1、第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.与向量 a(1，2，3)平行的一个向量的坐标是( ) A. 2 3， 4 3，2 B. 2 3， 4 3，2 C.(2，4，4) D.(1，2，4) 答案 B 解析 a3 2 2 3， 4 3，2 ，故选 B. 2.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 的对角线交于点 O，且OA a， OB b，则B1C1 等 于( ) A.ab B.ab C.1 2ab D.2
2、(ab) 答案 A 解析 B1C1 BC BO OC BO OA OA OB ab. 3.已知直线 l 过点 P(1，0，1)，平行于向量 a(2，1，1)，平面 过直线 l 与点 M(1，2，3)， 则平面 的法向量不可能是( ) A.(1，4，2) B. 1 4，1， 1 2 C. 1 4，1， 1 2 D.(0，1，1) 答案 D 解析 因为PM (0， 2， 4)， 直线 l 平行于向量 a， 若 m 是平面 的法向量， 则必须满足 m a0， m PM 0. 把选项代入验证，只有选项 D 不满足，故选 D. 4.已知 a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(1，3，)，若 a，b，c
3、 三向量共面，则实数 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A 解析 若向量 a，b，c 共面，则 cxayb，其中 x，yR， 即(1，3，)(2x，x，3x)(y，4y，2y)(2xy，x4y，3x2y)， 2xy1， x4y3， 3x2y， 解得 x1，y1，1.故选 A. 5.若向量 a(1，2)，b(2，1，2)，且 a 与 b 的夹角的余弦值为8 9，则 ( ) A.2 B.2 C.2 或 2 55 D.2 或 2 55 答案 C 解析 由题意，得 cosa，b a b |a| |b| 24 52 9 8 9，解得 2 或 2 55. 6.如图所示，在空间直角坐标系中，
4、BC4，原点 O 是 BC 的中点，点 A 3 2 ，1 2，0 ，点 D 在 平面 yOz 内，且BDC90 ，DCB30 ，则 AD 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 答案 D 解析 因为点 D 在平面 yOz 内，所以点 D 的横坐标为 0，又 BC4，原点 O 是 BC 的中点， BDC90 ， DCB30 ， 所以点 D 的竖坐标 z4 sin 30 sin 60 3， 纵坐标 y(24 sin 30 cos 60 )1，所以 D(0，1， 3).所以 AD 3 2 0 2 1 21 2 （0 3）2 6. 故选 D. 7.在四棱锥 PABCD 中，AB (4，2
5、，3)，AD (4，1，0)，AP (6，2，8)，则这个 四棱锥的高 h 等于( ) A.1 B.2 C.13 D.26 答案 B 解析 设平面 ABCD 的法向量为 n(x， y， z)， 则 n AB0， n AD 0， 即 4x2y3z0， 4xy0. 不妨令 x3， 则 y12，z4，可得 n(3，12，4)，所以四棱锥的高 h|AP n| |n| 26 132. 8.在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABCD 是矩形，且 AB3，AD4，PA4 3 5 ，则 平面 ABD 与平面 PBD 的夹角为( ) A.30 B.45 C.60 D.75 答案 A 解析 如图所示，
6、建立空间直角坐标系，则PB 3，0，4 3 5 ， BD (3，4，0). 设 n(x，y，z)为平面 PBD 的法向量， 则 n PB0， n BD 0， 即 （x，y，z） 3，0，4 3 5 0， （x，y，z） （3，4，0）0. 3x4 3 5 z0， 3x4y0. 令 x1， 则 n 1，3 4， 5 3 4 . 又 n1 0，0，4 3 5 为平面 ABD 的一个法向量， cosn1，n n1 n |n1|n| 3 2 . 平面 ABD 与平面 PBD 的夹角为 30 . 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要
7、求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) 9.棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列结论正确的是( ) A.AB C 1D1 B.AB BC0 C.AA1 B1D1 0 D.AC1 A1C 0 答案 ABC 解析 如图，AB D 1C1 ，即AB C 1D1 ，AB BC，AA 1 B1D1 ，故 A，B，C 选项均正确. 10.如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是以ABC 为直角的等腰直角三角形，AC 2a，BB13a，D 是 A1C1的中点，点 E 在棱 AA1上，要使 CE平面 B1DE，则 AE 的值可能是 ( ) A.a B.
