1、第二节第二节 简谐运动的描述简谐运动的描述 学习目标要求 核心素养和关键能力 1.知道简谐运动的数学表达式，知道数 学表达式中各物理量的意义。 2.知道简谐运动的图像是正弦或余弦曲 线。 1.科学思维 根据图像或关系式分析简谐运动。 2.关键能力 应用数学方法分析运动规律的能力。 一、简谐运动的函数描述 1.振动曲线： 振子振动时位移与时间关系的曲线叫振动曲线，简称 xt 图线。 2.简谐运动位移一时间图像的函数表达式为 xAcos(t)。 (1)A 为简谐运动的振幅， 为简谐运动的角频率。 (2) 与周期 T 或者频率 f 的关系为 2 T 2f。 判一判 (1)按 x5sin (8t1 4
2、) cm 的规律振动的弹簧振子的振幅为 5 m。() (2)按 x5sin (8t1 4) cm 的规律振动的弹簧振子的振动周期为 0.25 s。() (3)按 x5sin (8t1 4) cm 的规律振动的弹簧振子的振动频率为 4 Hz。() 二、简谐运动的图像描述 1.xcos (t)中的 t 叫作相位，而对应 t0 时的相位 叫作初相位，简称初相。 2.对于频率相同、相位不同的振子，我们通过对比它们的相位差来比较它们的振动先后关系。 3.相位差用 表示，则 (t1)(t2)12。 判一判 (1)相位是一个表示振子处在振动周期中的哪个位置的物理量。() (2)两个振动物体相位相同，则其振动
3、步调相反。() (3)两个振动物体频率相同，相位差为零，则它们振动的步调相同。() 探究 1 简谐运动的函数表达式 情境导入 甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的 xt 图像：如图所示，取一张白纸，在正中间画一条直线 OO，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从 O 点沿垂直于 OO方向振动画线，乙同学 沿 OO 方向水平向右匀速拖动白纸。 (1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？ (2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？ (3)沿 OO 方向与垂直 OO 方向分别建立坐标轴，说说两坐标轴可表示什么物理量？图线上点 的坐标表示什么？用什么方法判断上述图像是否为正弦曲线？
4、 答案 (1)是一条垂直于 OO的直线。 (2)轨迹如图所示，类似于正弦曲线。 (3)垂直 OO 方向的轴为位置坐标轴 x(如果以 O为出发点， 也可以说是位移坐标轴)， 沿 OO 方 向的轴为时间轴 t。图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以 O为出发点)或位置。一种方 法是用图上坐标点代入正弦函数表达式中进行检验， 另一种是用图上多个点的坐标值输入计算 机作出这条曲线，看看这条曲线可以用什么函数表示。 归纳拓展 1.对表达式 xAcos(t)的理解 (1)式中 x 表示振动质点相对于平衡位置的位移；t 表示振动的时间。 (2)由于 2 T 2f，所以表达式也可写成： xAcos 2 T
5、t 或 xAcos(2ft)。 (3)相位 表示 t0 时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相。 (t)代表了做简谐运动的质点在 t 时刻，处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐 运动的相位。相位每增加 2 就意味着完成了一个全振动。 (4)相位差 频率相同的两个简谐运动有固定的相位差：21 若 0 时，表明两个物体运动步调相同，即同相。 若 ，表明两个物体运动步调相反，即反相。 若 210，则 2 的相位比 1 的相位超前 或 1 的相位比 2 的相位落后 。 若 210，则 2 的相位比 1 的相位落后|或 1 的相位比 2 的相位超前|。 【例 1】 (多选)(2021 江苏南
6、通中学高二下月考)如图所示，水平弹簧振子沿 x 轴在 M、N 间 做简谐运动，坐标原点 O 为振子的平衡位置，其振动方程为 x5cos () 10t cm。下列说法正 确的是( ) A.M、N 间距离为 5 cm B.振子的振动周期是 0.2 s C.t0 时，振子位于 N 点 D.t0.05 s，振子具有最大加速度 答案 BC 解析 M、N 间距离为 2A10 cm，选项 A 错误；因为 10 rad/s 可知振子的振动周期是 T 2 2 10 s0.2 s，选项 B 正确；由 x5cos ()10t cm 可知 t0 时 x5 cm，即振子位于 N 点，选项 C 正确；t0.05 s 时
