1、第三章第三章 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1抛物线 y26x 的焦点到准线的距离是( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 抛物线的焦点到准线的距离为 p3. 2已知双曲线x 2 a2y 21(a0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( ) Ay 5x By 5 5 x Cy 3x Dy 3 3 x 答案 D 解析 y28x 的焦点是(2,0)， 双曲线 x2 a2y 21 的半焦距 c2， 又虚半轴长 b1 且 a0， a 2212 3， 双曲线
2、的渐近线方程是 y 3 3 x. 3动点到点(3,0)的距离比它到直线 x2 的距离大 1，则动点的轨迹是( ) A椭圆 B双曲线 C双曲线的一支 D抛物线 答案 D 解析 已知条件可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线 x3 的距离”，由抛物线的定义可判断， 动点的轨迹为抛物线 4.如图所示，F1，F2分别为椭圆x 2 a2 y2 b21 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，POF2 是面积为 3的正三角形， 则 b2的值为( ) A. 3 B2 3 C3 3 D4 3 答案 B 解析 POF2是面积为 3的正三角形， 3 4 c2 3，解得 c2. P(1， 3)，代入椭圆方程可得 1
3、 a2 3 b21，与 a 2b24 联立解得 b22 3. 5从抛物线 y24x 在第一象限内的一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|4，设抛物线的焦点 为 F，则直线 PF 的斜率为( ) A. 3 3 B. 3 2 C. 3 D2 3 答案 C 解析 设 P(x0，y0)，依题意可知抛物线准线为 x1， 所以 x0413，所以 y02 3， 所以 P(3,2 3)，F(1,0)， 所以直线 PF 的斜率 k 2 3 31 3. 6直线 ykx1 与椭圆x 2 5 y2 m1 总有公共点，则 m 的取值范围是( ) A(1，) B(0,1)(1，) C1,5)(5，) D(0
4、,1)(1,5) 答案 C 解析 直线 ykx1 过定点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上， 0 2 5 12 m1， 解得 m1，又 m5，故选 C. 7.如图，已知 F 是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PFx 轴，OPAB(O 为原点)，则 该椭圆的离心率是( ) A. 2 2 B. 2 4 C.1 2 D. 3 2 答案 A 解析 因为 PFx 轴， 所以 P c，b 2 a . 又 OPAB， 所以b a b2 a c ，即 bc. 于是 b2c2，即 a22c2. 所以 ec a 2 2 . 8.如图所示，F1，F2是双曲线 C：x 2 a
5、2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，过 F1 的直线与 C 的左、右两支分别 交于 A，B 两点若|AB|BF2|AF2|345，则双曲线的离心率为( ) A2 B. 15 C. 13 D. 3 答案 C 解析 |AB|BF2|AF2|345， 不妨令|AB|3，|BF2|4，|AF2|5， |AB|2|BF2|2|AF2|2， ABF290 ， 又由双曲线的定义得|BF1|BF2|2a，|AF2|AF1|2a， |AF1|345|AF1|， |AF1|3，2a|AF2|AF1|2， a1，|BF1|6. 在 RtBF1F2中，|F1F2|2|BF1|2|BF2|2361652， 又|
6、F1F2|24c2，4c252， c 13，e 13. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错 的得 0 分) 9以直线 2xy10 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为( ) Ay22x By24x Cx24y Dx22y 答案 AC 解析 直线 2xy10 与 x 轴的交点坐标是 1 2，0 ， 即抛物线的焦点坐标是 1 2，0 ， 此时抛物线的标准方程是 y22x，与 y 轴的交点坐标是(0，1)， 抛物线的焦点坐标是(0，1)， 此时抛物线的标准方程是 x24y. 10 已知 F1， F2分别是双曲线 C：
7、 x2y21 的左、 右焦点， 点 P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点， 且PF1 PF2 0，则下列结论正确的是( ) A双曲线 C 的渐近线方程为 y x BPF1F2的面积为 1 CF1到双曲线的一条渐近线的距离为 2 D以 F1F2为直径的圆的方程为 x2y21 答案 AB 解析 对于 A，由 x2y20 得 y x，所以双曲线 C 的渐近线方程为 y x，所以 A 正确； 对于 B，由双曲线 C：x2y21，可得 a1，b1，c 2，则 F1( 2，0)，F2( 2，0)，设 P(x，y)，则PF1 ( 2x，y)，PF2 ( 2x，y)， 所以PF1 PF2 ( 2x)( 2x)(
