1、第五章第五章 三角函数三角函数 章末复习提升章末复习提升 要点一 任意角三角函数的定义 利用定义求三角函数值的两种方法： (1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义， 求出相应的三角函数值. (2)取角 的终边上任意一点 P(a，b)(原点除外)，则对应的角 的正弦值 sin b a2b2，余弦值 cos a a2b2，正切值 tan b a.当角 的终边上点的坐标以 参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 【例 1】 已知角的终边经过点 P(3m9，m2). (1)若 m2，求 5sin 3tan 的值； (2)若 cos 0，且 sin 0，
2、求实数 m 的取值范围. 解 (1)若 m2，则 P(3，4)， 所以 x3，y4，r5， 所以 sin 4 5，cos 3 5，tan 4 3， 故 5sin 3tan 54 53 4 3 440. (2)由题意知，cos x r0，sin y r0， 即 x0，y0，所以 3m90， m20， 所以20，m 21 4，m 1 2.故选 B. 要点二 同角三角函数基本关系式的应用 同角三角函数基本关系式的应用方法 (1)利用 sin2cos21 可以实现 的正弦、余弦的转化，利用sin cos tan 可以 实现角 弦切互化. (2)关系式的逆用与变形应用： 1sin2cos2， sin21
3、cos2， cos21sin2， (sin cos )2(sin cos )24sin cos . (3)sin ，cos 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 sin ，cos 的齐次式 或含有 sin2， cos2 及 sin cos 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”， 利用“sin2cos21”代换后转化为“切”求解. 【例 2】 (1)已知 tan 1 2， 0， 2 ，则 sin cos _. 答案 5 5 解析 因为 tan 1 2 sin cos ， 由 sin cos 1 2， sin2cos21 解得 sin 5 5 ， cos 2 5 5 ， 所以 sin co
4、s 5 5 2 5 5 5 5 . (2)已知 是三角形的内角，且 sin cos 1 5. 求 tan 的值； 把 1 cos2sin2用 tan 表示出来，并求其值. 解 由 sin cos 1 5， 得 12sin cos 1 25， 所以 sin cos 12 25， 因为 是三角形的内角，所以 sin 0，cos 0， sin cos （sin cos ）2 （sin cos ）24sin cos 1 5 2 48 25 7 5， 故得 sin 4 5，cos 3 5，tan 4 3. 1 cos2sin2 cos2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2， 又 tan 4
5、 3， 所以 1 cos2sin2 1 4 3 2 1 4 3 2 25 7 . 【训练 2】 若 tan 4 3，求下列各式的值. (1) sin 4cos 5sin 2cos ；(2)sin 22sin cos . 解 (1)原式 tan 4 5tan 2 4 34 5 4 3 2 8 7. (2)原式sin 22sin cos cos2sin2 tan 22tan 1tan2 4 3 2 2 4 3 1 4 3 2 8 25. 要点三 诱导公式的应用 用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值， 关键在于根据给出角的特点， 将角化成 2k， ， 2 ， 3 2(或 k 2
6、，kZ)的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限” 来化简. (2)解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分 析条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应 注意整体思想的应用. 【例 3】 已知 2，cos(7)3 5，求 sin(3) tan 7 2 的值. 解 cos(7)cos(7) cos()cos 3 5， cos 3 5.sin(3) tan 7 2 sin() tan 7 2 sin tan 2 sin sin 2 cos 2 sin cos sin cos 3 5. 【训练 3】 已知 sin 是方程 2x2x10 的根， 是第三
7、象限角，则 sin 3 2 cos 3 2 cos 2 sin 2 tan2()_. 答案 1 3 解析 方程 2x2x10 的根为1 2或 1， 又 是第三象限角，sin 1 2， cos 1sin2 3 2 ， tan sin cos 3 3 ， 原式cos （sin ） sin cos tan2tan21 3. 要点四 三角函数式的化简 1.三角函数式化简的常用方法 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化； (2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式 后进行约分； (3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用； (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等； (
8、5)利用“1”的恒等变形，如 tan 45 1，sin2cos21 等. 2.三角函数式化简的主要技巧 (1)角的变换异角化同角； (2)名的变换异名化同名； (3)式的变换幂的升降等； (4)常值代换代换三角函数式或值. 【例 4】 化简： cos 3 2 tan 2（1cos ） 1cos (0). 解 tan 2 sin 1cos ， tan 2(1cos )sin . 又cos 3 2 sin ，且 1cos 2sin2 2. 原式sin sin 2sin2 2 2sin 2 sin 2 2 2sin 2cos 2 sin 2 . 0，0 20， 原式2 2cos 2. 【训练 4】
9、化简： 2cos4x2cos2x1 2 2tan 4x sin 2 4x . 解 原式 2sin2xcos2x1 2 2sin 4x cos 2 4x cos 4 x 1 2（1sin 22x） 2sin 4x cos 4x 1 2cos 22x sin 22x 1 2cos 2x. 要点五 三角函数求值 三角函数求值的三种情况 (1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔 细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合 公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解. (2)“给值求值”： 给出某些角的三角函数式的值， 求另外一些角的三角
10、函数值， 解题关键在于“变角”，一般用已知角表示所求角. (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再根据 角的范围，确定角. 【例 5】 (1) sin 110 sin 20 cos2155 sin2155 的值为( ) A.1 2 B.1 2 C. 3 2 D. 3 2 (2)已知 tan 4 1 2，且 20，则 2sin2sin 2 cos 4 ( ) A.2 5 5 B.3 5 10 C.3 10 10 D.2 5 5 答案 (1)B (2)A 解析 (1)原式sin 70 sin 20 cos 310 cos 20 sin 20 cos 50 1 2sin