7、x0，此时振子在 O 点，振子的加速度为零，选项 D 错误。 【训练 1】 (多选)(2021 广东佛山一中高三段考)物体 A 做简谐运动的振动方程是 xA3cos ()100t m，物体 B 做简谐运动的振动方程是 xB5cos 100t 6 m。比较 A、B 的运动( ) A.振幅是矢量，A 的振幅是 6 m，B 的振幅是 10 m B.周期是标量，A、B 周期相等，都为 100 s C.A 振动的频率 fA等于 B 振动的频率 fB D.B 的相位始终超前 A 的相位 6 答案 CD 解析 振幅是标量，A、B 的振动范围分别是 6 m、10 m，但振幅分别为 3 m、5 m，A 错误；
8、A、B 的周期均为 T2 2 100 s6.2810 2 s，B 错误；因为 T ATB，故 fAfB，C 正确； AB 6，为定值，D 正确。 探究 2 简谐运动的图像 1.对简谐运动图像(xt 图像)的认识 (1)形状：正(余)弦曲线 (2)物理意义：表示振动的质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律。 (3)获取信息 任意时刻质点的位移的大小和方向。 如图甲所示， 质点在 t1、 t2时刻的位移分别为 x1和x2。 任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中 a 点，下一时刻离平衡位置更 远，故 a 此刻向上振动。 任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况及
9、大小比较：看下一时刻质点的位置，判断 是远离还是靠近平衡位置，若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大，若靠 近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小，如图乙中 b，从正位移向着平衡位置 运动，则速度为负且增大，位移、加速度正在减小，c 从负位移远离平衡位置运动，则速度为 负且减小，位移、加速度正在增大。 2.简谐运动两种描述方法的比较 (1)简谐运动图像即 xt 图像是描述质点振动情况的一种手段，直观反映了质点的位移 x 随时 间 t 变化的规律。 (2)xAcos(t)是用函数表达式的形式表示质点的振动情况。 【例 2】 如图所示为某弹簧振子在 05 s 内的振动图像，
10、 由图可知， 下列说法中正确的是( ) A.振动周期为 5 s，振幅为 8 cm B.第 2 s 末振子的速度为零，加速度为正向的最大值 C.从第 1 s 末到第 2 s 末振子在做加速运动 D.第 3 s 末振子的速度为负向的最大值 答案 B 解析 振幅等于最大位移的大小，故振幅为 4 cm，而周期是完成一次全振动的时间，所以振 动周期为 4 s，A 错误；第 2 s 末振子的速度为零，加速度为正向的最大值，B 正确；从第 1 s 末到第 2 s 末振子向负的最大位移处运动，所以振子速度减小，做减速运动，C 错误；第 3 s 末振子的位移为零，振子正经过平衡位置向正方向运动，故速度最大且方向
11、为正，D 错误。 【训练 2】 (2021 任丘市一中高二月考)如图所示是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图像， 下列判断正确的是( ) A.t210 3 s 时刻纸盆中心的速度最大 B.t310 3 s 时刻纸盆中心的加速度最大 C.在 0110 3 s 之间纸盆中心的速度方向与加速度方向相同 D.纸盆中心做简谐运动的方程为 x1.510 4cos (50t)m 答案 C 解析 t210 3 s 时刻在位移最大位置，则纸盆中心的速度为零，选项 A 错误；t3103 s 时刻纸盆中心在平衡位置，加速度为零，选项 B 错误；在 0110 3 s 之间纸盆中心的速度 方向与加速度方向均沿负方向， 方
12、向相同， 选项C正确； 因为2 T 2 410 3 rad/s500 rad/s， 则纸盆中心做简谐运动的方程为 x1.510 4cos (500t)m，选项 D 错误。 探究 3 简谐运动的周期性和多解性 1.周期性 简谐运动是一种周期性的运动，根据其周期性可作如下判断： (1)若 t2t1nT，则在 t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。 (2)若 t2t1nT1 2T，则在 t1、t2 两时刻，描述运动物体的物理量(x、F、a、v)均大小相等， 方向相反。 (3)若 t2t1nT1 4T 或 t2t1nT 3 4T，则当 t1 时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达 平衡
13、位置；当 t1时刻物体到达平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；当 t1时刻物体在其他 位置时，t2时刻物体到达何处要视具体情况而定。 2.对称性 (1)时间的对称 物体来回通过相同两点间的时间相等，即 tDBtBD。 物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中 tDBtBDtCAtAC，tODtDO tOCtCO。 (2)速度的对称 物体连续两次经过同一点(如 D 点)的速度大小相等，方向相反。 物体经过关于 O 点对称的两点(如 C 与 D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。 (3)位移的对称 物体经过同一点(如 C 点)时，位移相同。 物体经过关于 O 点对称的两