8、y)20，得 x2y22，因为点 P 在双曲线上，所以 x2y21，解得|y| 2 2 ，所以PF1F2的面积为1 2|F1F2|y| 1 22 2 2 2 1，所以 B 正确； 对于 C，F1( 2，0)到一条渐近线 xy0 的距离为 d| 2| 111，所以 C 错误； 对于 D，由于 F1( 2，0)，F2( 2，0)，所以以 F1F2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 2，所以圆的方程 为 x2y22，所以 D 错误 11已知双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2 3 3 ，右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近
9、线交于 M，N 两点，则有( ) A渐近线方程为 y 3x B渐近线方程为 y 3 3 x CMAN60 DMAN120 答案 BC 解析 如图，双曲线 C：x 2 a2 y2 b21 的渐近线方程为 y b ax，离心率为 c a 2 3 3 ， 则c 2 a2 a2b2 a2 1b 2 a2 4 3， 则b 2 a2 1 3， b a 3 3 ， 故渐近线方程为 y 3 3 x， 取 MN 的中点 P， 连接 AP，利用点到直线的距离公式可得 d|AP|ab c ， 则 cosPAN|AP| |AN| ab c b a c， cosMANcos 2PAN2cos2PAN12a 2 c21
10、1 2，则MAN60 . 12已知椭圆x 2 4 y2 21 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下 列关于PF1F2的说法正确的有( ) APF1F2的周长为 42 2 B当PF1F290 时，PF1F2中|PF1|2 C当F1PF260 时，PF1F2的面积为4 3 3 D椭圆上有且仅有 6 个点 P，使得PF1F2为直角三角形 答案 AD 解析 由椭圆的方程可得，a2，b 2，c 2， 对于选项 A，PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|2a2c42 2，故选项 A 正确； 对于选项 B，当PF1F290 时，PF1x 轴，令 x 2，
11、可得 y 1，所以|PF1|1，故选项 B 不正确； 当F1PF260 时，PF1F2的面积为 b2tan 30 2 3 3 2 3 3 ，故选项 C 不正确； 当点 P 位于椭圆的上、下顶点时，|PF1|PF2|a2，而|F1F2|2c2 2，此时F1PF290 ，有 2 个直角 三角形，当 PF1F1F2时，PF1F290 ，此时点 P 位于第二或第三象限，有 2 个直角三角形，同理可得 PF2F1F2时，PF2F190 ，此时有 2 个直角三角形，所以共有 6 个直角三角形，故选项 D 正确 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13在ABC 中，|AB|8，|
12、AC|4，BAC60 ，双曲线以 A，B 为焦点，且经过点 C，则该双曲线的离 心率为_ 答案 31 解析 因为在ABC 中，|AB|8，|AC|4，BAC60 ， 所以|CB| |AB2|AC2|2|AB| |AC|cosBAC 64162841 24 3， 即|CB|4 3，在双曲线中，2c|AB|8c4， 2a|CB|CA|4 34a2 32， 所以离心率 ec a 2 31 31. 14已知双曲线 C：x2y 2 31 的左焦点为 F1，顶点 Q(0,2 3)，P 是双曲线 C 右支上的动点，则|PF1|PQ| 的最小值等于_ 答案 6 解析 结合题意，绘制图象： 根据双曲线的性质可知
13、|PF1|PF2|2a2， 得到|PF1|PF2|2， 所以|PF1|PQ|PF2|PQ|2|QF2|2， 而 Q(0,2 3)，F2(2,0)， 所以|QF2|222 324， 所以最小值为 6. 15已知中心在原点，焦点坐标为(0， 5 2)的椭圆截直线 3xy20 所得的弦的中点的横坐标为1 2，则该 椭圆的方程为_ 答案 y2 75 x2 251 解析 设椭圆方程为y 2 a2 x2 b21(ab0)， 则 a2b2c2b250， 设直线 3xy20 与椭圆相交的弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 b2y21a2x21a2b2， b2y22a2x22a2b2， b2(
14、y1y2)(y1y2)a2(x1x2)(x1x2)0. 而弦的中点的横坐标为1 2， 则纵坐标为1 2， 即 x1x221 21，y1y22 1 2 1，y1y2 x1x23， b23(1)a210，即 a23b2， 联立得 a275，b225. 故该椭圆的方程为y 2 75 x2 251. 16.如图所示，已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线 l 与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线 C 上，且在 x 轴的上方，过点 A 作 ABl 于 B，|AK| 2|AF|，则AFK 的面积为_ 答案 8 解析 由题意知抛物线的焦点为 F(2,0)， 准线 l 为 x2， K(2,0)，设
15、A(x0，y0)(y00)， 过点 A 作 ABl 于 B， B(2，y0)， |AF|AB|x0(2)x02，|BK|2|AK|2|AB|2， x02， y04，即 A(2,4)， AFK 的面积为1 2|KF| |y0| 1 2448. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)设 F1，F2分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点 P，满 足|PF2|F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程 解 设 PF1的中点为 M，连接 F2M(图略) 由|PF2|F1F2|， 故 F2MP
