1、第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 章末复习提升章末复习提升 要点一 集合的基本概念 与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合 是否满足元素的互异性. 【例 1】 (1)设集合 A1，2，4，集合 Bx|xab，aA，bA，则集 合 B 中元素的个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 (2)已知集合 A0，1，2，则集合 Bxy|xA，yA中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.9 答案 (1)C (2)C 解
2、析 (1)aA，bA，xab，所以 x2，3，4，5，6，8，B 中有 6 个 元素，故选 C. (2)当 x0，y0 时，xy0； 当 x0，y1 时，xy1； 当 x0，y2 时，xy2； 当 x1，y0 时，xy1； 当 x1，y1 时，xy0； 当 x1，y2 时，xy1； 当 x2，y0 时，xy2； 当 x2，y1 时，xy1； 当 x2，y2 时，xy0. 根据集合中元素的互异性知，B 中元素有 0，1，2，1，2，共 5 个. 【训练 1】 (1)设集合 Ax|x23x20，则满足 AB0，1，2的集合 B 的个数是( ) A.1 B.3 C.4 D.6 (2)已知集合 M1，
3、m2，m24，且 5M，则 m 的值为_. 答案 (1)C (2)3 或 1 解析 (1)易知 A1，2，又 AB0，1，2，所以集合 B 可以是：0，0， 1，0，2，0，1，2. (2)当 m25 时，m3，M1，5，13，符合题意； 当 m245 时，m1 或 m1.若 m1，M1，3，5，符合题意； 若 m1，则 m21，不满足元素的互异性，故 m3 或 1. 要点二 集合间的关系 集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素 特征入手，并注意代表元素. 【例 2】 (1)已知集合 Ax|x23x20，xR，Bx|0 x5，xN，则 满足条件 ACB 的集合
4、C 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)设 A1，4，2x，若 B1，x2，若 BA，则 x_. (3)已知集合 Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若 BA，则实数 m 的 取值范围是_. 答案 (1)D (2)0 或2 (3)m|m4 解析 (1)由 x23x20 得 x1 或 x2，A1，2. 由题意知 B1，2，3，4，满足条件的 C 可为1，2，1，2，3，1，2， 4，1，2，3，4. (2)由 BA，则 x24 或 x22x.当 x24 时，x 2，但 x2 时，2x4，这与集 合元素的互异性相矛盾；当 x22x 时，x0 或 x2，但 x2 时，2x4，这与 集
5、合元素的互异性相矛盾. 综上所述，x2 或 x0. (3)当 B时，有 m12m1，则 m2. 当 B时，若 BA，如图. 则 m12， 2m17， m12m1， 解得 2m4. 综上，m 的取值范围为 m4. 【训练 2】 已知集合 A2， 3， Bx|mx60， 若 BA， 则实数 m 等于( ) A.3 B.2 C.2 或 3 D.0 或 2 或 3 答案 D 解析 当 m0 时， 方程 mx60 无解， B， 满足 BA； 当 m0 时， B 6 m ， 因为 BA，所以 6 m2 或 6 m3，解得 m3 或 m2. 要点三 集合的运算 集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运
6、算，在运算过程中往往由于 运算能力差或考虑不全面而出现错误， 不等式解集之间的包含关系通常用数轴法， 而用列举法表示的集合运算常用 Venn 图法， 运算时特别注意对的讨论， 不要遗 漏. 【例 3】 已知集合 Ax|2x7，Bx|3x10，Cx|xa. (1)求 AB，(RA)B； (2)若 AC，求 a 的取值范围. 解 (1)因为 Ax|2x7，Bx|3x10， 所以 ABx|2x10. 因为 Ax|2x7， 所以R Ax|x2 或 x7， 则(R A)Bx|7x10. (2)因为 Ax|2x7，Cx|x2， 所以 a 的取值范围是a|a2. 【训练 3】 设集合 Ax|1x2，Bx|1
7、x4，Cx|3x2且集 合 A(BC)x|axb，则 a_，b_. 答案 1 2 解析 BCx|3x4， A(BC)，A(BC)A. 由题意x|axbx|1x2， a1，b2. 要点四 充分条件与必要条件 充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着 较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条 件、充要条件的判断. 【例 4】 设命题 p： 实数 x 满足 ax0， 命题 q： 实数 x 满足 2x3. (1)若 a1，且 p，q 均为真命题，求实数 x 的取值范围； (2)若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围. 解
8、 (1)由 ax3a， 当 a1 时，1x3， 即 p 为真命题时，实数 x 的取值范围是 1x3. 又 q 为真命题时，实数 x 的取值范围是 2x3， 所以，当 p，q 均为真命题时， 有 1x3， 2x3，解得 2x3， 所以实数 x 的取值范围是x|2x3， 则 AB. 所以 03，即 1a2. 所以实数 a 的取值范围是a|1a2. 【训练 4】 (1)若 p：x2x60 是 q：ax10 的必要不充分条件，则实数 a 的值为_. (2)若ax1 成立的一个充分不必要条件是2x2 解析 (1)p：x2x60，即 x2 或 x3. q：ax10，当 a0 时，方程无解；当 a0 时，x
9、1 a. 由题意知 p/ q，qp，故 a0 舍去； 当 a0 时，应有1 a2 或 1 a3，解得 a 1 2或 a 1 3. 综上可知，a1 2或 a 1 3. (2)根据充分条件、 必要条件与集合间的包含关系， 应有x|2x1x|ax2. 要点五 全称量词命题与存在量词命题 (1)已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决 此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路. (2)解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函 数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围 的限制. 【例 5】 若对xx|2x4，恒有 1ax3a1 成立，求实数 a 的取值范 围. 解 设集合 Ax|2x4，Bx|1ax3a1，由题意知，AB，则有 1a2， 3a14， 1a3a1， 解得 a3. 故实数 a 的取值范围为a|a3. 【训练 5】 已知关于 x 的一元二次方程 x2(2a1)xa220 的解集非空， 求实数 a 的取值范围. 解 关于 x 的一元二次方程 x2(2a1)xa220 的解集非空，(2a1)2 4(a22)0，即 4a70， 解得 a7 4，实数 a 的取值范围为 a|a7 4 .
