1、第第 5 5 节节 实验：用单摆测量重力加速度实验：用单摆测量重力加速度 学习目标要求 1.制订科学探究方案，会使用实验器材操作实验，获取数据。2.能根据数据形成 结论，会分析导致实验误差的原因。3.熟练应用图像法和公式法处理实验数据。 一、实验目的 1.学会用单摆测量当地的重力加速度。 2.能正确熟练地使用停表。 二、实验设计 1.实验原理 当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为 T2 l g，它与偏角的大小及 摆球的质量无关，由此得到 g4 2l T2 。因此，只要测出摆长 l 和振动周期 T，就可 以求出当地的重力加速度 g 的值。 2.实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小
2、球、不易伸长的细线(约 1 米)、停表、 毫米刻度尺和游标卡尺。 三、实验步骤 1.做单摆 取约 1 m 长的细丝线穿过带孔的小钢球， 并打一个比小孔大一些的结， 然后把线 的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以 外，让摆球自然下垂。实验装置如图。 2.测摆长 用毫米刻度尺量出摆线长 l，用游标卡尺测出小钢球直径 D，则单摆的摆长 ll D 2。 3.测周期 将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于 5 )，然后释放小球，记下单摆做 30 次 50 次全振动的总时间，算出平均每一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值。 4.改变
3、摆长，重做几次实验。 四、数据处理 1.公式法 将测得的几次的周期 T 和摆长 l 的对应值分别代入公式 g4 2l T2 中算出重力加速 度 g 的值，再算出 g 的平均值，即为当地重力加速度的值。 2.图像法 由单摆的周期公式 T2 l g可得 l g 42T 2，因此以摆长 l 为纵轴、以 T2 为横轴 作出的 lT2图像是一条过原点的直线， 如图所示， 求出斜率 k， 即可求出 g 值。 k l T2 l T2，g4 2k。 五、误差分析 1.系统误差 主要来源于单摆模型本身是否符合要求。 即悬点是否固定， 摆球是否可看做质点， 球、 线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振
4、动以及测量哪段长 度作为摆长等。 2.偶然误差 主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)。要从摆球通 过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即 4，3，2，1，0，1，2， 在数“零”的同时按下秒表开始计时，不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然 误差，应进行多次测量后取平均值。 六、注意事项 1.选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在 1 m 左右，小球应选用 密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过 2 cm。 2.单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发 生摆线下滑、摆长改变的现象。 3.注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角
5、不超过 5 ， 可通过估算振幅的办法掌 握。 4.摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。 5.计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，为便于计时，可 在摆球平衡位置的正下方作一标记， 以后摆球每次从同一方向通过最低位置时进 行计数，且在数“零”的同时按下秒表，开始计时计数。 探究 1 科学探究之实验设计 【例 1】 (2020 北京西城高二期末)某同学用图甲所示的实验装置进行“用单摆 测量重力加速度”的实验。 (1)为了利用单摆较准确地测出重力加速度，应当选用以下哪些器材_。 A.长度为 10 cm 左右的细绳 B.长度为 100cm 左右的细绳 C.直径为
