1、高中数学 必修第一册 1 / 11 第三章综合第三章综合测试测试 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）要求的） 1.函数 2 0 3 ( )(31) 1 x f xx x 的定义域是（ ） A. 1 , 3 B. 1 ,1 3 C. 1 1 , 3 3 D. 11 ,1 33 2.已知函数 1(2), ( ) (3)(2), xx f x f xx 则(1)(9)ff等于（ ） A.2 B.7 C.27 D.7 3.函数 1
2、1 1 y x 的图像是下列图像中的（ ） A B C D 4.若函数yax与 b y x 在(0,)上都是减函数，则 2 ( )f xaxbx在(0,)上是（ ） A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 5.函数 2 ( )(2)1f xaxa x是偶函数，则函数的单调递增区间为（ ） A.0,) B.(,0 C.(,) D.1,) 6.函数 2 ( )(1)1f xmxmx在区间(,1上为减函数，则m的取值范围是（ ） A. 1 0, 3 B. 1 0, 3 C. 1 0, 3 D. 1 0, 3 高中数学 必修第一册 2 / 11 7.定义在R上的偶函数 f x，对任意 12
3、12 ,0,)x xxx，有 21 21 0 f xf x xx ，则（ ） A.(3)( 2)(1)fff B.(1)( 2)(3)fff C.( 2)(1)(3)fff D.(3)(1)( 2)fff 8.若函数 ,1, ( ) (23 )1,1 a x f xx a xx 是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A. 2 ,1 3 B. 3 ,1 4 C. 2 3 , 3 4 D. 2 , 3 9. 设 函 数 f x满 足 对 任 意 的,m n（,m n为 正 数 ） 都 有()()( )fmnfmfn且(1)2f， 则 (2)(3)(2020) (1)(2)(2019) fff
4、 fff L等于（ ） A.2 020 B.2 019 C.4 038 D.4 040 10.在函数( 1,1)yx x 的图像上有一点( , )P t t，此函数图象与x轴、直线1x 及xt围成图形的面 积为S（如图的阴影部分所示） ，则S与t的函数关系的图象可表示为（ ） A B C D 11.设奇函数( )f x在(0,)上是增函数，且(2)0f，则不等式 ( )() 0 f xfx x 的解集为（ ） A.( 2,0)(2,)U B.( 2,0)(0,2)U 高中数学 必修第一册 3 / 11 C.(, 2)(2,) U D.(, 2)(0,2) U 12.已知定义在R上的函数( )f
5、 x，若函数(1)yf x为偶函数，且( )f x对任意 1212 ,1,)x xxx都有 21 21 0 f xf x xx ，若(1)(2 )f afa ，则实数a的取值范围是（ ） A. 1,1 B.(, 1 C.1,) D.(, 11,) U 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. .请把正确答案填在题中的横线上）请把正确答案填在题中的横线上） 13.设函数 ,0 ( ) 1 ,0 2 x x x f x x 则( ( 4)f f _. 14.若函数 2 (1)2 ( ) 1 axa f x xa 为奇函数，则实数a _.