11、40 sin 40 1 2. (2)因为 tan 4 tan 1 1tan 1 2， 所以 tan 1 3， 因为 20，所以 sin 10 10 ， 则2sin 2sin 2 cos 4 2sin （sin cos ） 2 2 （cos sin ） 2 2sin 2 5 5 . 【训练 5】 已知 sin 4 5 13，0 4，求 cos 2 cos 4 的值. 解 cos 4 sin 4 5 13，0 4， 4 40)的最小正周期为 . (1)求 的值； (2)求 f(x)的单调递增区间. 解 (1)f(x)2sin xcos xcos 2x sin 2xcos 2x 2sin 2x 4
12、. 又 f(x)的最小正周期为 ，0， T2 2，1. (2)由(1)得 f(x) 2sin 2x 4 ， 由 2k 22x 42k 2，kZ 得 k3 8 xk 8，kZ， f(x)的单调递增区间为 k3 8 ，k 8 (kZ). 要点七 三角函数的图象 1.用“五点法”作函数 yAsin(x)图象的步骤： 第一步：列表，由 x0， 2， 3 2 ，2 先求出 x，再由 x 的值求出 y 的值. x 2 3 2 2 x 0 2 3 2 2 y 0 A 0 A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线连接这些点，进而形成图象. 2.由图象或部分图象确定解析式 yAsin(x)中
13、的参数 (1)A：由最大值、最小值来确定 A. (2)：通过求周期 T 来确定 . (3)：利用已知点列方程求出. 【例 7】 设函数 f(x)Asin(x)(A0，0， 2 2，xR)的部分图象如 图所示，则 A_. 答案 3 6 解析 由图可知 A2，T 4 5 6 3 2，所以 T2，所以1.再根据 f 3 2 得 sin 3 1， 所以 3 22k(kZ)， 即 62k(kZ).又因为 20， 20，0)的图象的两 种方法 【例 8】 (1)如图是函数 yAsin(x) (A0，0，xR)在区间 6， 5 6 上 的图象.为了得到这个函数的图象，只要将 ysin x(xR)的图象上所有
14、的点 ( ) A.向左平移 3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2倍，纵坐标不变 B.向左平移 3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不 变 C.向左平移 6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2倍，纵坐标不变 D.向左平移 6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不 变 (2)将函数 y1 2sin 2x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍， 然后纵坐标缩 短为原来的1 2，则所得图象的函数解析式为_. 答案 (1)A (2)y1 4sin x 解析 (1)由题图象知 A1，T5 6 6 ，所以 2 T 2.
15、所以 f(x)sin(2x )，又图象过点 3，0 ，由五点法知 2 3 ，所以 3，所以 ysin 2x 3 . 故将函数 ysin x 的图象先向左平移 3个单位后，再把所得图象上各点的横坐标 缩短为原来的1 2(纵坐标不变)，可得函数 ysin 2x 3 的图象. (2)y1 2sin 2x 的图象 横坐标伸长为 原来的2倍 y 1 2sin 2 1 2x 1 2sin x 的图象 纵坐标缩短为 原来的1 2 y 1 4sin x 的图象，即所得图象的解析式为 y 1 4sin x. 【训练 8】 将函数 ycos x 3 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐 标不变)，再向左
16、平移 6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( ) A.x 4 B.x 6 C.x D.x 2 答案 D 解析 ycos x 3 横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 ycos 1 2x 3 向左平移 6个单位 ycos 1 2 x 6 3 ，即 ycos 1 2x 4 . 由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点， 又当 x 2时，ycos 1 2 2 4 1，故选 D. 要点九 三角函数的性质 1.三角函数的周期性： 函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2 |， ytan(x)的最小正周期为 |. 2.三角函数的奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为 yAsi
17、n x 或 yAtan x， 而偶函数一般可化为 yAcos xB 的形式. 3.求三角函数值域(最值)的方法 (1)利用 sin x，cos x 的有界性. (2)从 yAsin(x)k 的形式逐步分析 x 的范围， 根据正弦函数单调性写 出函数的值域. (3)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值) 问题. 特别提醒：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范 围，否则会出现错误. 4.求三角函数的单调区间 求形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(A0， 0)的函数的单调区间可以通过 解不等式方法去解答， 即把 x视为
18、一个“整体”， 分别与正弦函数 ysin x， 余弦函数ycos x的单调递增(减)区间对应解出 x， 即得所求的单调递增(减)区间. 【例 9】 已知函数 f(x)2sin 2x 6 a，a 为常数. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)的单调递增区间； (3)若 x 0， 2 时，f(x)的最小值为2，求 a 的值. 解 (1)f(x)2sin 2x 6 a， 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 . (2)由 2k 22x 62k 2(kZ)， 得 k 6xk 3(kZ)， 所以 f(x)的单调递增区间为 k 6，k 3 (kZ). (3)当 x 0， 2 时，2
19、x 6 6， 5 6 ， 所以当 2x 6 6， 即 x0 时，f(x)取得最小值， 即 2sin 6 a2， 故 a1. 【训练 9】 已知曲线 yAsin(x)(A0，0)上的一个最高点的坐标为 2， 2 ，由此点到相邻最低点间的曲线与 x 轴交于点 3 2，0 ， 2， 2 . (1)求这条曲线的函数解析式； (2)求函数的单调递增区间. 解 (1)依题意知，A 2，1 4T 3 2 2，T4， 2 4 1 2， 由1 2 22k 2(kZ)得： 2k 4(kZ)，又 2， 2 ， 4， 这条曲线的函数解析式为 y 2sin 1 2x 4 . (2)由 2k 2 1 2x 42k 2(kZ)得： 4k3 2 x4k 2(kZ)， 函数的单调递增区间是 4k3 2 ，4k 2 (kZ).