8、3 2a C.2a D.5 2a 答案 AC 解析 以 B 为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建 立如图所示的空间直角坐标系，则 D 2 2 a， 2 2 a，3a ，B1(0，0，3a)，C(0， 2 a，0).设点 E 的坐标为( 2a，0，z)(0z3a)，则DE 2 2 a， 2 2 a，z3a ， CE ( 2a， 2a，z)，B 1E ( 2a，0，z3a). 由 CE平面 B1DE，得 CEDE， CEB1E，故 CE DE0， CE B 1E 0， 即 a 2a2z（z3a）0， 2a2z（z3a）0， 解得 za 或 2a，即 AEa 或
9、2a. 11.如图所示， 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， 线段 B1D1上有两个动点 E， F 且 EF 2 2 ， 则下列结论中正确的是( ) A.ACBE B.EF平面 ABCD C.三棱锥 ABEF 的体积为定值 D.异面直线 AE，BF 所成的角为定值 答案 ABC 解析 因为 AC平面 BB1D1D，又 BE平面 BB1D1D，所以 ACBE，故 A 正确；因为 B1D1 平面 ABCD，又 E，F 在直线 D1B1上运动，所以 EF平面 ABCD，故 B 正确；C 中由于点 B 到直线 EF(即 B1D1)的距离不变，故BEF 的面积为定值，又点 A 到平面 BEF
10、(即平面 BB1D1D) 的距离为 2 2 ，故 VABEF为定值，故 C 正确； 当点 E 在 D1处，点 F 为 D1B1的中点时，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得 A(1，1，0)，B(0，1，0)，E(1，0，1)， F 1 2， 1 2，1 ， 所以AE (0，1，1)，BF 1 2， 1 2，1 ， 所以AE BF3 2. 又|AE | 2，|BF| 6 2 ， 所以 cosAE ，BFAE BF |AE |BF| 3 2 2 6 2 3 2 . 所以此时异面直线 AE 与 BF 成 30 角. 当点 E 为 D1B1的中点，点 F 在 B1处时， 此时 E 1 2， 1 2，
11、1 ，F(0，1，1). 所以AE 1 2， 1 2，1 ，BF (0，0，1)， 所以AE BF1，|AE| 1 2 2 1 2 2 12 6 2 ，|BF |1， 所以 cosAE ，BFAE BF |AE |BF| 1 6 2 1 3 2 ，故 D 错误. 12.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 翻折，使平面 ABD 与平面 BCD 的夹角为 90 ，如下四个结论 正确的是( ) A.ACBD B.ACD 是等边三角形 C.直线 AB 与平面 BCD 所成的角为 3 D.AB 与 CD 所成的角为 3 答案 ABD 解析 如图所示，以 BD 中点 O 为坐标原点，OD，OA，OC 所在
12、直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz， 设正方形 ABCD 的边长为 2，则 D(1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，0，1)， A(0，1，0)， 所以AC (0，1，1)，BD (2，0，0)，AC BD 0， 故 ACBD，A 正确； 又|AC | 2，|CD | 2，|AD | 2， 所以ACD 为等边三角形，B 正确； 对于，OA 为平面 BCD 的一个法向量， cosAB ，OA AB OA |AB |OA | （1，1，0） （0，1，0） 21 1 2 2 2 . 因为直线与平面所成的角的范围是 0， 2 ， 所以 AB 与平面 BCD 所成的角
13、为 4，故 C 错误； 又 cosAB ，CD AB CD |AB |CD | （1，1，0） （1，0，1） 2 2 1 2. 因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以 AB 与 CD 所成的角为 3，故 D 正确. 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.已知 a(2，1，3)，b(1，2，1)，a 与 b 夹角的余弦值为_；若 a(ab)， 则 _(本题第一空 2 分，第二空 3 分). 答案 21 6 2 解析 a(2，1，3)，b(1，2，1)，cosa，b a b |a|b| 223 14 6 21 6 ；由题意 a (a b)0，即 a2a b0，又 a
