1、 57 本讲分三小节，分别是不等式的性质、解不等式和均值不等式，建议用时 3 小时本讲的重点应 该放在常见不等式的解法和均值不等式的应用上解不等式一般最后都可以转化为解一元二次（或高 次）不等式，需要强调的是转化过程中要和原不等式保持等价，特别是分母和根号的处理不能疏忽对 于含参的一元二次不等式，因为在导数部分会大量出现，用分类讨论来解决的思想必须熟练掌握用 均值不等式（基本不等式）求最值要领会“凑”的想法，注意等号成立的条件 第一小节为不等式的性质，共 1 道例题 例 1 主要是利用不等式的性质来比较大小； 第二小节为解不等式，共 4 道例题，讲一些常见不等式的解法 例 2 主要是解一元二次
2、不等式； 例 3 主要是解分式不等式； 例 4 主要是解绝对值不等式； 例 5 主要是解无理不等式； 第三小节为均值不等式的应用，共 3 道例题 例 6 是均值不等式的凑的思想的体会； 例 7 是一类比较常见的问题，需要将已知条件和所求的式子综合处理，然后才能用均值不等式； 例 8 是需要多次使用均值不等式才能解决的问题 一、不等式的基本性质： abba； ab bcac，； abacbc； 0ab cacbc，；0ab cacbc，； ab cdacbd，； 00abcdacbd，； 0 nn abab且 nn ab（2nnN， ） 知识梳理 知识结构图 第 6 讲 不等式的性质与 均值不等
3、式 58 二、解不等式 1、一元二次不等式 解一元二次不等式的步骤：把二次项的系数变为正的；解对应的一元二次方程（先看能否因 式分解，若不能，再看，最后求根） ；求解一元二次不等式（根据一元二次方程的根及不等式的方 向） 2、分式不等式 对于含有分式的不等式解法思路：先将不等式整理为 0 f x g x 或 0 f x g x ，再化为整式不等式 求解 00 f x f x g x g x ； 0 0 0 f x g x f x g xg x 数轴标根法（穿根法） ： 使用范围：对于能分解成一些一次因式的乘积或一次因式的商的不等式 注意事项：每个一次因式中x的系数都为正；对于高次因式先约去其次
4、数 3、绝对值不等式 化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式： 0f xa aaf xa ； 0f xa af xa 或 f xa； f xg xg xf xg x ； f xg xf xg x 或 f xg x； 22 f xg xf xg x 【备注】对于形如xaxbm或xaxbm（0m 为常数）的不等式，利用实数绝对值 的几何意义，数形结合求解较简便 4、无理不等式 无理不等式往往需要转化为有理不等式组进行求解常见类型及解法如下： 0 0 g x f xg x f x 或 2 0g x f xg x ； 2 0 0 f x f xg xg x f xg x 三、均值不等式 1、基本不等
5、式： 2 ab ab （a b R，当且仅当ab时取到等号） 2、用基本不等式求最值问题： 用2abab求最小值，用 2 22 22 abab ab 求最大值 【备注】用基本不等式求最值：和定积最小，积定和最大 3、应用基本不等式的注意条件： 一正（要保证各项同时为正） 、二定（凑出和定、积定等形式） 、三相等（求最值时等号要保证可 59 以取到） 、四同时（如果使用不止一次基本不等式，要求等号同时取到） （2012 北京理） 已知集合|320AxxR，|130BxxxR， 则AB（ ） A1， B 2 1 3 ， C 2 3 3 ， D3， 【解析】 D； 1、 设0ab ，若ab，则下列不
6、等式一定成立的是（ ） A 22 ab B 22 aba b C 22 11 aba b D ba ab 2、 若 11 0 ab ，则下列不等式中，正确的个数为（ ） abab；ab；ab；2 ba ab A1 B2 C3 D4 3、 已知关于x的不等式 2 0xaxb的解集为(13)，则2ab（ ） A2 B7 C10 D11 4、 不等式 1 0 21 x x 的解集为（ ） A 1 1 2 ， B 1 1 2 ， C 1 1 2 ， D 1 1 2 ， 5、 不等式 73 3 x x x 的解集为（ ） A 31 3， B 3 13， C31 3， D 3 13， 6、 下列不等式一定
7、成立的是（ ） A 2 1 lglg 4 xx B 1 sin2 sin xxkk x Z， C 2 1 1 1 x x R D 2 12xx xR 7、 若不等式42kx的解集为13xx ，则实数k _ 8、 不等式521xx的解集为_ 9、 已知xyz R， ，且满足230xyz，则 2 y xz 的最小值为_ 10、 若a，b R且 2 2 1 3 b a ，则 2 1ab的最大值为_ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 小题热身 真题再现 60 C B C A C D 2 2， 3 2 3 3 考点：大小比较与不等关系 【例1】 比较大小，在下面题中的每个横线上填上“”、“”、“