16、F1，即|F2M|2a. 在 RtF1F2M 中，|F1M|2c22a22b， 故|PF1|4b. 根据双曲线的定义有 4b2c2a，即 2bac， 即(2ba)2a2b2，即 3b24ab0，即 3b4a， 故双曲线的渐近线方程是 y b ax，即 4x 3y0. 18(12 分)已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)经过点 A(2,1)，离心率为 2 2 ，过点 B(3,0)的直线 l 与椭圆交于不同的 两点 M，N. (1)求椭圆的方程； (2)若|MN|3 2 2 ，求直线 MN 的方程 解 (1)由题意有 4 a2 1 b21，e c a 2 2 ，a2b2c2， 解得 a 6
17、，b 3，c 3， 所以椭圆方程为x 2 6 y2 31. (2)由直线 MN 过点 B 且与椭圆有两交点，且直线 MN 的斜率必存在 可设直线 MN 方程为 yk(x3)， 代入椭圆方程整理得(2k21)x212k2x18k260，2424k20，得 k21. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 x1x2 12k2 2k21，x1x2 18k26 2k21 ， |MN|x1x22y1y22 k21x1x22 k21x1x224x1x2 3 2 2 ， 解得 k 2 2 ，满足 k20. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 y1y28m， 由 8m4，得 m1 2，代入判
18、别式大于 0 成立 所以直线 l 的方程为 2xy20. (2)假设存在点 C，D， 则可设 lCD：y1 2xn，与抛物线 y 28x 联立， 消去 y 得1 4x 2(n8)xn20， 其中 (n8)2n216n640， 则 n4.(*) 又 xCxD4(n8)， 所以 CD 的中点为(2(n8)，8)，代入直线 l 的方程， 得 n19 2 ，不满足(*)式 所以满足题意的点 C，D 不存在 21(12 分)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2，且经过点 1，3 2 ， (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过点(1,0)作直线 l 与椭圆相交于 A，B
19、两点，试问在 x 轴上是否存在定点 Q，使得两条不同直线 QA，QB 恰好关于 x 轴对称，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 解 (1)由题意可得 1 a2 9 4b21， c a 1 2， a2b2c2， 解得 a2，b 3，c1， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31. (2)存在定点 Q(4,0)，满足直线 QA，QB 恰好关于 x 轴对称， 设直线 l 的方程为 xmy1， 由 xmy1， x2 4 y2 31， 联立得(43m2)y26my90，(6m)24(43m2)(9)0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点 Q(t,0)， 由题意得 tx1，
20、tx2， 所以 y1y2 6m 43m2，y1y2 9 43m2， 因为直线 QA，QB 恰好关于 x 轴对称， 所以直线 QA，QB 的斜率互为相反数， 所以 y1 x1t y2 x2t0， 即 y1(x2t)y2(x1t)0， 所以 y1(my21t)y2(my11t)0， 即 2my1y2(1t)(y1y2)0， 所以 2m 9 43m2 (1t) 6m 43m2 0， 即6m(4t)0， 所以当 t4 时，直线 QA，QB 恰好关于 x 轴对称， 即 Q(4,0) 综上，在 x 轴上存在定点 Q(4,0)，使直线 QA，QB 恰好关于 x 轴对称 22(12 分)已知动点 P(x，y)
21、(其中 x0)到定点 F(1,0)的距离比点 P 到 y 轴的距离大 1. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程； (2)过椭圆 C1：x 2 16 y2 121 的右顶点作直线交曲线 C 于 A，B 两点，其中 O 为坐标原点 求证：OAOB； 设 OA，OB 分别与椭圆相交于点 D，E，证明：原点 O 到直线 DE 的距离为定值 (1)解 设 P(x，y)(x0)， 由题意， x12y2x1(x0)， 两边平方，整理得 y24x. 所求点 P 的轨迹方程为 C：y24x. (2)证明 设过椭圆的右顶点(4,0)的直线 AB 的方程为 xmy4. 代入抛物线方程 y24x，得 y24my160. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1y24m， y1y216. x1x2y1y2(my14)(my24)y1y2(1m2)y1y24m(y1y2)160. OAOB. 设 D(x3，y3)，E(x4，y4)，直线 DE 的方程为 xty， 代入x 2 16 y2 121， 得(3t24)y26ty32480. 于是 y3y4 6t 3t24，y3y4 3248 3t24 . 从而 x3x4(ty3)(ty4)4 248t2 3t24 . ODOE， x3x4y3y40. 代入，整理得 7248(t21) 原点到直线 DE 的距离 d | 1t2 4 21 7 为定值
