1、第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB BCCC 1 D1C1 等于( ) A.AD1 B.AC1 C.AD D.AB 答案 A 解析 AB BCCC 1 D1C1 AC1 C1D1 AD1 . 2已知 a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(1,3，)，若 a，b，c 三向量共面，则实数 等于( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 若向量 a，b，c 共面，则 cxayb，其中 x，yR， 即(1,3，)(2x，x,3x
2、)(y,4y，2y)(2xy，x4y,3x2y)， 则有 2xy1， x4y3， 3x2y， 解得 x1， y1， 1. 3若向量 a(x,4,5)，b(1，2,2)，且 a 与 b 的夹角的余弦值为 2 6 ，则 x 等于( ) A3 B3 C11 D3 或11 答案 A 解析 因为 a b(x,4,5) (1，2,2)x810 x2，且 a 与 b 的夹角的余弦值为 2 6 ， 所以 2 6 x2 x24252 144，且 x2， 解得 x3 或 x11(舍去) 4.如图，将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，若点 P 满足BP 1 2BA 1 2BC BD ，则
3、|BP |2 的值为( ) A.3 2 B3 C.7 4 D.9 4 答案 D 解析 由题可知|BA |1，|BC|1，|BD | 2. BA ，BD 45 ， BD ，BC 45 ， BA，BC60 ， 所以|BP |2 1 2BA 1 2BC BD 21 4BA 21 4BC 2BD21 2BA BCBA BD BC BD 1 4 1 42 1 211 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 9 4. 5已知空间向量 a(1，n,2)，b(2,1,2)，若 2ab 与 b 垂直，则|a|等于( ) A.5 3 2 B.3 5 2 C. 37 2 D. 21 2 答案 B 解析 因为 a(1
4、，n,2)，b(2,1,2)， 所以 2ab(4,2n1,2) 因为 2ab 与 b 垂直， 所以(2ab) b0， 所以82n140， 解得 n5 2，所以 a 1，5 2，2 ， 所以|a|1222 5 2 23 5 2 . 6.如图所示，在空间直角坐标系中，BC4，原点 O 是 BC 的中点，点 A 3 2 ，1 2，0 ，点 D 在平面 Oyz 内， 且BDC90 ，DCB30 ，则 AD 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 答案 D 解析 因为点 D 在平面 Oyz 内， 所以点 D 的横坐标为 0， 又 BC4，原点 O 是 BC 的中点，BDC90 ，DCB30
5、 ， 所以点 D 的竖坐标 z4 sin 30 sin 60 3， 纵坐标 y(24 sin 30 cos 60 )1， 所以 D(0，1， 3) 所以 AD|AD | 3 2 0 2 1 21 20 32 6. 7.如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为直角梯形， ABAD， BCAD， 且 ABBC2， AD3， PA 平面 ABCD 且 PA2，则 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为( ) A. 42 7 B. 3 3 C. 7 7 D. 6 3 答案 C 解析 依题意，以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， ABBC2，
6、AD3，PA2， 则 P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)， 从而PB (2,0，2)，PC(2,2，2)，PD (0,3，2)， 设平面 PCD 的法向量为 n(a，b，c)， 则 n PC 0， n PD 0， 即 2a2b2c0， 3b2c0， 不妨取 c3，则 a1，b2， 所以平面 PCD 的一个法向量为 n(1,2,3)， 所以 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 sin |cosPB ，n| 26 2222122232 7 7 . 8.已知四棱锥 PABCD，底面是边长为 2 的正方形，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，AB平面 P
7、AD，点 E 是线段 PD 上的动点(不含端点)，若线段 AB 上存在点 F(不含端点)，使得异面直线 PA 与 EF 成 30 的角，则线段 PE 长的取值范围是( ) A. 0， 2 2 B. 0， 6 3 C. 2 2 ， 2 D. 6 3 ， 2 答案 B 解析 由PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，AB平面 PAD，取 AD 中点 G，建立如图所示的空间 直角坐标系， 依题意 G(0,0,0)，A(1,0,0)，D(1，0,0)，B(1,2,0)，P(0,0,1)，设 F(1，y,0)， 设DE xDP x(1,0,1)(x,0，x)，0 x1，故 E(x1,0，x)，EF