6、1.8 cm 的钢球 D.直径为 1.8 cm 的木球 E.最小刻度为 1 mm 的米尺 F.停表、铁架台 (2)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图_(选 填“乙”“丙”)中所示的固定方式。 (3)然后进行以下必要的实验操作： 测量单摆的摆长，即测量从摆线的悬点到_的距离； 把此单摆从平衡位置拉开一个小角度后释放，使摆球在竖直面内摆动，测量单 摆全振动 30 次(或 50 次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆振动的周期； 适当改变摆长，测量几次，并记录相应的摆长和周期； 根据测量数据画出图像，并根据单摆的周期公式，由图像计算重力加速度。 (4)该同学利用假期分别在北京
7、和厦门两地做了此实验，比较准确地探究了“单 摆的周期 T 与摆长 l 的关系”，然后将这两组实验数据绘制了 T 2l 图像，如 图丁所示。那么在北京测得的实验结果对应的图线是_(选填“A”“B”)。 图丁 答案 (1)BCEF (2)丙 (3)球心 (4)B 解析 (1)细线适当长一些，可以减小相对误差，选 B；摆球尽可能选密度大的 减小空气阻力的影响，选 C；还要用到毫米刻度尺、停表和铁架台。 (2)乙图中单摆在摆动过程中，摆长会发生变化，而丙图中摆长固定不变，因此 采用丙图。 (3)摆长应指悬点到球心的距离。 (4)根据单摆的振动周期公式 T2 l g 整理得 T24 2 g l 图像的斜
8、率越大，重力加速度越小，由于北京地区的重力加速度大于厦门地区的 重力加速度，因此北京测得的实验结果对应的图线应为 B。 探究 2 科学探究之数据处理 【例 2】 (2020 天津一中高二期末)某同学用实验的方法探究影响单摆周期的 因素。 (1)当他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹紧，如图 所示。这样做的目的是_。 A.保证摆动过程中摆长不变 B.可使周期测量得更加准确 C.需要改变摆长时便于调节 D.保证摆球在同一竖直平面内摆动 (2)该同学测得一组摆长和周期但计算的 g 值比当地标准值偏小，其原因可能是 _。 A.小球质量太大 B.摆动的振幅过小 C.将摆线长当成了摆长
9、 D.摆动次数少记了一次 (3)该同学按正确的操作进行测量摆长，但改变摆长测得 6 组 l 和对应的周期 T， 画出 lT2图线，然后在图线上选取 A、B 两个点，坐标如图所示。他采用恰当 的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式是 g_。请你判断该 同学得到的实验结果将_。(填“偏大”“偏小”或“准确”) 答案 (1)AC (2)CD (3)4 2（lBlA） T2BT2A 准确 解析 (1)组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹紧，这 样做的目的是保证摆动过程中摆长不变，且需要改变摆长时便于调节，故选 A、 C。 (2)根据 T2 l g可得 g 42l T2 计算的 g
10、值比当地标准值偏小， 可知小球质量和摆动的振幅不会影响重力加速度 的测量值， 选项 A、 B 错误； 将摆线长当成了摆长， 则 l 偏小， 则 g 测量值偏小， 选项 C 正确；摆动次数少记了一次，由 T t n知 T 偏大，则 g 测量值偏小，选项 D 正确。 (3)根据 T2 l g可得 l g 42T 2 由图像可知 k g 42 lBlA T2BT2A 解得 g4 2( )lBlA T2BT2A 该同学得到的实验结果将准确。 【例 3】 (2020 江苏梁溪高二期末)利用单摆测量当地重力加速度的实验中。 (1)利用游标卡尺测得金属小球直径如图甲所示，小球直径 d_cm。 甲 乙 (2)
