1、第第 2 2 节节 简谐运动的描述简谐运动的描述 学习目标要求 核心素养和关键能力 1.知道简谐运动的振幅、周期、频率、相 位的概念。 2.理解周期和频率的关系。 3.知道振动物体的固有周期和固有频率， 并能理解其与振幅无关。 4.会写出简谐运动的表达式， 并理解各物 理量的意义。 1.核心素养 (1)用数学表达式描述简谐运动。 (2)图像与运动情景相结合的思维方式。 (3)充分利用“对称性”研究简谐运动。 2.关键能力 “对称性”思维能力；用数学方法分析 物理问题的能力。 一、描述简谐运动的物理量 1.振幅(A) (1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离。 (2)物理意义 表示振动幅度大小
2、的物理量，是标量(选填“矢量”或“标量”)。振动物体运动 的范围是振幅的两倍。 2.全振动 一个完整的振动过程，称为一次全振动。不管从哪儿作为开始研究的起点，振动 物体完成一次全振动的时间总是相同的。此时，位移、速度第一次同时与初始状 态相同，即物体从同一方向回到出发点。 3.周期(T)和频率(f) (1)周期 T：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期。 单位：秒(s)。 (2)频率 f： 物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率。 单位： 赫兹， 简称赫，符号是 Hz。 (3)周期 T 与频率 f 的关系式：f1 T。 (4)：一个与周期成反比、与频率成正比的量
3、，叫作简谐运动的“圆频率” ，表 示简谐运动的快慢，2 T 2f。 4.相位 (1)t 代表做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。物理 学中把(t)叫作相位。 叫作初相。 (2)如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是 1和 2，当 12时，它们的 相位差为 12。 【判一判】 (1)振幅就是指振子的位移。() (2)振幅就是指振子的路程。 () (3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程不一定是一次全振动过程。() (4)始末速度相同的一个过程一定是一次全振动。() (5)振子1 4个周期通过的路程一定等于 1 个振幅。() 二、简谐运动的表达式 简谐运动的表达式为 xAsi
4、n 2 T t0。振幅、周期、初相位是描述简谐运动特 征的物理量。 【做一做】 (多选)(2020 黄冈市黄州区一中高二月考)有两个振动的振动方程分别是：x1 3sin(100t 3)(cm)，x25sin(100t 6)(cm)，下列说法正确的是( ) A.它们的振幅相同 B.它们的周期相同 C.它们的相位差恒定 D.它们的振动步调一致 答案 BC 解析 它们的振幅分别是 3 cm、5 cm，所以它们的振幅不相同，故 A 错误；运 动周期都是 T2 2 100 s0.02 s。所以，它们的周期相同，故 B 正确；它们 的相位差 (100t 3)(100t 6) 6，可得相位差恒定，故 C 正
5、确；因为相 位差不等于 0，所以它们振动步调不一致，故 D 错误。 探究 1 描述简谐运动的物理量 情境导入 如图所示为理想弹簧振子，O 点为它的平衡位置，其中 A、A点关于 O 点对称。 (1)振子从某一时刻经过 O 点，至下一次再经过 O 点的时间为一个周期吗？ (2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放， 两种情况下振子振动的周期相同吗？ 振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？ 答案 (1)不是。 经过一个周期振子必须从同一方向经过 O 点， 即经过一个周期， 位移、速度第一次与初始时刻相同。 (2)周期相同。振动的周期决定于振动系统本身，与振幅无关；位移相同，均为 零；路程不相
6、同，一个周期内振子通过的路程为四个振幅。 归纳拓展 1.对全振动的理解 (1)振动过程： 如图所示， 从 O点开始， 一次全振动的完整过程为 OAOAO； 从 A 点开始，一次全振动的完整过程为 AOAOA。 (2)全振动的四个特征 物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。 时间特征：历时一个周期。 路程特征：振幅的 4 倍。 相位特征：增加 2。 2.振幅与“三个”量的关系 (1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物 体的最大位移大小相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周 期性的变化。 (2)振幅与路程：振动