8、(2x，y，x) 又PA (1,0，1)，异面直线 PA 与 EF 成 30 的角， 故|PA EF|PA| |EF|cos 30 ， 即 2 2 2x2y2x2 3 2 ， 即 y22(x1)22 3，0 x1， 故 y2 0，2 3 ， 又 0y2，故 y 0， 6 3 . 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错 的得 0 分) 9已知空间三点 A(1,0,3)，B(1,1,4)，C(2，1,3)若AP BC，且|AP| 14，则点 P 的坐标为( ) A(4，2,2) B(2,2,4) C(4,2，2) D(2
9、，2,4) 答案 AB 解析 设AP (3，2，) 又|AP | 14， 32222 14，解得 1， AP (3，2，1)或AP(3,2,1) 设点 P 的坐标为(x，y，z)，则AP (x1，y，z3)， x13， y2， z31 或 x13， y2， z31， 解得 x4， y2， z2 或 x2， y2， z4. 故点 P 的坐标为(4，2,2)或(2,2,4) 10如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 DD1，DB 的中点，则下列选项中正确 的是( ) AEF平面 ABC1D1 BEFB1C CEF 与 AD1所成角为 60 DEF 与平面 BB1
10、C1C 所成角的正弦值为 3 3 答案 ABD 解析 连接 BD1(图略)，EFBD1，得 EF平面 ABC1D1，故 A 正确； B1CBC1，又由 D1C1平面 BCC1B1，得 B1CD1C1，B1C平面 BD1C1.BD1平面 BD1C1， B1CBD1.又BD1EF，EFB1C，故 B 正确； EFBD1，EF 与 AD1所成角为AD1B，在AD1B 中，AD12 2，BD12 3，AB2，且AD1B 为 直角三角形，tanAD1B 2 2 2 2 2 ，而 tan 60 3，故 C 错误； EFBD1，又 D1C1平面 BB1C1C，D1BC1即为 EF 与平面 BB1C1C 所成
11、角，在 RtD1C1B 中，D1C1 2，D1B2 3.sinD1BC1 2 2 3 3 3 .故 D 正确 11.如图所示， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， 底面是以ABC 为直角的等腰直角三角形， AC2a， BB13a， D 是 A1C1的中点，点 E 在棱 AA1上，要使 CE平面 B1DE，则 AE 的值可能是( ) Aa B.3 2a C2a D.5 2a 答案 AC 解析 以 B 为坐标原点， BA，BC，BB1所在直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 D 2 2 a， 2 2 a，3a ，B1(0,0,3a)，C(0， 2a,0) 设点
12、E 的坐标为( 2a,0，z)(0z3a)， 则DE 2 2 a， 2 2 a，z3a ， CE ( 2a， 2a，z)，B 1E ( 2a,0，z3a) 由 CE平面 B1DE，得 CEDE，CEB1E， 故 CE DE 0， CE B 1E 0， 即 a2a2zz3a0， 2a2zz3a0， 解得 za 或 2a，即 AEa 或 2a. 12 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 翻折， 使平面 ABD 与平面 BCD 的夹角为 90 ， 以下四个结论正确的是( ) AACBD BACD 是等边三角形 C直线 AB 与平面 BCD 所成的角为 3 DAB 与 CD 所成的角为 3 答案 AB
13、D 解析 如图所示，以 BD 中点 O 为坐标原点，OD，OA，OC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直 角坐标系 Oxyz， 设正方形 ABCD 的边长为 2， 则 D(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)， 所以AC (0，1,1)，BD (2,0,0)，AC BD 0，故 ACBD，A 正确； 又|AC | 2，|CD | 2，|AD | 2，所以ACD 为等边三角形，B 正确； 对于 C，OA 为平面 BCD 的一个法向量， cosAB ，OA AB OA |AB |OA | 1，1，0 0，1，0 21 1 2 2 2 . 因为直线与平面
14、所成的角的范围是 0， 2 ， 所以 AB 与平面 BCD 所成的角为 4，故 C 错误； 又 cosAB ，CD AB CD |AB |CD | 1，1，0 1，0，1 2 2 1 2. 因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以 AB 与 CD 所成的角为 3，故 D 正确 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13已知 a(2,1,3)，b(1,2,1)，a 与 b 夹角的余弦值为_ 答案 21 6 解析 a(2,1,3)，b(1,2,1)， cosa，b a b |a|b| 223 14 6 21 6 . 14将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，
