有理数包括整数与分数，无理数是无限不循环小数，逐一对照即可得出正确答案【解答】解： 是分数，属有理数；2，是整数，属有理数；0.414414414 是有限小数，属有理数；而 4 是无限不循环小数，是无理数故选：D【点评】本题考查的是有理数与无理数的定义，掌握无理数是无限不循环小数的特征是解决问题的关键2（2 分）如图是由几个相同小立方体组成的几何体，则从上面看这个几何体所得到的图形是（ ）A BC D【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案
12、【解答】解：从上面看第一层左边是一个小正方形，第二层中间是一个小正方形，第三层右边是一个小正方形，如图 ，故选：B【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图3（2 分）截止到 2019 年 3 月 31 日 24：00，电影流浪地球的票房已经达到 46.52 亿元，数据 46.52 亿可以用科学记数法表示为（ ）A4.65210 B4.65210 10 C4.65210 9 D46.5210 8【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原
13、数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数【解答】解：数据 46.52 亿可以用科学记数法表示为 4.652109故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4（2 分）下列事件中，是必然事件的是（ ）A掷一次骰子，向上一面的点数是 6B任意画个三角形，其内角和为 180C篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中D一元二次方程一定有两个实数根【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件【解
14、答】解：A掷一次骰子，向上一面的点数是 6，属于随机事件；B任意画个三角形，其内角和为 180，属于必然事件；C篮球队员在罚球线上投篮一次未投中，属于随机事件；D一元二次方程一定有两个实数根，属于随机事件；故选：B【点评】本题主要考查了随机事件，解题时注意：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件5（2 分）下列图形中：是中心对称图形的共有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断【解答】解：从左起第 2、4 个图形是中心对称图形，故选：B【点评】本题
15、考查了中心对称图形的概念，注意掌握图形绕某一点旋转 180后能够与自身重合6（2 分）下列运算正确的是（ ）Aa 2a3a 6 B + C（a+b） 2a 2+b2 D（a 2） 3a 6【分析】各项计算得到结果，即可作出判断【解答】解：A、原式a 5，不符合题意；B、原式不能合并，不符合题意；C、原式a 2+2ab+b2，不符合题意；D、原式a 6，符合题意，故选：D【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键7（2 分）已知点 A（2，a）与点 B（3，b）都在反比例函数 y （k0）的图象上，则a 与 b 的大小关系是（ ）Aab Bab Cab D不能确定【分析】根
16、据反比例函数的增减性即可求得 a 与 b 的大小关系【解答】解：k0，反比例函数图象的两个分支在第一三象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小；又点 A（2，a）与点 B（3，b）都在反比例函数 y （k0）的图象上，且 23，ab；故选：A【点评】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键8（2 分）在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，20，22，23，20，22则这组数据中的众数和中位数分别是（ ）A22 个、20 个 B22 个、21 个 C20 个、21 个 D20 个、22 个【分析】找中位数要把数据
17、按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个【解答】解：在这一组数据中 20 出现了 3 次，次数最多，故众数是 20；把数据按从小到大的顺序排列：19，20，20，20，22，22，23，24，处于这组数据中间位置的数 20 和 22，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是21故选：C【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错9（2 分
