1、第三章第三章 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 章末复习提升章末复习提升 要点一 数形结合思想 “数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图 形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或 示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决. 【例 1】 双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，若 P 为双曲 线上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为( ) A.(1，3) B.(1，3 C.(3，) D.3，) 答案 B 解析 如图所示，由|PF1|2|PF2|知 P 在双
2、曲线的右支上， 则|PF1|PF2|2a， 又|PF1|2|PF2|， |PF1|4a，|PF2|2a. 在F1PF2中，由余弦定理得 cosF1PF2|PF 1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2| 16a 24a24c2 24a 2a 5 4 c2 4a2 5 4 e2 4， 0F1PF2， 且当点 P 是双曲线的右顶点时，F1PF2， 1cosF1PF21， 15 4 e2 41，解得 10)上有 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F 是 它的焦点，若 2|BF|AF|CF|，则( ) A.2x2x1x3 B.2y2y1y3 C.2x3x1x2 D.
3、2y3y1y2 答案 A 解析 如图，过 A，B，C 分别作准线的垂线，垂足分别为 A，B，C，由抛物线定义知： |AF|AA|，|BF|BB|，|CF|CC|. 2|BF|AF|CF|， 2|BB|AA|CC|. 又|AA|x1p 2，|BB|x2 p 2，|CC|x3 p 2， 2 x2p 2 x1p 2x3 p 2， 2x2x1x3， 故选 A. 要点二 分类讨论思想 分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象 进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得 到整个问题的结果.如曲线方程中含有的参数的取值范围不同， 对应的曲线也不同，
4、这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需 要讨论. 【例 2】 如果双曲线的两条渐近线的方程为 y 3 4x，求此双曲线的离心率. 解 当双曲线的焦点在 x 轴上时，由已知可得b a 3 4， c2a2b2，e2 c a 2 a 2b2 a2 1b 2 a2 25 16， 双曲线的离心率 e5 4； 同理，当焦点在 y 轴上时，可求得离心率 e5 3. 故双曲线的离心率为5 4或 5 3. 【训练 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 P(2，6)； (2)椭圆过点 P(2，0)，且 e 2 2 . 解 (1)设椭圆
5、的标准方程为x 2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b21(ab0). 由已知得 a2b. 椭圆过点 P(2，6)， 4 a2 36 b21 或 36 a2 4 b21. 由得 a2148，b237 或 a252，b213. 故所求椭圆的标准方程为 x2 148 y2 371 或 y2 52 x2 131. (2)当焦点在 x 轴上时，椭圆过点 P(2，0)，a2. 又c a 2 2 ，c 2. b2a2c22. 此时椭圆的标准方程为x 2 4 y2 21. 当焦点在 y 轴上时，椭圆过点 P(2，0)，b2. 又c a 2 2 ， a2b2 a 2 2 ，a28. 此时椭圆的标准方
6、程为y 2 8 x2 41. 故所求椭圆的标准方程为x 2 4 y2 21 或 y2 8 x2 41. 要点三 函数与方程思想 圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找 到解题的突破口.最值问题是高中数学中常见的问题， 在圆锥曲线问题中也不例外， 而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的方法解 有关圆锥曲线的最值问题. 方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化 为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中 最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位. 【例 3】 已知椭圆
7、 mx2ny21(m0， n0 且 mn)与直线 xy10 相交于 A， B 两点，C 是 AB 的中点，若|AB|2 2，OC 的斜率为 2 2 ，求椭圆的方程. 解 法一 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得 m(x1x2)(x1x2) n(y1y2)(y1y2)0. A，B 为直线 xy10 上的点， y 1y2 x1x21. 由已知得y 1y2 x1x2kOC 2 2 ，代入式可得 n 2m. 直线 xy10 的斜率 k1. 又|AB| 1k2|x2x1| 2|x2x1|2 2， |x2x1|2. 联立 mx2ny21 与 xy10 可得(mn)x22nxn1
8、0， 且由已知得 x1，x2是方程(mn)x22nxn10 的两根， x1x2 2n mn，x1x2 n1 mn， 4(x2x1)2(x1x2)24x1x2 2n mn 2 4 n1 mn. 将 n 2m 代入式，解得 m1 3，n 2 3 . 所求椭圆的方程是x 2 3 2 3 y21. 法二 由 mx 2ny21， xy10 得(mn)x22nxn10. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2 2n mn，x1x2 n1 mn， 且直线 AB 的斜率 k1， |AB| （k21）（x1x2）2 （k21）（x1x2）24x1x2 2 4n24（mn）（n1） mn . |A
9、B|2 2， 2 4n24（mn）（n1） mn 2 2， mnmn mn 1. 设 C(x，y)，则 xx 1x2 2 n mn，y1x m mn. OC 的斜率为 2 2 ， m n 2 2 ，将其代入式得，m1 3，n 2 3 . 所求椭圆的方程为x 2 3 2 3 y21. 【训练 3】 若双曲线x 2 a2 y2 161(a0)的离心率为 5 3，则 a_. 答案 3 解析 由离心率公式，有a 216 a2 5 3 2 (a0)，得 a3.故填 3. 要点四 化归与转化思想 将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为化 归与转化思想.一般将有待解决的问题进行
10、转化， 使之成为大家熟悉的或容易解决 的问题模式.转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用， 如把求参数的取值范围问题 转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等 价性. 【例 4】 已知点 A(4，2)，F 为抛物线 y28x 的焦点，点 M 在抛物线上移动， 当|MA|MF|取最小值时，点 M 的坐标为( ) A.(0，0) B.(1，2 2) C.(2，4) D. 1 2，2 答案 D 解析 过点 M 作准线 l 的垂线，垂足为 E，则由抛物线定义知|MF|ME|.当点 M 在抛物线上移动时，|MF|MA|的值在变化，显然 M 移到 M，使 AMOx 即 A， M
11、，E 共线时，|ME|MA|最小，把 y2 代入 y28x，得 x1 2，M 1 2，2 . 【训练 4】 如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y24x 上存 在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上. (1)设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴； (2)若 P 是半椭圆 x2y 2 41(x0)上的动点，求PAB 面积的取值范围. (1)证明 设 P(x0，y0)，A 1 4y 2 1，y1，B 1 4y 2 2，y2. 因为 PA，PB 的中点在抛物线上， 所以 y1，y2为方程 yy0 2 2 4 1 4y 2x0 2 ， 即
12、y22y0y8x0y200 的两个不同的实根. 所以 y1y22y0， 所以 AB 的中点 M 的纵坐标为 y0， 因此 PM 垂直于 y 轴. (2)解 由(1)可知 y 1y22y0， y1y28x0y20， 所以|PM|1 8(y 2 1y22)x0 1 8(y1y2) 22y1y2x0 3 4y 2 03x0， |y1y2| （y1y2）24y1y22 2（y204x0）. 因此，PAB 的面积 SPAB1 2|PM| |y1y2| 3 2 4 (y204x0)3 2. 因为 x20y 2 0 41，又1x00， 所以 y204x04x204x044，5， 因此，PAB 面积的取值范围是 6 2，15 10 4 .
