1、 28 本讲分三小节，分别为函数的奇偶性、函数的单调性、函数的周期性，建议用时3课时重点应当 放在对常见函数的性质的判断与初步应用上对于函数的性质，需要对照的把握其代数特征与图形特 征，因此应以函数性质的代数表示形式的转化及数形互化为主要教学目标由于在研究函数的性质时 或多或少总会遇到复合函数，因此有部分涉及复合函数的性质的题目出现，但有关复合函数的性质会 在下一讲系统讲解，在此不作为教学重点 第一小节为函数的奇偶性，共 2 道例题其中 例 1 主要讲解函数的奇偶性的判断； 例 2 主要讲解函数的奇偶性的应用； 第二小节为函数的单调性，共 3 道例题其中 例 3 主要讲解函数的单调性的判断；
2、例 4 主要讲解函数的单调性的应用； 例 5 主要讲解指函数的奇偶性与单调性的综合应用； 第三小节为函数的周期性，共 2 道例题其中 例 6 主要讲解函数的周期性的判断； 例 7 主要讲解函数性质的综合应用 1、函数的奇偶性 知识梳理 知识结构图 第 3 讲 函数的 性质初步 29 定义 如果函数 f x的定义域D关于原点对称，那么 若对任意xD，均有 fxf x，则称 f x为奇函数； 若对任意xD，均有 fxf x，则称 f x为偶函数 判断 根据定义判断； 对于函数的四则运算，有 奇函数与奇函数的和为奇函数；偶函数与偶函数的和为偶函数； 奇函数与奇函数的积为偶函数；偶函数与偶函数的积为偶
3、函数；偶函数与奇函数的积为奇函 数 【备注】偶函数与奇函数的和一般为非奇非偶函数 代数特征 若 f x具有奇偶性，且定义域为D，则xD ，则有xD ； 奇函数满足：当自变量的和为0时，函数值恒互为相反数； 偶函数满足：当自变量的和为0时，函数值恒相等 若奇函数 f x在0x 处有定义，则 00f 图形特征 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称 2、函数的单调性 定义 如果函数 f x在定义域D的某个区间I上满足： 对任意 12 ,xxD， 12 xx，均有 12 f xf x，则称 f x在区间I上单调递增； 对任意 12 ,xxD， 12 xx，均有 12 f xf x，则称
4、f x在区间I上单调递减 判断 根据定义判断； 对于函数的四则运算，有 增函数与增函数的和为增函数；减函数与减函数的和为减函数； 恒正增函数与恒正增函数的积为增函数；恒正减函数与恒正减函数的积为减函数； 若 yf x为增函数，则 yf x为减函数； 若 yf x为恒正的增函数，则 1 y f x 为减函数 代数特征 若 f x为区间I上的单调递增函数，则 12 ,xxI， 12 xx， 1212 0xxf xf x ； 若 f x为区间I上的单调递减函数，则 12 ,xxI， 12 xx， 1212 0xxf xf x ； 【备注】有时也写作分式形式： 12 12 f xf x xx 图形特征
5、 增函数图象上任意两点的连线斜率为正；减函数图象上任意两点连线斜率为负 3、函数的周期性 定义 30 如果函数 f x在整个定义域内有 f xf xT（0T ） ，则T称为函数 f x的一个周期 判断 根据定义判断； 若 1 T为函数 f x的一个周期， 2 T为函数 g x的一个周期， 且存在T（0T ） 使得 1 T T ， 2 T T 都是整数，则 f x与 g x四则运算后的结果是周期函数，T是它的一个周期 代数特征 根据定义判断； 周期性的常见表达： 对于,maR，0a 若 f xamf x，则2a为函数 f x的一个周期； 若 m f xa f x （0m ） ，则2a为函数 f
6、x的一个周期； 若 2f xaf xaf x，则6a为函数 f x的一个周期； 若 2f xaf xaf x，则6a为函数 f x的一个周期 图形特征 周期函数的图象周期性的重复出现 【备注】周期性有三大来源， 函数对应法则的天然周期（如三角函数） ； 类周期性引起的周期性； 双对称性引起的周期性这里重点讲解，而对于，会在秋季课程中复习 （2008 北京理 13） 已知函数 2 ( )cosf xxx，对于 22 ，上的任意 1 x， 2 x，有如下条件： 12 xx； 22 12 xx； 12 xx 其中能使 12 ( )()f xf x恒成立的条件序号是 【解析】 ； ( )f x为偶函数
7、，且当 0 2 x ，时， 2 yx与cosyx 都是增函数， 故( )f x在 0 2 ，上单调递增，在 0 2 ，上单调递减 从而知，当 12 2 xx时，有 1122 ( )()()()f xf xf xf x从而知正确 1、 下列函数 f x中，满足“对任意 12 ,0,xx ，当 12 xx时，都有 12 f xf x”的是 （ ） 小题热身 真题再现 31 A 1 f x x B 2 1f xx C exf x D lg1f xx 2、 函数 2 2 log 2 x y x 的图象（ ） A关于原点对称 B关于直线yx 对称 C关于y轴对称 D关于直线yx对称 3、 设 1 1,