18、）如图，在ABC 中，C90，E，F 分别是 AC，BC 上两点，AE 16，BF12，点 P，Q ，D 分别是 AF，BE，AB 的中点，则 PQ 的长为（ ）A10 B8 C2 D20【分析】根据三角形中位线定理得到 PD BF6，PDBC，根据平行线的性质得到PDACBA，同理得到PDQ 90，根据勾股定理计算，得到答案【解答】解：C90，CAB+ CBA90，点 P，D 分别是 AF，AB 的中点，PD BF6，PDBC，PDACBA，同理，QD AE8，QDBCAB ，PDA+QDB90，即 PDQ 90，PQ 10，故选：A【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形
19、的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键10（2 分）在一条笔直的公路上有 A，B 两地，甲骑自行车从 A 地到 B 地；乙骑自行车从 B 地到 A 地，到达 A 地后立即按原路返回 B 地如图是甲、乙两人离 B 地的距离y（km）与行驶时间 x（h）之间的函数图象下列说法中正确的个数为（ ）A，B 两地距离是 30 千米；甲的速度为 15 千米/时；点 M 的坐标为（ ，20）；当甲、乙两人相距 10 千米时，他们的行驶时间是 小时或 小时A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据题意，确定 正确，当两人相距 10 千米时，应有 3 种可能性【解答】解：根据题意可以列出甲
20、、乙两人离 B 地的距离 y（km ）与行驶时间 x（h）之间的函数关系得y 甲 15x+30y 乙 由此可知， 正确当 15x+3030x 时，解得 x则 M 坐标为（ ，20），故 正确当两人相遇前相距 10km 时，30x+15x30 10x ，当两人相遇后，相距 10km 时，30x+15x30+10，解得 x15x（30x30）10解得 x错误故选：C【点评】本题为一次函数应用问题，考查学生对于图象分析能力，解答时要注意根据两人运动状态分析图象得到相应的数据，从而解答问题二、填空题11（3 分）分解因式：2x 28xy+8y 2 2（x2y ） 2 【分析】首先提取公因式 2，进而利
21、用完全平方公式分解因式即可【解答】解：2x 28xy+8y 22（x 24xy+4y 2）2（x2y） 2故答案为：2（x2y ） 2【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键12（3 分）如图，ADBECF，AB3，BC5，DE2，则 DF 长为 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出 EF，计算即可【解答】解：ADBE CF， ，即 ，解得，EF ，DFDE +EF2+ ，故答案为： 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键13（3 分）计算：（m+2+ ） 2m6 【分析】原式括号中两
22、项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果【解答】解：原式 2（m+3）2m6，故答案为：2m6【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键14（3 分）如图，ABC 中，AB6，AC 4，AD 平分BAC，DEAB 于点E，BFAC 于点 F，DE2，则 BF 的长为 5 【分析】过 D 作 DGAC 于 G，根据角平分线的性质得到 DGDE 2，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论【解答】解：过 D 作 DGAC 于 G，AD 平分BAC，DE AB，DGDE 2 ，S ABC S ABD +SACD ， ACBF ABDE+ ACDG， 4BF 62+
23、42，BF5，故答案为：5【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键15（3 分）某网店销售某种商品，成本为 30 元/件，当销售价格为 60 元/ 件时，每天可售出 100 件，经市场调查发现，销售单价每降 1 元，每天销量增加 10 件，当销售单价为 50 元时，每天获取的利润最大【分析】直接利用每件利润销量总利润，进而得出关系式进，再根据函数最值的方法求出而答案【解答】解：设当销售单价为 x 元时，每天获取的利润为 y 元，则 y（x30）100+10（60x ）10x 2+1000x2100010（x50） 2+4000，当 x50 时，y 有最大值，
24、且为 4000，故答案为：50【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键，难度不大16（3 分）如图，在ABC 中，ABAC 4，tanB ，点 D 在 BC 边上，且 CD1，将ABD 沿直线 AD 翻折得到 AED，点 B 的对应点为 E，DE 与边 AC 交于点 F，则EF 的长为 【分析】过 A 作 AHBC 于 H，由等腰三角形的性质得出 BHCH，BC ，由tanB ，设 AH x，则 BH3x，在 RtABH 中，由勾股定理得出方程，求出 BHCH3，DHCHCD2，BDBH+ DH5，由折叠可得，BDDE，EABCC，ABAE 4，证明AFEDFC，得出