14、214，a b7，1470，2. 14.已知点 A(1，1，1)，平面 经过原点 O，且垂直于向量 n(1，1，1)，则点 A 到平 面 的距离为_. 答案 3 解析 OA (1， 1， 1)， n(1， 1， 1)， 点 A 到平面 的距离为 d|OA n| |n| |111| 3 3. 15.已知平面 的一个法向量为 n(1，1，0)，则 y 轴与平面 所成的角的大小为_. 答案 4 解析 y 轴的一个方向向量为 s(0，1，0)，cosn，s n s |n|s| 2 2 ，即 y 轴与平面 所成 角的正弦值是 2 2 ，故其所成的角的大小是 4. 16.如图所示，已知正四面体 ABCD
15、中，AE1 4AB，CF 1 4CD，则直线 DE 和 BF 所成角的余弦 值为_. 答案 4 13 解析 设正四面体棱长为 4， 又ED EA AD 1 4BA AD ，BF BC CF BC 1 4CD ，ABCD，ADBC， 所以 cosED ，BF ED BF |ED |BF | 1 4BA AD BC 1 4CD 1 4BA AD 2 BC 1 4CD 2 2002 13 13 4 13， 故直线 DE 和 BF 所成角的余弦值为 4 13. 四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)如图所示，在四棱锥 MABCD 中，底
16、面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 AM 的 长为 3，且 AM 和 AB，AD 的夹角都是 60 ，N 是 CM 的中点，设 aAB ，bAD ，cAM ，试 以 a，b，c 为基向量表示出向量BN ，并求 BN 的长. 解 BN BCCN AD 1 2CM AD 1 2(AM AC ) AD 1 2AM (AD AB ) 1 2AB 1 2AD 1 2AM . 所以BN 1 2a 1 2b 1 2c. 又|a|b|2，|c|3，a b0，a c23 cos 60 3，b c23 cos 60 3， 所以|BN |2BN2 1 2a 1 2b 1 2c 2 1 4(a 2b2c22a
17、 b2a c2b c)17 4 . 所以|BN | 17 2 ，即 BN 的长为 17 2 . 18.(12 分)已知空间内三点 A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5). (1)求以向量AB ，AC为一组邻边的平行四边形的面积 S； (2)若向量 a 与向量AB ，AC都垂直，且|a| 3，求向量 a 的坐标. 解 (1)AB (2，1，3)，AC(1，3，2)， cosBAC AB AC |AB |AC| 7 14 14 1 2， 又BAC0，BAC 3， 平行四边形的面积 S|AB |AC|sin 37 3. (2)设 a(x，y，z)，由 aAB ，得2xy3z0， 由 a
18、AC ，得 x3y2z0， 由|a| 3，得 x2y2z23， xyz1 或 xyz1. a(1，1，1)或 a(1，1，1). 19.(12 分)如图，在四面体 ABCD 中，AD平面 BCD，BCCD，AD2，BD2 2，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ3QC.证明：PQ平面 BCD. 证明 如图，取 BD 的中点 O，以 O 为原点，平面 BCD 内过 O 与 BD 垂直 的直线为 x 轴，OD，OP 所在射线为 y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标 系 Oxyz. 由题意知，A(0， 2，2)，B(0， 2，0)，D(0， 2，0). 设点
19、 C 的坐标为(x0，y0，0). 因为AQ 3QC ，所以 Q 3 4x0， 2 4 3 4y0， 1 2 . 因为 M 为 AD 的中点，故 M(0， 2，1). 又 P 为 BM 的中点，故 P 0，0，1 2 ， 所以PQ 3 4x0， 2 4 3 4y0，0 . 又平面 BCD 的一个法向量为 a(0，0，1)， 故PQ a0. 又 PQ平面 BCD，所以 PQ平面 BCD. 20.(12 分)如图，在边长为 4 的正三角形 ABC 中，E，F 分别为 BC 和 AC 的中点，PA2，且 PA平面 ABC，设 Q 是 CE 的中点. (1)求证：AE平面 PFQ； (2)求 AE 与
20、平面 PFQ 间的距离. (1)证明 如图所示，以 A 为坐标原点，平面 ABC 内垂直于 AC 边的直线为 x 轴，AC 所在直线 为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系. AP2，ABBCAC4，又 E，F 分别是 BC，AC 的中点， A(0，0，0)，B(2 3，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E( 3，3，0)，Q 3 2 ，7 2，0 ，P(0， 0，2). FQ 3 2 ，3 2，0 ，AE ( 3，3，0)，AE2FQ . AE 与 FQ 无交点，AEFQ. 又 FQ平面 PFQ，AE平面 PFQ，AE平面 PFQ. (2)解 由(1)知，AE平面