8、1, 3 2 ，则使函数yx的定义域为R，且奇函数的所有的值为（ ） A1, 3 B1, 1 C1, 3 D 1 , 1 2 4、 若 f x是R上周期为5的奇函数，且满足 11f， 22f，则 34ff（ ） A1 B1 C2 D2 5、 定 义 在R上 的 偶 函 数 f x满 足 ： 对 任 意 的 1 x， 2 0,x （ 12 xx） ， 有 21 21 0 f xf x xx 则（ ） A 321fff B 123fff C 213fff D 312fff 6、 设 f x为定义在R上的奇函数，当0x时， 22 x f xxb，则1f （ ） A3 B1 C1 D3 7、 已知定义
9、在R上的奇函数 f x是一个减函数，且 12 0xx， 23 0xx， 31 0xx，则 123 f xf xf x的值（ ） A大于0 B小于0 C等于0 D以上均有可能 8、 若 logaf xx在2, 恒有 1f x ，则实数a的取值范围为（ ） A 1 , 1 2 B 1 0 ,1, 2 2 C1, 2 D 1 0,2, 2 9、 若函数 f x、 g x分别为R上的奇函数、偶函数， 且满足 exf xg x，则有 （ ） A 230ffg B 032gff C 203fgf D 023gff 10、 已知函数 f x满足 1 2 1 f x f x f x ， 123f， 则9 9
10、71 0 0 1ff的值为 （ ） A4 B0 C2 3 D2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A A A A D A C D C 考点：函数的奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： 3.1 函数的奇偶性 经典精讲 32 3 2yxx； 2 x y ； sin x y x ； 11yxx 判断下列函数的奇偶性： 1 1 1 x yx x ； 1 lg 1 x y x ； 1612 2 xx x y ； 2 2 ,0 ,0 xxx y xxx 【解析】 奇函数；偶函数；偶函数；非奇非偶函数； 非奇非偶函数；奇函数；偶函数；奇函数 【备注】设置这两组例题的目的是为了： 考虑函
11、数的单调性，先考虑函数的定义域； 熟悉一些具有奇偶性的典型函数的结构，尤其是有关多项式函数的； 对于复杂函数，总是回归定义考查奇偶性 考点：函数的奇偶性的应用 【例2】 若 1 21 x f xb ，1,3xaa是奇函数，则a ；b 已知 f x是R上奇函数，则函数211yfx的图象必经过点 ； 若偶函数 f x满足当0x时， 2 2f xxx，则当0x 时， f x ； 不等式 0f x 的解集为 函 数 f x、 g x均 定 义 在R上 且 f x为 奇 函 数 ， g x为 偶 函 数 ， 23 1f xg xxx ，则 f x的解析式是 ， g x的解析式为 【解析】 1a ， 1
12、2 b 1 , 1 2 2 2xx，,22, 注意画函数图象解决问题 3 f xx ， 2 1g xx 【拓1】 已知 53 8f xxaxbx，且210f ，则 2f 已知函数 2 2 1sin 1 xx f x x 的最大值和最小值之和为 【解析】 26； 2 考点：函数的单调性的判断 【例3】 已知函数yax和 b y x 在区间(0)，上都是减函数，则函数1 b yx a 在R上的单 调性是_ （填增函数或减函数或非单调函数） 已知函数 23 12f xax在,上为减函数，则a的取值范围为_ 3.2 函数的单调性 33 若函数 2 2013f xxax在, 2上单调递减，在2, 上单调
13、递增，则实数a 的值为_ _ 若函数 2 212f xxax在区间, 4上为减函数，则a的取值范围是 【解析】 减函数； 1a 或1a ； 4； 3a 考点：函数的单调性的应用 【例4】 已知在区间0, 上函数 f x是减函数，且当0x 时， 0f x 若0ab，则 （ ） A bf aaf b B af abf b C af bbf a D bf baf a f x是定义在3, 4上的减函数，则不等式2110fxf x的解集为 _ 【解析】 C； 1, 2 考点：函数的单调性与奇偶性的综合应用 【例5】 已知偶函数 f x在区间0, 单调递增，则满足 1 21 3 fxf 的x取值范围 是