25、 ，设 CF a，则 EF4a，AF4a，得出 DF AF1 a，由DF+EFDE 5 得出方程，求出 a 的值，即可得出 EF 的长【解答】解：如图所示，过 A 作 AHBC 于 H，ABAC4， BH CH ，BC ，tanB ，设 AH x，则 BH3x ，在 Rt ABH 中，由勾股定理得：（3x） 2+（ x） 24 2，解得：x1，BHCH3，DHCHCD2，BDBH +DH5，由折叠可得，BDDE，EABCC，ABAE 4，又AFE DFC，AFE DFC， ，设 CFa，则 EF4a，AF 4a，DF AF1 a，DF+ EFDE5，4a+1 a5，解得：a ，EF4 ；故答案
26、为： 【点评】本题主要考查了翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理、三角函数等知识；解决问题的关键是利用相似三角形的对应边成比例，列方程求解三、解答题17（6 分）cos30（ ） 1 4（ 3.14） 0+【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可求出值【解答】解：原式 （3）41+3 1【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键18（8 分）已知：如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，CNAB，DN 交 AC 于点M，MAMC（1）求证：CDAN；（2）若AMD2MCD，试判断四边形 ADCN 的
27、形状，并说明理由【分析】（1）根据平行得出DAMNCM，根据 ASA 推出AMD CMN ，得出ADCN ，推出四边形 ADCN 是平行四边形即可；（2）根据AMD2MCD ，AMDMCD +MDC 求出MCD MDC，推出MDMC ，求出 MDMN MAMC，推出 ACDN，根据矩形的判定得出即可【解答】证明：（1）CNAB，DAMNCM ，在AMD 和CMN 中，AMDCMN （ASA ），ADCN，又ADCN，四边形 ADCN 是平行四边形，CDAN；（2）解：四边形 ADCN 是矩形，理由如下：AMD2MCD ，AMDMCD +MDC，MCDMDC，MD MC，由（1）知四边形 ADC
28、N 是平行四边形，MD MNMAMC，ACDN，四边形 ADCN 是矩形【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度适中19（8 分）为了解某中学学生课余活动情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计，现从该校随机抽取 n 名学生作为样本，采用问卷调查的方式收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中提供的信息，解答下列问题：（1）请直接补全条形统计图；（2）若该校共有学生 3200 名，试估计该校
29、喜爱看课外书的学生人数；（3）若被调查喜爱体育活动的 4 名学生中有 3 名男生和 1 名女生，现从这 4 名学生中任意抽取 2 名，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到 2 名男生的概率【分析】（1）先用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比计算出调查的总人数，再计算出看电视的人数，然后补全条形统计图；（2）用 3200 乘以样本中喜爱看课外书人数的百分比可估计该校喜爱看课外书的学人数；（3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出恰好抽到 2 名男的结果数，然后根据概率公式计算【解答】解：（1）调查的总人数为 510%50（人），所以看电视的人数为 501520510（人），补全条形统
30、计图为：（2）3200 960，所以估计该校喜爱看课外书的学人数为 960 人；（3）画树状图：共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到 2 名男的结果数为 6，所以恰好抽到 2 名男的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率也考查了统计图四、20（8 分）如图 1 是一把折叠椅，图 2 是椅完全打开支稳后的侧面示意图，AB 表示地面所在的直线，其中 AD 和 BC 表示两较粗的钢管，EG 表示座板平面，EG AB，交 AC于点 F，且 ，AB 长 48
31、cm，DAB60，ABC75，FG 长 24cm，CD 长24cm，（1）求座板 EG 的长；（2）求此时椅的最大高度（即点 D 到直线 AB 的距离）（结果保留号）【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题（2）作 BHAC 于 H，DK AB 于 K想办法求出 AH，CH，AD 即可解决问题【解答】解：（1）EFAB， ，AB48cmEF16cm，GEFG +EF24+1640cm（2）作 BHAC 于 H，DK AB 于 K在 Rt ABH 中，AB 48cm，A60，AHB90，ABH30，AH AB24cBH24 cm，ABC75，CBHBCH45，BHCH24 cm，AD