7、中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常用的定量 关系是：一个周期内的路程为 4 倍振幅，半个周期内的路程为 2 倍振幅。 (3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的， 与振幅无关。 特别提示 振幅大，振动物体的位移不一定大，但其最大位移一定大。 【例 1】 一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过 A、B 两点，历时 1 s， 质点通过 B 点后，再经过 1 s，第二次通过 B 点，在这 2 s 内，质点的总路程是 12 cm，则质点振动的周期和振幅分别可能为( ) A.2 s，6 cm B.4 s，6 cm C.4 s，9 cm D.2 s，8 cm 答
8、案 B 解析 简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过 A、B 两点，则可判定这两 点关于平衡位置 O 点对称，所以质点由 A 到 O 时间与由 O 到 B 的时间相等。 那么平衡位置 O 到 B 点的时间 t11 2 s 因过 B 点后再经过 t1 s 质点以方向相反、大小相同的速度再次通过 B 点， 则有从 B 点到最大位置的时间 t21 2 s 因此，质点振动的周期是 T4(t1t2)4 s 质点总路程的一半，即为振幅。 所以振幅为 A12 2 cm6 cm 故 B 正确，A、C、D 错误。 【针对训练 1】 (2020 陕西高二期末)弹簧振子在 BC 间做简谐运动，O 为平衡 位置，B
9、C 间距离为 10 cm，由 BC 运动时间为 1 s，则( ) A.从 B 开始经过 0.25 s，振子通过的路程是 2.5 cm B.经过两次全振动，振子通过的路程为 80 cm C.该振子任意 1 s 内通过的路程都一定是 10 cm D.振动周期为 2 s，振幅为 10 cm 答案 C 解析 由 BC 运动时间为 1 s，则周期 T2 s，则从 B 开始经过 0.25 sT 8，振 子通过的路程小于 2.5 cm，选项 A 错误；一次全振动振子的路程为 20 cm，则经 过两次全振动，振子通过的路程为 40 cm，选项 B 错误；由运动的对称性可知， 该振子任意 1 s 内通过的路程都
10、一定是 10 cm，选项 C 正确；振动周期为 2 s，振 幅为 5 cm，选项 D 错误。 探究 2 简谐运动的表达式及理解 1.表达式 xAsin 2 T t0的理解 (1)式中 x 表示振动质点相对于平衡位置的位移；t 表示振动的时间。 (2)由于 2 T 2f，所以表达式也可写成 xAsin(t0)或 xAsin(2ft0)。 2.描述简谐运动的两种方法 (1)简谐运动图像即 xt 图像是描述质点振动情况的一种手段，直观反映了质点 的位移 x 随时间 t 变化的规律。 (2)xAsin 2 T t0是用函数表达式的形式表示质点的振动情况。 (3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的。常解
11、决的两类问题：一是根据振动 方程作出振动图像；二是根据振动图像读出振幅、周期、初相，写出位移的函数 表达式。 【例 2】 有甲、乙两个简谐运动，甲的振幅为 2 cm，乙的振幅为 3 cm，周期都 是 4 s。当 t0 时，甲的位移为 2 cm，乙的相位比甲落后 2，试写出二者的函数 表达式，并在同一坐标系中作出它们的位移时间图像。 答案 见解析 解析 (1)甲、 乙的周期 T4 s， 则2 T 0.5， 甲的函数表达式为 x甲2sin(0.5t 甲)cm，当 t0 时，x甲2 cm，故 甲 2，又因为 乙甲 2，所以 乙 0，可得出 x甲2sin 0.5t 2 cm，x乙3sin(0.5t)c
12、m。 (2)两个简谐运动在同一坐标系中的位移时间图像如图所示。 【针对训练 2】 如图所示，是一个质点的振动图像，根据图像回答下列问题： (1)振动的振幅； (2)振动的频率； (3)在 t0.1 s、0.3 s、0.5 s、0.7 s 时质点的振动方向； (4)质点速度首次具有负方向最大值的时刻和位置； (5)质点运动的加速度首次具有负方向最大值的时刻和位置； (6)在 0.6 s 至 0.8 s 这段时间内质点的运动情况。 答案 见解析 解析 (1)振幅为最大位移的绝对值，从图像可知振幅 A5 cm。 (2)从图像可知周期 T0.8 s，则振动的频率 f1 T 1 0.8 Hz1.25 H
13、z。 (3)由各时刻的位移变化过程可判断 t0.1 s、0.7 s 时，质点的振动方向沿 x 轴正 方向；t0.3 s、0.5 s 时，质点的振动方向沿 x 轴负方向。 (4)质点在 0.4 s 通过平衡位置时，首次具有负方向的速度最大值。 (5)质点在 0.2 s 时处于正向最大位移处时，首次加速度具有负方向的最大值。 (6)在 0.6 s 至 0.8 s 这段时间内，从图像上可以看出，质点沿负方向的位移不断减 小， 说明质点正沿着正方向由负向最大位移处向着平衡位置运动，所以质点做加 速度减小的加速运动。 探究 3 应用图像分析简谐运动 根据简谐运动图像可获取的信息 (1)确定振动的振幅 A
