1、 47 1导数的概念 平均变化率瞬时变化率某点的导数 0 ()fx在一点可导在区间()ab，上可导导函数( )fx 2导数的几何意义：曲线( )yf x过点 00 ()xf x，的切线的斜率等于 0 ()fx 3常见函数的导数公式： 0C （C为常数） ； 1 xx ； s i nc o sxx ； c o ss i nxx ； ee xx ； ln xx aaa （0a ，且1a ） ； 1 ln x x ； 1 l o g ln ax xa （0a ，且1a ） 4两个函数的和、差、积、商的求导法则： 法则 1 u xv xu xv x 法则 2 u x v xu x v xu x v x
2、 法则 3 2 0 u xux v xu x v x v x v xvx 5导数的应用 利用导数判断单调性；利用导数研究函数的极值与最值 导数分成两讲复习，这一讲复习导数的概念、求导法则及其逆用、切线问题、导函数的图 象、导函数的简单应用下一讲重点复习与函数的性质相关的导数问题、含参的函数的单 调性与极值、以及简单的恒成立与存在性问题 知识结构图 知识梳理 第 6 讲 导数及其应用 48 尖子班学案尖子班学案 1 【铺1】 函数 2 (1) (1)yxx在1x 处的导数等于（ ） A1 B2 C3 D4 【解析】 D 考点考点：导数的运算导数的运算 【例1】 求下列函数的导数： ( )sinc
3、osf xxxx； 1 ( )tanf xx x ； 2 ( )e ln x x f xx x 已知函数 2 ( )(1)f xx x，若 00 fxx，则 0 x _ （2009 湖北理 14）已知函数 cossin 4 f xfxx ，则 4 f 的值为 【解析】 ( )cosfxxx； 22 1 ( ) cos2 x fx xx 2 2 ln1 ( )2 ee (ln ) xx x fxxx x 0或1； 1 【备选】 32 ( )(1)3( 1)f xxx fxf，则 1f的值为_ 【解析】 2 尖子班学案尖子班学案 2 【铺1】 （2009 海南文 13）曲线e21 x yxx在点0
4、 1，处的切线方程为 （2009 江苏 9）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线 3 :103C yxx上，且在第二象 限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为 2，则点P的坐标为 【解析】 31yx 2 15 ， 考点考点：导数的几何意义：导数的几何意义 【例2】 （2008 江苏 8）直线 1 2 yxb是曲线ln (0)yx x的一条切线，则实数b的值为 设曲线 1 1 x y x 在点3, 2处的切线与直线10axy 垂直，则a _ 经典精讲 49 若曲线:lnC yaxx存在斜率为1的切线，则实数a的取值范围是_ 【解析】 ln21 2 1a 目标班学案目标班学案 1 【拓2】 （20
5、09 江西理 5 改编）设函数 2 f xg xx，曲线 yg x在点 11g，处的切线方程 为21yx，则曲线 yf x在点 11f，处切线的方程为_ （2009 福建理 14） 若曲线 3 lnf xaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_ 【解析】 4yx 0， 【备选】 （2010 丰台二模文 14） 直线eyxb（e为自然对数的底数）与两个函数( )exf x ，( )lng xx的图象至多有一个 公共点，则实数b的取值范围是_ 【解析】 2 , 0 考点考点：利用利用导数研究函数图象导数研究函数图象 【例3】 （2010 朝阳二模文 6） 函数 32 1 ( ) 2 f
6、xxx的图象大致是（ ） （2010 年石景山一模文 7）已知函数( )f x的导函数( )fx的图象如图所示，那么函数 f x 的图象最有可能的是（ ） （2007 浙江）设( )fx是函数( )f x的导函数，将( )yf x和( )yfx的图象画在同一个直 角坐标系中，不可能正确的是（ ） D. Ox y C. Ox y B. Ox y A. O y x 50 【解析】 A A D 尖子班学案尖子班学案 3 【拓1】 （2010 年朝阳二模理 6）函数 2 ( )(2 )exf xxx的图象大致是（ ） 【解析】 A 目标目标班学案班学案 2 【拓2】 （2010 年宣武二模理 6） 已
7、知函数的图象如右图所示，则其函数解析式可能是（ ） A 2 lnf xxx B 2 lnf xxx C lnf xxx D lnf xxx 【解析】 B 考点考点：函数及其导函数图象综合函数及其导函数图象综合 【例4】 （2008 全国文 2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速 行驶之后停车，若把这一 过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ） D.C.B.A. yyyy xx xx OO OO D C BA y y y y x x x x O O OO y x 1 O 51 -1-221 O y x （2008 崇文二模文 8） 若偶函数( )f x定义域为 00， (