32、AH +CH+CD（48+24 ）cm，在 Rt ADK 中，DKADsin60（48+24 ） （24 +36）cm【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型21（8 分）沈阳市某学校 2018 年在商场购买甲、乙两种不同的足球，购买甲种足球共花费 2000 元，购买乙种足球共花费 1400 元，购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2 倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花 20 元（1）求购买一个甲种足球，一个乙种足球各需多少元？（2）为相应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共 50 个
33、，如果此次购买甲、乙两种足球的费用不超过 2950 元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？【分析】（1）设购买一个甲种足球需 x 元，根据：购买足球数 ，购买甲种足球的数量2购买乙种足球数量，列出方程求解即可；（2）设这所学校再次购买 y 个乙种足球，根据：购买甲足球费用+购买乙足球费用2950，列出不等式，求解得结论【解答】解：（1）设购买一个甲种足球需 x 元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，由 2 ，解得：x50经检验 x50 是原方程的解，所以 50+2070（元）答：购买一个甲种足球需 50 元，购买一个乙种足球需 70 元（2）设这所学校再次购买 y 个乙种足球，则购买（5
34、0y）个甲种足球，50（50y）+70y 2950，解得：y22.5，因为 y 是正整数，所以 y22由题意可得，最多可购买 22 个乙种足球答：这所学校最多可购买 22 个乙种足球【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用理解题意，掌握分式方程、一元一次不等式的解法是解决本题的关键解分式方程注意验根五、22（10 分）如图，直线 PT 与 O 相切于点 T，直线 PO 与O 相交于 A，B 两点，连接AT，BT（1）求证：PTAB；（2）若 PTBT6 ，请直接写出图中阴影部分的面积（结果保留无理数）【分析】（1）利用切线的性质得OTP90，即2+PTA90，再利用圆周角定理得到
35、ATB90，则2+190，然后利用等量代换得到PTA B；（2）利用 TPTB 得到PB，而POT2B，所以 POT2P，则利用OTP90可计算出P30，POT60，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 OT6，AOT 为等边三角形，然后根据扇形的面积公式和图中阴影部分的面积S 扇形 AOTS AOT 进行计算【解答】（1）证明：直线 PT 与 O 相切于点 T，OTPT ，OTP90，即2+PTA 90，AB 为直径，ATB90，2+190，PTA1，OBOT ，1B，PTAB；（2）解：PTBT，PB ，POTB+12B，POT2P，而OTP90，P30，POT60，OT PT6，A
36、OT 为等边三角形，图中阴影部分的面积S 扇形 AOTS AOT 66 69 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了扇形的面积公式六、23（10 分）如图，点 M（ 2，m ）在直线 y2x （x0）上，点 A，B 的坐标分别是（4，0），（0，3），连接 AB，将AOB 沿射线 OM 方向平移，使点 O 移动到点 M，得到CMD（点 A，B 分别对应点 C，D ）（1）填空：m 的值为 4 ，点 C 的坐标是 （6，4） ；（2）在射线 OM 上是否存在一点 N，使NCMBOM？如果存在，请求出点 N 的坐
37、标；如果不存在，请说明理由；（3）连接 AD，点 P 是射线 OM 上一动点，请直线写出使ADP 是等腰三角形时点 P的坐标【分析】（1）当 x2 时，y2x 4，故：m 4，则点 M 的坐标为（2，4），由平移，可知：CMAO4，即可求解；（2）存在，理由：分当 NC 在直线 MC 下方、上方，两种情况分别求解即可；（3）分 ADAP 、ADPD、APPD 三种情况，分别求解即可【解答】解：（1）当 x2 时，y2x 4，m4，点 M 的坐标为（2，4），由平移，可知：CMAO4 ，点 C 的坐标为（6，4），则点 D（2，6）故答案为：4；（6，4）（2）存在，理由：当 NC 在直线 MC
38、 下方时，直线 OM 的表达式为： y2x，则 tanMOB ，NCMBOM，则 tanNCM ，设直线 NC 的表达式为：y x+b，将点 C 的坐标代入上式并解得： b1，则直线 NC 的表达式为：y x+1，将联立并求解得： x ，则点 N（ ， ）；当 NC 在直线 MC 上方时，同理可得：点 N（ ， ）；故点 N（ ， ）或（ ， ）；（3）设点 P（x ，2x ），点 D（2，6），点 A（4，0），则 AD24+36 40，AP 2（ x4） 2+4x25x 28x+16， PD2（x2） 2+（2x6）25x 228x+40 ，当 ADAP 时，405x 2 8x+16，解得