14、； 定义在R上的偶函数 f x满足： 对任意的 1 x， 2 , 0x ， （ 12 xx） ，有 2121 0xxf xf x 则当 * nN时，fn，1f n，1f n三者从小到大的关系为 ； 若函数 f x为奇函数，且在0，内是增函数，又 20f，则 0 f xfx x 的 解集为 已知函数 3 f xxx，则0ab是 0f af b的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既非充分也非必要条件 【解析】 12 , 33 11f nfnf n 2002 ， C； 【拓2】 定义在R上的偶函数 f x在0, 上递增， 1 0 3 f ，则满足 1 8 log0fx 的
15、x的取 值范围是 ； 设 f x是连续的偶函数， 且当0x 时 f x是单调函数， 则满足 3 4 x f xf x 的所有x 之和为 A3 B3 C8 D8 已知 3 1201320120xx， 3 1201320140yy，则xy 34 设 f x为奇函数，且当0x时， 2 fxx，若对任意,2xaa，不等式 2fxafx恒成立，则实数a的取值范围是 【解析】 1 0,2, 2 8 2 2 , 考点：函数的周期性的判断与应用 【例6】 定 义 在R上 的 函 数 f x满 足 1fxfx ， 且 110 101 x f x x ， ， ， 则 2011f_ 函 数 f x对 于 任 意 实
16、 数x满 足 条 件 1 2f x f x ， 若 15f， 则 2009ff 定义在R上的函数 f x满足 2 log10 120 xx f x f xf xx ， ， ，则2013f的值 为 【解析】 1； 1 5 ； 2 考点：函数的性质的综合应用 【例7】 设函数 f x是以 2 为周期的奇函数，已知0, 1x， 2xf x ，则 f x在1, 2上 是（ ） A增函数且 0f x B减函数且 0f x C增函数且 0f x D减函数且 0f x 已知函数 f x是,上的偶函数，若对于0x，都有 2f xf x，且当 02x，时， 2 log1f xx，则20122013ff的值为 ；
17、 定义在R上的函数 f x既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期若将方程 0f x 在闭区间,TT上的根的个数记为n，则n可能为（ ） A0 B1 C3 D5 【解析】 C； 1 3.3 函数的周期性 35 D； 一、选择题 1、 设函数 f x是定义在R上的奇函数，且32f ，则 30ff（ ） A3 B3 C2 D7 【解析】 C 2、 函数 3 sin1f xxx（xR） ，若 2f a ，则fa的值为（ ） A3 B0 C1 D2 【解析】 B 3、 已知函数 f x为R上的减函数，则满足 1 1ff x 的实数x的取值范围是（ ） A1, 1 B0, 1 C1, 00, 1 D
18、,11, 【解析】 D 4、 若 f x是R上周期为4的奇函数，且满足11f ，则20132012ff（ ） A1 B1 C2 D2 【解析】 A 5、 定义在R上的函数 f x满足： 213f xf x， 12f，则99f（ ） A13 B2 C 13 2 D 2 13 【解析】 C 6、 已知 f x是定义在R上的偶函数，且在区间0, 上是增函数令 2 sin 7 af ， 5 cos 7 bf ， 5 tan 7 cf ，则（ ） Abac Bcba Cbca Dabc 【解析】 A 二、填空题 7、 已 知m为 非 零 实数 ， 若函 数lg1 1 m y x 的 图 象 关于 原 点
19、成 中 心对 称 ，则 m 【解析】 2 8、 函数 0.50.5 log1log3f xxx的单调递减区间是 【解析】 3, 9、 已知 2 f xxx，则 1 fa a 1f 【解析】 10、 若函数 2 12 x x k f x k 在定义域上为奇函数，则实数k 课后习题 36 【解析】 1 11、 已 知函数 yf x是 偶函数，当0x 时 ， 4 fxx x ，且 当3,1x 时， nfxm恒成立，则m n的最小值是 【解析】 1 三、解答题 12、 已知函数 f x满足 2 1 log 1 a a fxx ax ，其中0a ，1a 对于函数 f x，当1, 1x 时， 2 110fmfm，求实数m的取值范围； 当, 2x 时， 5 2 f x 的值恒为负数，求a的取值范围 【解析】 1,2 1 , 2 2 13、 已知函数 1 lg 1 kx f x x （kR，且0k ） 求函数 f x的定义域； 若函数 f x在10, 上单调递增，求k的取值范围 【解析】 1k 时， f x的定义域为,11,； 01k时， f x的定义域为 1 , 1, k ； 1k 时， f x的定义域为 1 ,1, k 1 , 1 10