14、 和周期 T。(如图所示) (2)可以确定振动物体在任一时刻的位移。 (3)确定各时刻质点的振动方向。判断方法：振动方向可以根据下一时刻位移的 变化来判定。下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；下一时刻 位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置。 【例 3】 (2020 福建福清高二期末)如图所示是质点做简谐运动的图像，由此可 知( ) A.t0 时，质点的位移、速度均为零 B.t1 s 时，质点的位移最大，速度为零，加速度为零 C.t2 s 时，质点的位移为零，速度负向最大，加速度为零 D.质点的周期为 2 s，频率为 0.5 Hz 答案 C 解析 当 t0 时，质点的位移为零，
15、加速度为零，此时质点在平衡位置具有沿 x 轴正方向的最大速度，故 A 错误；当 t1 s 时，质点的位移最大，加速度负向 最大，此时质点振动到平衡位置正方向的最大位移处，速度为零，故 B 错误； t2 s 时，质点的位移为零，加速度为零，速度最大，方向沿 x 轴负方向，故 C 正确；由图像可知，质点的周期为 4 s，频率为 0.25 Hz，故 D 错误。 【针对训练 3】 (多选)(2021 山东济宁一中模拟)一个质点做简谐运动的图像如 图所示，下列叙述正确的是( ) A.质点的振动频率为 4 Hz B.在 10 s 内质点经过的路程是 20 cm C.在 t1.5 s 和 t4.5 s 两时
16、刻质点的位移大小相等 D.在 t1.5 s 和 t4.5 s 两时刻质点的速度相同 答案 BC 解析 由图读出周期为 T4 s，则频率为 f1 T0.25 Hz，故 A 错误；质点在一 个周期内通过的路程是 4 个振幅，t10 s2.5T，则在 10 s 内质点经过的路程是 s2.54A102 cm20 cm，故 B 正确；由图看出，在 t1.5 s 和 t4.5 s 两 时刻质点位移大小相等，速度大小相等、方向相反，故 C 正确，D 错误。 1.(描述简谐运动的物理量)如图所示，弹簧振子在 BC 间做简谐运动，O 为平衡 位置，BC 间距离是 20 cm，BO 运动时间是 1 s，则( )
17、A.振动周期是 2 s，振幅是 10 cm B.从 BOC 振子做了一次全振动 C.经过三次全振动，通过的路程是 80 cm D.从 B 开始经过 3 s，振子通过的路程是 30 cm 答案 D 解析 振子从 BO 是1 4次全振动，周期 T41 s4 s，振幅 AOB BC 2 10 cm，故 A 错误；从 BOCOB 是一次全振动，故 B 错误；经过一次全 振动，振子通过的路程是 4A，三次全振动通过的路程是 120 cm，故 C 错误；从 B 开始 3 s 时间内振子做3 4次全振动，路程是 s 3 44A30 cm，故 D 正确。 2.(简谐运动的表达式)(多选)物体A做简谐运动的振动
18、位移xA3sin 100t 2 m， 物体 B 做简谐运动的振动位移 xB5 sin 100t 6 m。 比较 A、 B 的运动， 有( ) A.振幅是矢量，A 的振幅是 6 m，B 的振幅是 10 m B.周期是标量，A、B 周期相等，均为 100 s C.A 振动的频率 fA等于 B 振动的频率 fB D.A 的相位始终超前 B 的相位 3 答案 CD 解析 振幅是标量， A、 B 的振动范围分别是 6 m、 10 m， 但振幅分别为 3 m、 5 m， 选项 A 错误；A、B 振动的周期 T2 2 100 s0.02 s，选项 B 错误；因 TA TB，故 fAfB，选项 C 正确；(A
19、B) 3为定值，选项 D 正确。 3.(应用图像分析简谐运动)(2021 江苏梁溪高二期末)某弹簧振子的振动图像如 图所示，下列说法正确的是( ) A.在图中 A 点对应的时刻，振子所受的弹力方向指向 x 轴的正方向 B.在图中 A 点对应的时刻，振子的速度方向指向 x 轴的负方向 C.在 04 s 内振子做了 4 次全振动 D.在 04 s 内振子通过的路程为 4 cm 答案 D 解析 在图中 A 点对应的时刻，振子正向最大位移处运动，即速度方向指向 x 轴正方向，做减速运动，所受弹力方向指向 x 轴负方向，A、B 错误；由图可看 出，周期是 T2 s，在 04 s 内经过两个周期，即振子完
20、成两次全振动，通过的 路程为 s24A240.5 cm4 cm，C 错误，D 正确。 4.(应用图像分析简谐运动)(2020 四川高二期末)一个质点，在 A、B 间做简谐运 动，平衡位置为 O，如图甲所示，它的振动图像如图乙所示，设向右为正方向， 下列说法正确的是( ) A.第 0.2 s 末质点的速度方向是 AO B.第 0.4 s 末质点的加速度方向是 AO C.在 0.10.3 s 内质点通过的路程为 5 cm D.在 0.20.4 s 内质点的动能在逐渐增加 答案 B 解析 题目规定向右为正方向， 由图乙可判断， 第0.2 s末质点位于O点且从OA 运动，故速度方向为负方向，即为 OA，选项 A 错误；由图乙可判断第 0.4 s 末质点位于 A 点，由于简谐运动的物体加速度的方向总是指向平衡位置，故加 速度方向是 AO，选项 B 正确；由图乙可判断在 0.10.3 s 内，质点从 BO 段 中的某点向平衡位置运动，速度逐渐增大，过 O 点后速度逐渐减小，由于质点 振动的周期为 0.8 s，所以质点振动了1 4T，根据对称性，可判断质点通过的路程 大于 5 cm，故选项 C 错误；在 0.20.4 s 内质点从 OA 运动，速度逐渐减小， 动能在逐渐减小，故选项 D 错误。