14、点(如 C 与 D)时，位移大小相等、方向相反。 【例 3】 (2021 黄冈中学月考)质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，下列说法 正确的是( ) A.当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期 B.当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期 C.当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时，经过的时间为一个周期 D.当质点经过的路程为振幅的 2 倍时，经过的时间为半个周期 答案 D 解析 质点连续两次经过同一位置的时间不一定是一个周期，选项 A 错误；质点同向经过关 于平衡位置对称的两点速度相同，但经过的时间不为一个周期，选项 B 错误；质点连续两次 经过同一位置时
15、，加速度相同，但经历的时间一般不等于一个周期，选项 C 错误；质点在任 何半个周期内通过的路程一定是振幅的 2 倍，选项 D 正确。 【训练 3】 一质点做简谐运动，它从最大位移处经 0.3 s 第一次到达某点 M 处，再经 0.2 s 第 二次到达 M 点，则其振动频率为( ) A.0.4 Hz B.0.8 Hz C.2.5 Hz D.1.25 Hz 答案 D 解析 由题意知，从 M 位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为 0.3 s，故完成一个全 振动的时间为 T0.3 s0.2 s0.3 s0.8 s，故频率为 f1 T1.25 Hz，D 正确。 【训练 4】 如图所示，弹簧上面固定
16、一质量为 m 的小球，小球在竖直方向上做振幅为 A 的简 谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中( ) A.小球最大动能应等于 mgA B.弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变 C.弹簧最大弹性势能等于 2mgA D.小球在最低点时的弹力大于 2mg 答案 C 解析 小球平衡位置 kx0mg，x0Amg k ，当到达平衡位置时，有 mgA1 2mv 2Ep，选项 A 错误；小球和弹簧组成系统的机械能守恒，小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之和保持 不变，选项 B 错误；从最高点到最低点，小球的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，Ep 2mgA，选项 C 正确；最低点加速
17、度大小等于最高点加速度大小 g，据牛顿第二定律 Fmg mg，F2mg，选项 D 错误。 【方法介绍】 简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时， 振子的位移、 回复力、 加速度、 动能、势能、速度、动量等均是等大的(位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向 不确定)。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。 【题目示例】 1.一弹簧振子做简谐运动，O 为平衡位置，当它经过 O 点时开始计时，经过 0.3 s 第一次到达 M 点， 再经过 0.2 s 第二次到达 M 点， 则弹簧振子第三次到达 M 点还要经过的时间可能为( ) A.1 3 s B.
18、8 15 s C.1.4 s D.1.6 s 答案 AC 解析 振子通过 O 点的速度方向有两种可能，一种是从 O 指向 M，另一种是背离 M。如图甲 所示，设 O 为平衡位置，OB (OC )代表振幅，振子从 O 到 C 所需时间为T 4，因为简谐运动具有 对称性，所以振子从 M 到 C 所用时间和从 C 到 M 所用时间相等，故T 40.3 s 0.2 s 2 0.4 s， 解得 T1.6 s，则振子第三次到达 M 点还要经过的时间为 t1.6 s0.2 s1.4 s 如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向 B 运动，设 M与 M 关于 O 点对称，则振子从 M经 B 回到 M所用的时间与振