21、 PFQ， 点 A 到平面 PFQ 的距离就是 AE 与平面 PFQ 间的距离. 设平面 PFQ 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nPF， nFQ ， n PF0， n FQ 0. 又PF (0，2，2)，FQ 3 2 ，3 2，0 ， 2y2z0， 3 2 x3 2y0， x 3y， zy， 令 y1，则 x 3，z1， 平面 PFQ 的一个法向量为 n( 3，1，1). 又QA 3 2 ，7 2，0 ， 所求距离 d|QA n| |n| 2 5 5 . 21.(12 分)如图， 在多面体 ABCA1B1C1中， A1A， B1B， C1C 均垂直于平面 ABC， ABC120 ， A1
22、A4，C1C1，ABBCB1B2. (1)证明：AB1平面 A1B1C1； (2)求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值. (1)证明 如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间 直角坐标系 Oxyz. 由题意知各点坐标如下： A(0， 3，0)，B(1，0，0)，A1(0， 3，4)，B1(1，0，2)，C1(0， 3，1). 因此AB1 (1， 3，2)，A1B1 (1， 3，2)，A1C1 (0，2 3，3). 由AB1 A1B1 0 得 AB1A1B1. 由AB1 A1C1 0 得 AB1A1C1， 又 A1B1A1C1A1，A
23、1B1，A1C1平面 A1B1C1， 所以 AB1平面 A1B1C1. (2)解 设直线 AC1与平面 ABB1所成的角为 . 由(1)可知AC1 (0，2 3，1)，AB (1， 3，0)，BB 1 (0，0，2).设平面 ABB1的法向量为 n (x，y，z). 由 n AB0， n BB1 0， 得 x 3y0， 2z0， 令 y1，则 x 3，z0， 可得平面 ABB1的一个法向量 n( 3，1，0). 所以 sin |cosAC1 ，n| |AC1 n| |AC1 | |n| 39 13 . 因此直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值是 39 13 . 22.(12 分)如图，
24、在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E 为 CD 的中点. (1)求证：B1EAD1； (2)在棱 AA1上是否存在一点 P，使得 DP平面 B1AE？若存在，求 AP 的长；若不存在，说明 理由； (3)若平面 AB1E 与平面 A1B1E 夹角的大小为 30 ，求 AB 的长. (1)证明 以 A 为原点，AB ，AD ，AA1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐 标系(如图). 设 ABa，则 A(0，0，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，E a 2，1，0 ，B1(a，0，1). 故AD1 (0，1，1)，B1E a 2，1，1 ，AB
25、1 (a，0，1)，AE a 2，1，0 . AD1 B1E a 2 011(1)10， B1EAD1. (2)解 假设在棱 AA1上存在一点 P(0，0，z0)(0z01)，使得 DP平面 B1AE，此时DP (0， 1，z0). 设平面 B1AE 的法向量为 n(x，y，z). 则 nAB1 ，nAE ， 得 axz0， ax 2 y0. 取 x1，得平面 B1AE 的一个法向量 n 1，a 2，a . 要使 DP平面 B1AE，只要 nDP ，即 n DP 0，a 2az00，解得 z0 1 2. 又 DP平面 B1AE， 存在点 P，使得 DP平面 B1AE，此时 AP1 2. (3)
26、连接 A1D，B1C，由 ABCDA1B1C1D1为长方体及 AA1AD1，得 AD1A1D. B1CA1D， AD1B1C， 又由(1)知 B1EAD1， 且 B1CB1EB1， B1C， B1E平面 DCB1A1， AD1平面 DCB1A1，AD1 是平面 DCB1A1即平面 A1B1E 的一个法向量，且AD1 (0，1，1). 设AD1 与 n 所成的角为 ，则 cos n AD 1 |n| |AD1 | a 2a 21a 2 4 a2 . 平面 AB1E 与平面 A1B1E 夹角的大小为 30 ， |cos |cos 30 ， 即 3a 2 215a 2 4 3 2 . 解得 a2，即 AB 的长为 2.