11、某同学测量数据如下表，请在图乙中画出 lT2图像。由图像可得当地重力加 速度 g_m/s2(保留 3 位有效数字)。 l/m 0.400 0.500 0.600 0.800 1.200 T2/s2 1.60 2.10 2.40 3.20 4.80 (3)某同学在实验过程中，摆长没有加小球的半径，其他操作无误，那么他得到 的实验图像可能是下列图像中的_。 答案 (1)2.26 (2)见解析图 9.86 (3)B 解析 (1)主尺读数为 2.2 cm；游标尺读数为 60.1 mm0.6 mm0.06 cm 故球直径为 d2.2 cm0.06 cm2.26 cm (2)lT2图像如图所示 由单摆周期
12、公式 T2 l g 变形可得 l g 42T 2 图像斜率为 k g 42 可得 g42k 由图像可得 k1.2000.400 4.801.60 0.25 可得 g43.1420.25 m/s29.86 m/s2 (3)在实验过程中，摆长没有加小球的半径，其他操作无误，可得 l4 2 g T2l0， 即横截距不为零，可知 B 正确，A、C、D 错误。 探究 3 科学探究之实验创新 【例 4】 (2020 山东莒县高二期中)在“用单摆测量重力加速度”的实验中，某 同学在细线下悬挂一个注射器，注射器内装满墨水，做成单摆，如图甲所示。 (1)单摆摆动时是不是在做简谐运动？最简单的方法是看它的回复力是
13、否满足 F kx 的条件。若测得摆线长为 l，装满墨水的注射器质量为 m。重力加速度用 字母 g 表示，在偏角很小的情况下，推导出 k_，从而证明单摆做简谐 运动。 (2)拔掉注射器的柱塞，注射器向下喷出细细的一束墨水，如图乙所示。用电动 玩具小车沿着与摆动方向垂直的方向匀速拖动一张白纸， 白纸上出现如图丙所示 的图像。已知电动玩具小车的速度为 v，白纸上沿着运动方向测得一段距离 d， 则注射器摆动的周期 T_。 (3)根据前面测得的物理量，可知当地的重力加速度 g_。 答案 (1)是 mg l (2)2d 3v (3) 92lv2 d2 解析 (1)以平衡位置O点为坐标原点， 沿水平向右为正
14、方向， 设当偏角为时， 位移为 x；重力垂直绳方向的分力提供回复力，方向与位移方向相反， 有 Fmgsin 当 很小时，sin x l，可得 F mg l x 所以 kmg l ，则 Fkx，该运动为简谐运动。 (2)由丙图可知3T 2 d v 解得 T2d 3v (3)根据 T2 l g可得 g 42l T2 9 2lv2 d2 。 1.(2021 枣庄市三中高二月考)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时。 (1)下列给出的材料中应选择_作为摆球与摆线，组成单摆。 A.木球 B.铁球 C.柔软不易伸长的丝线 D.粗棉线 (2)在测定单摆摆长时，下列的各项操作正确的是_。 A.装好单摆，抓住摆
15、球，用力拉紧，测出摆线悬点到摆球球心之间距离 B.让单摆自由下垂，测出摆线长度再加上摆球直径 C.取下摆线，测出摆线长度后再加上摆球半径 D.测出小球直径，把单摆固定后，让小球自然下垂，用刻度尺量出摆线的长度， 再加上小球的半径 (3)实验测得重力加速度的值较当地重力加速度的值偏大，可能的原因是 _。 A.摆球的质量偏大 B.单摆振动的振幅偏小 C.计算摆长时没有加上摆球的半径值 D.将实际振动次数 n 次误记成(n1)次 (4)用摆长 l 和周期 T 计算重力加速度的公式是 g_。 答案 (1)BC (2)D (3)D (4)4 2l T2 解析 (1)为减小空气阻力对实验的影响，应选用密度
16、大而体积小的球作为摆球， A 错误，B 正确；摆线应选长度不易发生变化的线作为摆线，D 错误，C 正确。 (2)单摆摆长等于摆球半径与摆线长度之和，应先测出摆球直径，然后把单摆悬 挂好， 再测出摆线长度，摆球半径与摆线长度之和是单摆摆长。故选项 D 正确。 (3)由单摆周期公式 T2 l g，解得 g 42l T2 ；重力加速度与摆球质量无关，A 错误；重力加速度与振幅无关，B 错误；计算摆长时没有加上摆球的半径值，摆 长偏小，重力加速度的测量值偏小，C 错误； 将实际振动次数 n 次误记成(n 1)次，根据 T t n，所测周期 T 偏小，重力加速度的测量值偏大，D 正确。 (4)由单摆周期
