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第一章 集合与常用逻辑用语 章末复习提升 学案(含答案)

1、第一章第一章 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语 章末复习提升章末复习提升 要点一 集合的基本概念 与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合 是否满足元素的互异性. 【例 1】 (1)设集合 A1,2,4,集合 Bx|xab,aA,bA,则集 合 B 中元素的个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 (2)已知集合 A0,1,2,则集合 Bxy|xA,yA中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.9 答案 (1)C (2)C 解

2、析 (1)aA,bA,xab,所以 x2,3,4,5,6,8,B 中有 6 个 元素,故选 C. (2)当 x0,y0 时,xy0; 当 x0,y1 时,xy1; 当 x0,y2 时,xy2; 当 x1,y0 时,xy1; 当 x1,y1 时,xy0; 当 x1,y2 时,xy1; 当 x2,y0 时,xy2; 当 x2,y1 时,xy1; 当 x2,y2 时,xy0. 根据集合中元素的互异性知,B 中元素有 0,1,2,1,2,共 5 个. 【训练 1】 (1)设集合 Ax|x23x20,则满足 AB0,1,2的集合 B 的个数是( ) A.1 B.3 C.4 D.6 (2)已知集合 M1,

3、m2,m24,且 5M,则 m 的值为_. 答案 (1)C (2)3 或 1 解析 (1)易知 A1,2,又 AB0,1,2,所以集合 B 可以是:0,0, 1,0,2,0,1,2. (2)当 m25 时,m3,M1,5,13,符合题意; 当 m245 时,m1 或 m1.若 m1,M1,3,5,符合题意; 若 m1,则 m21,不满足元素的互异性,故 m3 或 1. 要点二 集合间的关系 集合与集合之间的关系是包含和相等的关系,判断两集合之间的关系,可从元素 特征入手,并注意代表元素. 【例 2】 (1)已知集合 Ax|x23x20,xR,Bx|0 x5,xN,则 满足条件 ACB 的集合

4、C 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)设 A1,4,2x,若 B1,x2,若 BA,则 x_. (3)已知集合 Ax|2x7,Bx|m1x2m1,若 BA,则实数 m 的 取值范围是_. 答案 (1)D (2)0 或2 (3)m|m4 解析 (1)由 x23x20 得 x1 或 x2,A1,2. 由题意知 B1,2,3,4,满足条件的 C 可为1,2,1,2,3,1,2, 4,1,2,3,4. (2)由 BA,则 x24 或 x22x.当 x24 时,x 2,但 x2 时,2x4,这与集 合元素的互异性相矛盾;当 x22x 时,x0 或 x2,但 x2 时,2x4,这与 集

5、合元素的互异性相矛盾. 综上所述,x2 或 x0. (3)当 B时,有 m12m1,则 m2. 当 B时,若 BA,如图. 则 m12, 2m17, m12m1, 解得 2m4. 综上,m 的取值范围为 m4. 【训练 2】 已知集合 A2, 3, Bx|mx60, 若 BA, 则实数 m 等于( ) A.3 B.2 C.2 或 3 D.0 或 2 或 3 答案 D 解析 当 m0 时, 方程 mx60 无解, B, 满足 BA; 当 m0 时, B 6 m , 因为 BA,所以 6 m2 或 6 m3,解得 m3 或 m2. 要点三 集合的运算 集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运

6、算,在运算过程中往往由于 运算能力差或考虑不全面而出现错误, 不等式解集之间的包含关系通常用数轴法, 而用列举法表示的集合运算常用 Venn 图法, 运算时特别注意对的讨论, 不要遗 漏. 【例 3】 已知集合 Ax|2x7,Bx|3x10,Cx|xa. (1)求 AB,(RA)B; (2)若 AC,求 a 的取值范围. 解 (1)因为 Ax|2x7,Bx|3x10, 所以 ABx|2x10. 因为 Ax|2x7, 所以R Ax|x2 或 x7, 则(R A)Bx|7x10. (2)因为 Ax|2x7,Cx|x2, 所以 a 的取值范围是a|a2. 【训练 3】 设集合 Ax|1x2,Bx|1

7、x4,Cx|3x2且集 合 A(BC)x|axb,则 a_,b_. 答案 1 2 解析 BCx|3x4, A(BC),A(BC)A. 由题意x|axbx|1x2, a1,b2. 要点四 充分条件与必要条件 充要条件是数学的重要概念之一,在数学中有着非常广泛的应用,在高考中有着 较高的考查频率,其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条 件、充要条件的判断. 【例 4】 设命题 p: 实数 x 满足 ax0, 命题 q: 实数 x 满足 2x3. (1)若 a1,且 p,q 均为真命题,求实数 x 的取值范围; (2)若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解

8、 (1)由 ax3a, 当 a1 时,1x3, 即 p 为真命题时,实数 x 的取值范围是 1x3. 又 q 为真命题时,实数 x 的取值范围是 2x3, 所以,当 p,q 均为真命题时, 有 1x3, 2x3,解得 2x3, 所以实数 x 的取值范围是x|2x3, 则 AB. 所以 03,即 1a2. 所以实数 a 的取值范围是a|1a2. 【训练 4】 (1)若 p:x2x60 是 q:ax10 的必要不充分条件,则实数 a 的值为_. (2)若ax1 成立的一个充分不必要条件是2x2 解析 (1)p:x2x60,即 x2 或 x3. q:ax10,当 a0 时,方程无解;当 a0 时,x

9、1 a. 由题意知 p/ q,qp,故 a0 舍去; 当 a0 时,应有1 a2 或 1 a3,解得 a 1 2或 a 1 3. 综上可知,a1 2或 a 1 3. (2)根据充分条件、 必要条件与集合间的包含关系, 应有x|2x1x|ax2. 要点五 全称量词命题与存在量词命题 (1)已知含量词的命题真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决 此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路. (2)解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用函 数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围 的限制. 【例 5】 若对xx|2x4,恒有 1ax3a1 成立,求实数 a 的取值范 围. 解 设集合 Ax|2x4,Bx|1ax3a1,由题意知,AB,则有 1a2, 3a14, 1a3a1, 解得 a3. 故实数 a 的取值范围为a|a3. 【训练 5】 已知关于 x 的一元二次方程 x2(2a1)xa220 的解集非空, 求实数 a 的取值范围. 解 关于 x 的一元二次方程 x2(2a1)xa220 的解集非空,(2a1)2 4(a22)0,即 4a70, 解得 a7 4,实数 a 的取值范围为 a|a7 4 .