19、子从 M 经 C 回到 M 所用的时间相等， 即 0.2 s。 振子从 O 到 M和从 M 到 O 及从 O 到 M 所需时间相等，为0.3 s0.2 s 3 1 30 s。则振子第三次到达 M 点还要经过的时 间为 t0.2 s 1 304 s 1 3 s，选 A、C。 2.如图所示，一轻质弹簧与质量为 m 的物体组成弹簧振子，在竖直方向上 A、B 两点间做简谐 振动，O 为平衡位置。某一时刻，物体正通过 C 点向上运动(C 点在平衡位置上方 h 高处)，则 从此时刻开始半个周期内( ) A.重力对物体的做功为 2mgh B.加速度方向始终不变 C.回复力做功为 2mgh D.物体克服弹力做
20、功为 2mgh 答案 AD 解析 振子经过 C 点向上运动，半个周期后振子振动到了 C 点关于 O 点对称的点 C，CC 2h，所以重力做功 2mgh；弹簧振子的加速度的方向总指向平衡位置，故振子的加速度的方向 先向下再向上；因 C、C两点是关于平衡位置对称的点，振子在两点的动能相等，故回复力对 振子不做功，由动能定理 2mghW0，所以弹力做的功 W2mgh，即物体克服弹力做功 为 2mgh。 【方法感悟】 题 1 中，明显考查简谐运动中运动时间的对称性，题目中没有明确振子经过 O 点时速度方 向与 M 点的位置关系，画草图时需要注意有两种可能。题 2 中明显考查简谐运动中回复力的 对称性及
21、能量的对称性， 注意 AB 两点关于平衡位置对称， C 与 C关于平衡位置对称， 按照 “对 称则必然相等” ，在结论成立的条件下，充分运用此结论分析题目。 1.(简谐运动的表达式)(多选)(2021 阜新市二中高二月考)一简谐运动的振动方程为 x3cos(5t 4)。式中位移 x 的单位是 cm，则( ) A.振动的振幅为 3 cm B.振动的频率为 2.5 Hz C.振动的初相为 4 D.t1 s 时的位移为 2 cm 答案 ABC 解析 对比简谐运动表达式 xAcos(t)Acos(2ft)可知，振动的振幅为 A3 cm，f 2.5 Hz，初相位 4 ，A、B、C 正确；t1 s 时的位
22、移为 x3cos(51 4)3cos 5 4 3 2 2 cm，D 错误。 2.(简谐运动的图像)(多选)(2021 湖北武汉期末)如图为 A、B 两个简谐运动的位移一时间图像， 由该图像可知 A、B 两个简谐运动的( ) A.振幅之比为 21 B.周期之比为 21 C.频率之比为 21 D.08 s 内振子通过的路程比为 21 答案 AC 解析 由图可知，A 的振幅为 2 m，B 的振幅为 1 m，则振幅之比为 21，故 A 正确；由图可 知，A 的周期为 4 s，B 的周期为 8 s，则周期之比为 12，故 B 错误；A 的频率为 fA1 4 Hz， B 的频率为 fB1 8 Hz，则频率
23、之比为 21，故 C 正确；A 在 08 s 内即两个周期通过的路程 为 sA24A242 m16 m， B 在 08 s 内即一个周期通过的路程为 sB4A41 m4 m，则 08 s 内振子通过的路程比为 41，故 D 错误。 3.(简谐运动的周期性和对称性)(2021 河南南阳中学高二期末)一质点做简谐运动，先后以相同 的速度依次通过 A、B 两点，历时 1 s，质点通过 B 点后，再经过 1 s，第二次通过 B 点，在这 2 s 内，质点的总路程是 12 cm，则质点振动的周期和振幅分别可能为( ) A.2 s，6 cm B.4 s，6 cm C.4 s，9 cm D.2 s，8 cm
24、 答案 B 解析 简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过 A、B 两点，则可判定这两点关于平衡位 置 O 点对称，所以质点由 A 到 O 时间与由 O 到 B 的时间相等。那么平衡位置 O 到 B 点的时 间 t11 2 s，因过 B 点后再经过 t0.5 s 质点以方向相反、大小相同的速度再次通过 B 点，则 有从 B 点到最大位置的时间 t21 2 s，因此，质点振动的周期是 T4(t1t2)4 s，质点总路 程的一半，即为振幅。所以振幅为 A12 2 cm6 cm，故 B 正确，A、C、D 错误。 4.(简谐运动的周期性和对称性)(2021 江西南昌期末)如图所示，弹簧振子的平衡位置为
25、 O 点， 在 B、C 两点之间做简谐运动。B、C 相距 30 cm。小球经过 O 点向右运动时开始计时，经过 0.4 s 第一次回到 O 点。 (1)写出小球的振动方程； (2)求第 1.0 s 内小球通过的路程及位移大小。 答案 (1) x0.15cos 2.5t3 2 m (2)0.75 m 0.15 m 解析 (1)振子从 O 到第一次回到 O 所用时间 t0.4 s，所以周期为 T2t0.8 s 设振幅为 A，由题意得 BC2A30 cm 可得 A15 cm0.15 m 则振动方程为 xAcos 2t T 3 2 0.15cos 2.5t3 2 m。 (2)振子在 1 个周期内通过的路程为 4A，因 t1.0 s11 4T，故振子在 1.0 s 内通过的路程 s5A515 cm75 cm0.75 m 1.0 s 末小球的位移为 x0.15 m。