39、：x ，当 ADPD 时，同理可得：x0 或 ，当 APPD 时，同理可得：x ，故点 P 坐标为（ ， ）或（ ， ）或（0，0）或（ ， ）或（ ， ）【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到图形平移、等腰三角形等知识，难度不大七、24（12 分）已知正方形 ABCD，P 为射线 AB 上一点，以 BP 为边做正方形 BPEF，使点F 在线段 CB 的延长线上，连接 EA、EC 、AC （1）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，判断ACE 的形状，并说明理由（2）如图 2，若点 P 在线段 AB 上，若点 P 是线段 AB 的中点，判断ACE 的形状，并说明理由当 AB BP
40、 时，请直接写出CAE 的度数【分析】（1）由正方形的性质可得 ABBC，BFBP，ABC90EFB EPB，通过证明AFB CPB，可得 AF CP，AFBCPB，由“SAS”可证AFECFE，可得 AECE ，即ACE 是等腰三角形；（2）设 APPBPEEF BFa，则 AB2aBC ，CF3a，由勾股定理的逆定理可证ACE 是直角三角形；（3）由正方形的性质可得 BE PBAB，即可求EAB 67.5，即可求CAE 的度数【解答】解：（1）ACE 等腰三角形理由如下：如图，连接 AF，CP，四边形 ABCD，四边形 FBPE 是正方形ABBC，BFBP，ABC90EFB EPB，ABF
41、 CBP90，且 ABBC ，BFBPAFB CPB（SAS）AFCP， AFBCPB，AFB +EFBCPB+EPBAFE CPE，且 AFCP ，EFEP，AFE CFE（SAS）AECE，ACE 是等腰三角形（2）ACE 是直角三角形理由如下：点 P 是线段 AB 的中点，APPB AB设 APPBPEEF BFa，则 AB2aBC ，CF3a，AC 2AD 2+CD28a 2，CE 2CF 2+EF210a 2，AE 2AP 2+PE22a 2，CE 2AC 2+AE2，ACE 是直角三角形（3）连接 BE，四边形 ABCD，四边形 FBPE 是正方形CABEBP45，BE PBAB
42、PBABBEEAB AEB67.5CAEEAB+ CAB 112.5【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及逆定理，运用勾股定理的逆定理证明ACE 是直角三角形是本题的关键八、25（12 分）如图，抛物线 yax 2+bx4 与 x 轴交于点 A（2，0），B（4，0），与 y轴交于点 C，顶点 D（1）求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标；（2）动点 PQ 以相同的速度从点 O 同时出发，分别在线段 OB，OC 上向点 B，C 方向运动，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 E当四边形 OQEP 为矩形时，求点 E 的坐标；过点 E 作 EMBC
43、于点 M，连接 BE，PM ，QM ，设BPM 的面积为 S1，CQM 的面积为 S2，当 PE 将BCE 的面积分成 1：3 两部分时，请直接写出 的值连接 CP，DQ，请直接写出 CP+DQ 的最小值【分析】（1）将点 A、B 代入抛物线解析式即可，则点 D 坐标可求（2） 四边形为矩形，可分析出 OQPE，设点坐标表示线段长度列式求解即可PE 分三角形的面积之比为 1：3，可分析出 PE 分线段 BC 为 1：3，分两种情况讨论，分别求出 S1 和 S2，则比值可求转化线段 CP 为线段 BQ，作点 D 关于 y 轴的对称点，连接 BD，与 y 轴的交点即为点 Q，求出 BD的长度就是
44、CP+DQ 的最小值【解答】解：（1）将点 A、B 代入解析式解得y x2x4，当 x1 时，y ，D（1， ）（2） 设点 E 的坐标为（m， m2m4），则点 P（m，0），点 Q（0，m），四边形 OQEP 为矩形，OQEP，m m2+m+4，解得 m12 （舍），m 22 E（2 ，2 ）令 x0，y4，C（0，4），PE 将BCE 的面积分成 1：3 两部分，PE 将线段 BC 分成 1：3 两部分，情况一：当 PE 过靠近点 C 的四等分点时，点 P 的坐标为（1，0），点 E（1， ），点 Q（0，1），直线 BC 的解析式为 yx4，当 x1 时，y3，点 G（1，3），如图 1 所示，GD ，CGDOBC45，x M 1 ，M（ ， ），S 13 ，S 23 ， 15情况二：当 PE 过靠近点 B 的四等分点时，点 P（3，0），点 Q（0，3），点E（3， ），点 G（3， 1），EG ，x M 3 ，M（ ， ），S 11 ，S 21 ， 综上所述： 15 或 如图 2 所示，