15、C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线 AD 与 BC 所成的角为_ 答案 3 解析 根据题意可知，当 VDABC最大时，平面 DAC平面 ABC， 设 AC 的中点为 O，连接 OB，OD 建立空间直角坐标系，如图所示， 令 OBOCOD1，则 O(0,0,0)，A(0，1,0)，D(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)， AD (0,1,1)，BC (1,1,0)， 因此 cosAD ，BC AD BC |AD | |BC | 1 2 2 1 2， 所以异面直线 AD 与 BC 所成的角为 3. 15如图所示，在直平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，BDDC，BDD
16、C1，点 E 在 AA1上，且 AE1 4AA1 1 2，则点 B 到平面 EDC1的距离为_ 答案 5 3 解析 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 D(0,0,0)，A(1，1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)， E 1，1，1 2 ， DC1 (0,1,2)，DE 1，1，1 2 . 设平面 EDC1的法向量为 n(x，y，z)， 则 DE nxy1 2z0， DC1 ny2z0， 令 z1，则 x5 2，y2， n 5 2，2，1 . 点 B 到平面 EDC1的距离 d|n DB | | |n 5 2 3 2 5 5 3 . 16.如图，正方形 ABCD，A
17、BEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD，ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CMBNa(0a 2)，则线段 MN 最短为_ 答案 2 2 解析 建立空间直角坐标系如图，则 A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1) 因为 CMBNa(0a 2)，且四边形 ABCD，ABEF 为正方形， 所以 M 2 2 a，0，1 2 2 a ，N 2 2 a， 2 2 a，0 ， 所以MN 0， 2 2 a， 2 2 a1 . 所以|MN |a2 2a1， 即 MN 的长为a2 2a1. 当 a 2 2 时，|MN |min 2 2 ，即 M，N 分别为
18、 AC，BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为 2 2 . 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知 a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求： (1)a，b，c； (2)ac 与 bc 夹角的余弦值 解 (1)因为 ab，所以 x 2 4 y 1 1， 解得 x2，y4，则 a(2,4,1)，b(2，4，1) 又 bc，所以 b c0，即68z0， 解得 z2，于是 c(3，2,2) (2)由(1)得 ac(5,2,3)，bc(1，6,1)， 设 ac 与 bc 的夹角为 ， 因为 cos 5123 38 38 2 19. 所以 ac
19、 与 bc 夹角的余弦值为 2 19. 18(12 分)如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，PC2，在四边形 ABCD 中，CDAB， ABCBCD90 ，AB4，CD1，点 M 在 PB 上，且 PB4PM，PBC30 ，求证：CM平面 PAD. 证明 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz， PBC30 ，PC2， BC2 3，PB4， D(1,0,0)，C(0,0,0)，A(4,2 3，0)，P(0,0,2)，PB4PM， PM1，M 0， 3 2 ，3 2 ， CM 0， 3 2 ，3 2 ，DP (1,0,2)，DA (3,2 3，0)， 设平面 PAD 的一个法
20、向量为 n(x，y，z)， 则 n DP 0， n DA 0， 即 x2z0， 3x2 3y0， 令 x1，解得 y 3 2 ，z1 2， 故 n 1， 3 2 ，1 2 ， 又CM n 0， 3 2 ，3 2 1， 3 2 ，1 2 0， CM n，又 CM平面 PAD，CM平面 PAD. 19.(12 分)如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD 4，M 为 CE 的中点 (1)求证：BM平面 ADEF； (2)求证：BC平面 BDE. 证明 平面 ADEF平面 ABCD，平面 ADEF平面 ABCDAD，ADED，ED平面 ADE
21、F， ED平面 ABCD. 以 D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 则 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2) (1)M 为 EC 的中点， M(0,2,1)， 则BM (2,0,1)，AD (2,0,0)，AF (0,0,2)， BM AD 1 2AF ，故BM ，AD ，AF 共面 又 BM平面 ADEF，BM平面 ADEF. (2)BC (2,2,0)，DB (2,2,0)，DE (0,0,2)， BC DB 440，BCDB. 又BC DE 0，BCDE