8、)f x在0，上的图象如图所示，则不等式( )( )0f x fx的解 集是（ ） A 10 1， B1 01， C11， D 1 00 1 ， （2009 年宣武二模文 8）设 f x是一个三次函数， fx为其导 函数，如图所示的是 yx fx 的图象的一部分，则 f x的极 大值与极小值分别是（ ） A 1f与1f B1f 与 1f C2f 与 2f D 2f与2f 【解析】 A B C 考点考点：利用导数研究函数的简单应用利用导数研究函数的简单应用 【例5】 （2009 广东文 8）函数 3 exf xx的单调递增区间是（ ） A2， B0 3， C1 4， D2， 函数 ln ,0,
9、5f xxx x的最小值为_ 设函数 32 ( )1f xxaxbx，若当1x 时，有极值为1，则函数 32 ( )g xxaxbx的单 调递减区间为 【解析】 D 1 e 5 1 3 ， 目标目标班学案班学案 3 【拓2】 （2009 湖南理 8）设函数( )yf x在( ，内有定义对于给定的正数K，定义函数 ( )( ) () ( ). K f xf xK fx Kf xK ， ， 取函数( )2exf xx 若对任意的()x ，恒有 D.C.B.A. O t s O t ss t OOt s 52 K fxf x，则（ ） AK的最大值为 2 BK的最小值为 2 CK的最大值为 1 DK
10、的最小值为 1 【解析】 D； 考点：考点：导数公式的逆用导数公式的逆用 【例6】 （2010 丰台二模理 7） 设 f x、 g x是R上的可导函数， fx、 g x分别是 f x、 g x的导函数，且 0fx g xf x g x ，则当axb时，有（ ） A f x g xf b g b B f x g af a g x C f x g bf b g x D f x g xf a g a 已知 f x， g x都是定义在R上的函数，且满足以下条件： x f xag x（01aa，） ； 0g x ； f xg xfxg x 若 115 112 ff gg ，则实数a _ f x是定义在0
11、, 上的非负可导函数， 且满足 0 xfxf x， 对任意正数a、b， 若ab，则必有（ ） A( )( )af bbf a B( )( )bf aaf b C( )( )af af b D( )( )bf bf a 【解析】 A 1 2 A 【备选】 （2009 天津文 10）设函数 f x在R上的导函数为 fx，且 2 2f xxfxx下面的不 等式在R上恒成立的是( ) A 0f x B 0f x C f xx D f xx 【解析】 A 曲线 32 242yxxx过点13，的切线方程是_ 【解析】 520 xy或21490 xy （2010 北京文 18） 真题再现 53 设函数 32
12、 0 3 a f xxbxcxd a，且方程 90fxx的两个根分别为1，4 当3a 且曲线 yf x过原点时，求 f x的解析式； 若 f x在 内无极值点，求a的取值范围 【解析】 32 312f xxxx a的取值范围是1 9 【演练 1】 （2008 海南宁夏文 4）设( )lnf xxx，若 0 ()2fx，则 0 x （ ） A 2 e Be C ln2 2 Dln2 【解析】 B 【演练 2】 （2009 西城二模理 5）已知函数( )sinf xx，( )fx为( )f x的导函数，那么（ ） A将( )f x的图象向左平移 2 个单位可以得到( )fx的图象 B将( )f x
13、的图象向右平移 2 个单位可以得到( )fx的图象 C将( )f x的图象向左平移个单位可以得到( )fx的图象 D将( )f x的图象向右平移个单位可以得到( )fx的图象 【解析】 A； 【演练 3】 （2010 丰台一模文 12）函数( )lnf xx的图象在点e(e)f，处的切线方程是 【解析】 e0 xy 【演练 4】 （2009 湖南文 7）若函数( )yf x的导函数 在区间 ,a b上是增函数，则函数( )yf x在区 间 ,a b上的图象可能是（ ） 【解析】 A 【演练 5】函数 3 1 3yxx 有（ ） A极小值1，极大值1 B极小值2，极大值3 C极小值2，极大值2
14、D极小值1，极大值3 DCBA a b xO y a bxO y a b x O y Ox y b a 实战演练 54 【解析】 D 【演练 6】 （2008 海淀一模理 13）已知点22P，在曲线 3 yaxbx上，如果该曲线在点P处切线的斜 率为9，那么ab 【解析】 3 (2009 清华大学自主招生文 3) 一元三次函数 f x的三次项系数为 3 a ， 90fxx的解集为1, 2 若 70fxa有两个相等实根，求 fx的解析式； 若 f x在R上单调递减，求a的范围 【解析】 设 32 3 a f xxbxcxd，则 fx 2 2axbxc， 2 929fxxaxbxc 90fxx 的解集为 1, 2， 1x 和2x 是方程 2 290axbxc的两根 因此0a ，239ba ，2ca 2 2970axbxca，即 2 390axaxa的0 ， 解得3a 或1a （舍去） ，所以218b ，6c ， 2 3186fxxx f x在R上单调递减， fx在R上恒有 0fx 于是 0 0 a ，即 2 0 54810 a aa ， 解得2718 2 ,2718 2a 大千世界