6、 15.设函数 2 ( )24f xxx 在区间 , m n上的值域是 6,2，则mn的取值范围是_. 16.已知函数 2 9,3, ( ) 6 ,3, x f x xx x 则不等式 2 2(34)f xxfx的解集是_. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分. .解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17.10 分已知函数 2 2 ( ),1,) xxa f xx x . （1）当 1 2 a 时，求函数( )f x的最小值； （2）若对任意1,), ( )0 xf x恒成立，试求实数a的取值范围
7、； （3）讨论函数的单调性.（只写出结论即可） 高中数学 必修第一册 4 / 11 18.12 分设函数 2 ( )23,f xxxaxR. （1）小鹏同学认为，无论a取何值，( )f x都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由. （2）若( )f x是偶函数，求a的值. （3）在（2）的情况下，画出( )yf x的图象并指出其单调递增区间。 19.12 分通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的 时间，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生 的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用( )f
8、x表示学生掌握和接受概念的能力（( )f x的值越大，表示 接受能力越强） ，x表示提出和讲授概念的时间（单位：分钟） ，可以有以下公式： 2 0.12.643(010), ( )59(1016), 3107(1630), xxx f xx xx （1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多长时间？ （2）开讲 5 分钟与开讲 20 分钟比较，学生的接受能力何时强一些？ 20.12 分已知函数( ), (2)2 x f xf mxn ，且方程 2f xx有一个根为 1 2 . （1）求,m n的值； 高中数学 必修第一册 5 / 11 （2）求 1111 (2)(3)(4)(5) 345
9、2 ffffffff 的值. 21.12 分函数 2 ( ) 1 axb f x x 是定义在( 1,1)上的奇函数，且 12 25 f . （1）确定函数( )f x的解析式； （2）用定义证明( )f x在( 1,1)上是增函数； （3）解不等式(1)( )0f tf t. 22.12 分设函数( )yf x（xR，且0 x ）对任意非零实数 12 ,x x恒有 1 212 f x xf xf x，且对任 意1, ( )0 xf x. （1）求( 1)f 及(1)f的值； （2）判断函数( )f x的奇偶性； （3）求不等式 3 ( )0 2 f xfx 的解集。 高中数学 必修第一册 6
10、 / 11 第第三三章综合测试章综合测试 答案解析答案解析 一一、 1.【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】B 5.【答案】B 6.【答案】C 7.【答案】A 8.【答案】C 9.【答案】C 【解析】因为函数( )f x满足对任意的,m n（,m n为正整数）都有()( )( )f mnf mf n且(1)2f，所以 (1)( )(1)f mf mf， 变形可得 (1) (1)2 ( ) f m f f m ， 所以 (2)(3)(2020) 2019 (1)4038 (1)(2)(2019) fff f fff L. 10.【答案】B 【解析】当10t 时， 2 1 22
11、 t S ，所以图像是开口向下的抛物线的一部分，抛物线顶点坐标是 1 0, 2 ； 当0t时， 2 1 22 t S ，图像是开口向上的抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是 1 0, 2 .所以选项 B 中的 图像满足要求. 11.【答案】B 【解析】 ( )() 0 f xfx x 可变成 ( )()0, 0, f xfx x 或 ( )()0, 0, f xfx x 高中数学 必修第一册 7 / 11 ( )f xQ是奇函数，在(0,)上是增函数， 在(,0)也是增函数. 又(2)0f，( 2)(2)0ff. 不等式组变成 ( )0( 2), 0, f xf x 解得20 x ； 不等式组变
12、成 ( )0(2), 0, f xf x 解得0 x 2， 原不等式的解集是( 2,0)(0,2). 12.【答案】A 【解析】Q函数(1)yf x为偶函数，( )f x的图象关于直线1x 对称.Q对任意 1212 ,1,)x xxx都 有 21 21 0 f xf x xx .函数( )f x在1,)上单调递增，在(,1)上单调递减.(1)(2 )f afaQ， 1 121,11aaa . 二二、 13.【答案】4 14.【答案】1 15.【答案】0,4 16.【答案】(1,3) 【解析】当3x时， 22 ( )6(3)99f xxxx ， f x在(,3)上递增， 由 2 2(34)f x