22、. 又 DEDBD，DE，DB平面 BDE， BC平面 BDE. 20(12 分)在三棱柱 ABCA1B1C1中，底面 ABC 为正三角形，且侧棱 AA1底面 ABC，且底面边长与侧棱 长都等于 2，O，O1分别为 AC，A1C1的中点，求平面 AB1O1与平面 BC1O 间的距离 解 如图，连接 OO1， 根据题意，OO1底面 ABC，则以 O 为原点，分别以 OB，OC，OO1所在的直线为 x，y，z 轴建立空间直角 坐标系 AO1OC1，OBO1B1，AO1O1B1O1，OC1OBO， 平面 AB1O1平面 BC1O. 平面 AB1O1与平面 BC1O 间的距离即为点 O1到平面 BC1
23、O 的距离 O(0,0,0)，B( 3，0,0)，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)， OB ( 3，0,0)，OC1 (0,1,2)，OO1 (0,0,2)， 设 n(x，y，z)为平面 BC1O 的法向量， 则 n OB 0， n OC1 0， 即 x0， y2z0， 可取 n(0,2，1) 点 O1到平面 BC1O 的距离记为 d， 则 d|n OO1 | |n| 2 5 2 5 5 . 平面 AB1O1与平面 BC1O 间的距离为2 5 5 . 21(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB 1，点 E 为棱 PC 的中
24、点 (1)求证：BEDC； (2)若 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC，求平面 FAB 与平面 ABP 夹角的余弦值 (1)证明 依题意， 以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)， 可得 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(2,2,0)， D(0,2,0)， P(0,0,2)由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1,1,1)，所以BE (0,1,1)，DC (2,0,0)，故BE DC 0，所以 BEDC. (2)解 BC (1,2,0)，CP(2，2,2)，AC(2,2,0)，AB(1,0,0) 由点 F 在棱 PC 上，设CF CP(01)， 故BF BCCFBCCP(
25、12，22，2) 由 BFAC，得BF AC0， 因此 2(12)2(22)0，解得 3 4， 即BF 1 2， 1 2， 3 2 . 设 n1(x，y，z)为平面 FAB 的法向量， 则 n1 AB 0， n1 BF 0 即 x0， 1 2x 1 2y 3 2z0. 不妨令 z1，可得 n1(0，3,1)为平面 FAB 的一个法向量 易知向量 n2(0,1,0)为平面 ABP 的一个法向量， 则 cosn1，n2 n1 n2 |n1| |n2| 3 101 3 10 10 . 所以平面 FAB 与平面 ABP 夹角的余弦值为3 10 10 . 22(12 分)在 RtABC 中，C90 ，A
26、C4，BC2，E 是 AC 的中点，F 是线段 AB 上一个动点，且AF AB (01)，如图所示，沿 BE 将CEB 翻折至DEB 的位置，使得平面 DEB平面 ABE. (1)当 1 3时，证明：BD平面 DEF； (2)是否存在 ， 使得 DF 与平面 ADE 所成角的正弦值是 2 3 ？若存在， 求出 的值； 若不存在， 请说明理由 (1)证明 在ABC 中，C90 ，即 ACBC，则 BDDE，取 BF 的中点 N，连接 CN 交 BE 于点 M， 当 1 3时，F 是 AN 的中点，而 E 是 AC 的中点， EF 是ANC 的中位线，EFCN. 在BEF 中，N 是 BF 的中点
27、，M 是 BE 的中点， 在 RtBCE 中，ECBC2， CMBE，则 EFBE. 又平面 DEB平面 ABE，平面 DEB平面 ABEBE，EF平面 ABE， EF平面 DEB. 又 BD平面 BDE， EFBD. 而 EFDEE，EF，DE平面 DEF， BD平面 DEF. (2)解 存在 1 2，使得 DF 与平面 ADE 所成角的正弦值是 2 3 . 以 C 为坐标原点，CA 所在直线为 x 轴，CB 所在直线为 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则 C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,2,0)，E(2,0,0) AB (4,2,0)，AE(2,0,0)， 取 BE 的中
28、点 G，连接 DG，则 DGBE，而平面 DEB平面 ABC， DG平面 ABC，则 D(1,1， 2)， 则AD (3,1， 2) 由AF AB，可得 F(44，2，0)， 则DF (34，21， 2) 设平面 ADE 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n AE 0， n AD 0， 即 2x0， 3xy 2z0. 令 z1，则 x0，y 2，所以 n(0， 2，1) 设 DF 与平面 ADE 所成的角为 ，则 sin |cosDF ，n|DF n| |DF |n| | 221 2| 3 342212 22 2 3 ， 解得 1 2或 3(舍去) 综上，存在 1 2，使得 DF 与平面 ADE 所成的角的正弦值为 2 3 .