17、公式 T2 l g 解得 g4 2l T2 。 2.(2020 北京师大附中高二检测)小雷在做“利用单摆测重力加速度”实验中， 先 测得摆线长为 97.20 cm；用 20 分度的游标卡尺测得小球直径如图所示，然后用 秒表记录了单摆全振动 50 次所用的时间。则： (1)小球直径为_cm。 (2)如果他在实验中误将 49 次全振动数为 50 次，测得的 g 值_(选填“偏 大”“偏小”或“准确”)。 (3)他以摆长(l)为横坐标、周期的二次方(T2)为纵坐标作出了 T2l 图线，由图像 测得的图线的斜率为 k，则测得的重力加速度 g_(用题目中给定的字母 表示)。 (4)小雷根据实验数据作出的
18、图像如图所示，造成图像不过坐标原点的原因可能 是_。 答案 (1)2.990 (2)偏大 (3)4 2 k (4)测量摆长时未计入摆球的半径 解析 (1)由题图可知，小球的直径 D29 mm0.05 mm1829.90 mm 2.990 cm。 (2)实验中将 49 次全振动数为 50 次，会导致测得周期偏小，根据 g4 2l T2 知，测 得重力加速度偏大。 (3)根据单摆的周期公式 T2 l g得 T 24 2 g l，可知斜率 k4 2 g ，则重力加速度 g4 2 k 。 (4)图像不通过坐标原点，将图像向右平移 1 cm 就会通过坐标原点，故相同的周 期下，摆长偏小 1 cm，故可能
19、是测摆长时漏掉了摆球的半径。 3.(2020 复旦大学附中高二检测)在“利用单摆测重力加速度”的实验中： (1)测得摆线长 l0，小球直径 D，小球完成 n 次全振动的时间为 t，则实验测得的 重力加速度的表达式 g_。 (2)实验中如果重力加速度的测量值偏大，其可能的原因是_。 A.把摆线的长度 l0当成了摆长 B.摆线上端未牢固地固定于 O 点，振动中出现松动，使摆线变长 C.测量周期时，误将摆球(n1)次全振动的时间 t 记成了 n 次全振动的时间 D.摆球的质量过大 (3)如图所示，停表读数为_ s。 (4)某同学因为粗心忘记测量摆球直径，实验中将悬点到小球下端的距离作为摆 长 l，测
20、得多组周期 T 和 l 的数据，作出 lT2图像，如图所示。则该小球的直径 是_ cm(保留 1 位小数)；实验测得当地重力加速度大小是_ m/s2(保留 3 位有效数字)。 答案 (1)2 2n2（2l0D） t2 (2)C (3)99.8 (4)1.2 9.86 解析 (1)单摆的周期 T t n， 摆长 ll0 D 2， 根据 T2 l g可得重力加速度的表 达式 g 42 l0D 2 n2 t2 2 2n2（2l0D） t2 。 (2)若把摆线的长度 l0当成了摆长，计算时摆长将变短，由 g4 2l T2 知，重力加速 度的测量值将偏小，A 错误；摆线上端未牢固地固定于 O 点，振动中
21、出现松动， 使摆长变大，而计算时仍采用原摆长 l，由 g4 2l T2 知，则重力加速度的测量值将 偏小，B 错误；测量周期时，误将摆球(n1)次全振动的时间 t 记成了 n 次全振 动的时间，则算得的周期变小，重力加速度的测量值将偏大，C 正确；摆球的质 量过大不影响单摆的周期，则算得的重力加速度不受影响，D 错误。 (3)停表的长针是秒针，转一周是 30 s。因为机械表采用的是齿轮传动，指针不可 能停留在两小格之间，所以不能估读出比 0.1 s 更短的时间，位于表上部中间的 小圆圈里面的短针是分针， 表针走一周是 15 min， 每一小格为 0.5 min。 由图知， 短针读数为 1.5 min，长针读数为 9.8 s，所以停表的读数为 99.8 s。 (4)由单摆的周期 T2 lD 2 g 可知，l g 42T 2D 2，根据 lT 2 图像与纵轴的截 距知D 20.6 cm，则该小球的直径 D1.2 cm。lT 2 图像的斜率 k g 42，实验测 得当地重力加速度大小 g42 （0.60）10 2 0（2.4）10 2 m/s29.86 m/s2。