13、xfx，可得 2 234, 343, xxx x 或 2 23, 34 3, xx x 解得 14 7 3 x x 或 13, 7 , 3 x x 即 7 1 3 x 或 7 3 3 x ，即13x ，即有解集为(1,3)，故答案为(1,3). 三三、 高中数学 必修第一册 8 / 11 17. 【 答案 】解 ： （ 1）当 1 2 a 时 ， 1 ( )2,1,) 2 f xxx x ， 设 12 ,1,)x x且 12 xx， 则 21 121212 1 21 2 1 10 22 xx f xf xxxxx x xx x ， 12 f xf x， f x在1,)上单调递增， min 7
14、( )(1) 2 f xf. （2）解： 2 2 ( )0 xxa f x x 对1,)x恒成立，即 2 2axx恒成立. 2 2yxx Q在1,)上最大值为3，3a. （3）解：当0a时，( )2 a f xx x ，为增函数；当01a 时， f x在1,)上为增函数；当1a时， f x在1,)a上为减函数，在,)a 上为增函数. 18.【答案】 （1）解：同意小鹏同学的看法.理由如下： 2 ( )3f aa， 2 ()43faaa，若 f x为奇函数，则有( )()0f afa， 2 230aa，显然 2 230aa无解， f x不可能是奇函数. （2）解：若 f x为偶函数，则有( )(
15、)f afa，则由（1）得0a ，从而0a ，此时 2 ( )23f xxx 是偶函数. （3）解：由（2）知 2 ( )23f xxx，其图像如图所示，其单调递增区间是 1,0和1,). 19.【答案】 （1）当010 x 时， 22 ( )0.12.6430.1(13)59.9f xxxx，故( )f x在010 x 时最 高中数学 必修第一册 9 / 11 大值为 2 (10)0.1 (10 13)59.959f .当1016x 时，( )59f x .当16x 30时，( )f x为减函数， 且( )59f x .因此，开讲 10 分钟后，学生接受能力最强（为 59） ，能维持 6 分
16、钟的时间. （2） 2 (5)0.1 (5 13)59.953.5f，(20)3 20 1074753.5f .故开讲 5 分钟时学生的接受能 力比开讲 20 分钟时要强一些. 20.【答案】 （1）解：由已知，得 2 (2)2 2 f mn . 由( )2f xx有一个根为 1 2 ，得 11 2 22 f ， 即 1 1 2 21 1 2 2 mn . 由，可得 1 3 mn. （2）解：Q由（1）可得 3 ( ) 1 x f x x ， 1 3 1333 ( )3 1 111 1 xx x f xf xxxx x . 111111 (2)(3)(4)(5)(2)(3) 234523 ff
17、ffffffffff 11 (4)(5)3 412 45 ffff 21.【答案】 （1）解：依题意得 (0)0, 12 , 25 f f 即 2 0, 10 2 2 , 1 5 1 4 b a b 解得 1, 0. a b 所以 2 ( ) 1 x f x x . 高中数学 必修第一册 10 / 11 （2）证明：任取 12 11xx ，则 121 2 12 12 22 22 12 12 1 1111 xxx xxx f xf x xxxx . 因为 12 11xx ，所以 12 0 xx， 2 1 10 x， 2 2 10 x. 又 1 2 11x x ，所以 1 2 10 x x. 所
18、12 0f xf x.所以 f x在( 1,1)上是增函数. （3）解：原不等式即(1)( )()f tf tft. 因为 f x在( 1,1)上是增函数， 所以111tt， 解得 1 0 2 t.所以原不等式的解集为 1 |0 2 tt . 22. 【答案】（1） 解：Q对任意非零实数 12 ,x x恒有 212 ,f x xf xf x，令 12 1xx， 代入可得(1)0f. 再令 12 1xx ，代入并利用(1)0f，可得( 1)0f . （2）解：取 12 1,xxx ，代入得()( )fxf x，又函数的定义域为(,0)(0,)，函数 f x是偶 函数. （3）解：任取 12 ,(0,)x x ，且 12 xx，则 2 1 1 x x ， 由题设有 2 1 0 x f x ， 222 211111 111 0 xxx f xf xfxf xff xf xf xxx ， 21 f xf x， 即函数 f x在(0,)上为减函数.又由 （2） 知函数( )f x是偶函数， 3 ( )0 2 f xfx 可转化为 3 (1) 2 fx xf ，即可得 3 1 2 x x ，解得 1 2 x或2x， 高中数学 必修第一册 11 / 11 解集为 1 ,2,) 2 .