8、”三者之一： 0ab，则 1 a _ 1 b ； 0ab，则 b a _1； 0ab，0cd，则 a d _ b c 若 1 0 2 ab，则（ ） A22 aba B22 abb C 2 log1ab D 2 log2ab （2011 浙江 7）若ab，为实数，则“01ab”是“ 1 a b 或 1 b a ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】 ； D A； 考点：解一元二次不等式 【例2】 不等式组 2 2 10 30 x xx 的解集为（ ） A( 1 1) ， B(01)， C(03)， D( 13) ， 2 1 |02
9、3 x axbxc ，则关于x的不等式 2 0cxbxa的解集是_ 解关于x的不等式： 2 40()xaxaR； 22 224 0 21 xaxa a ；01212 2 axxa 【解析】 B 1 3 2 ，； 2 16a ， 当44a 时，0 ，不等式的解集是R； 当4a 时，不等式的解集是|2x x ； 当4a 时不等式的解集是|2x x ； 6.2 解不等式 6.1 不等式的性质 61 当4a 或4a 时，不等式的解集是 22 1616 22 aaaa ， 原不等式等价于 1 (6 )(4 )0 21 xa xa a ，既要讨论21a 的正负，还要比较根的大小 0a 时解集是(4 )(6
10、)aa，；0a 时解集是|0x x ； 1 0 2 a时解集是(6 )( 4)aa，； 1 2 a 时解集是(64 )aa， 当 1 2 a 时，不等式的解集为 1 1 21a ，；当 1 2 a 时，不等式的解集为(1)，； 当 1 1 2 a时， 不等式的解集为 1 1 21a ，； 当1a 时， 不等式的解集为1(1)，； 当1a 时， 不等式的解集为 1 (1) 21a ， 【拓1】 已知函数 1 3 1 log 12 x f x xx ，解不等式 11 22 fx x 【解析】 解集为 1171117 , 0, 424 ； 考点：解分式不等式 【例3】 不等式 23 (3)(9) 0
11、 (1) x x xx 的解集是_ 解关于x的不等式 1 1 2 ax x 【解析】 (0)(0 1)39， 1a 时，解集是 3 (2) 1a U，；1a 时解集是(2)，； 1 1 2 a时解集是 3 2 1a ，； 1 2 a 时解集是； 1 2 a 时解集是 3 2 1a ， 考点：解绝对值不等式 【例4】 写出下列不等式的解集： 22xx xx ； 1 1 1 x x 若不等式34xb的解集中的整数有且仅有123， ，则b的取值范围为_ 关于x的不等式 2 121xxaa的解集为空集， 则实数a的取值范围是_ 【解析】 (02)，；(0)，； 57，； ( 1 0) ，； 【拓2】
12、a，b满足何条件，可使 2 2 1 22 xaxb xx 恒成立 【解析】 2a 且02b 考点：解无理不等式 62 【例5】 解下列不等式： 21x ； 212xx； 32xx 【解析】 1,； 2 , ； 35 , 3 2 均值不等式均值不等式：均值不等式是高中所学的重要的恒成立不等式，均值不等式的实质是配方， 作用是和积互化；除了求函数最值和取值范围时常用到均值不等式，均值不等式也是证明 各种不等式的重要工具实际应用中，除了“一正二定三相等”以外，灵活的变形和转化也 是必不可少的 有三类常见的求取值范围问题都可以用均值不等式解决： 分子分母都不高于二次的分式不等式 2 111 11 2
13、111 ( )( ,0) d xe xf f xa d a xb xc 先化简( )f x： 122 2 1111 ( ) de xf f x aa xb xc ， 去掉常数项转化成求真分式 22 2 111 ( ) e xf g x a xb xc 的范围； 然后取倒数，转化成求 2 1112 22 2222 1 ( ) ( ) a xb xcc h xa xb g xe xfe xf 的范围； 再换元 22 e xft， 2 2 tf x e 代入，转化成 2 33 ( )( ) c u th xa tb t ，下面求( )u t的范 围用均值不等式、用配方、用函数单调性都可以 已知AxB
14、yC，求 DE xy 的范围； 这类题型如直接使用2CAxByABxy，然后 4 2 DEDEABDE xyxyC 极其容 易错解，因为两个等号成立的条件不一定相同正确做法是把1写成 AxBy C ，然后配 给待求式子： DEDEAxBy xyxyC 2 2 1 2 ADBEAE xBD yADBEABDE ADBE CC yC xCCC （使用二元的柯西不等式也可以得到这个结果） 已知AxByCxyM，求xy的范围； 这类题型的解决办法是：2MABxyCxy，然后把xy视作变量t，解不等式 2 2MABtCt； 知道xy的范围之后，代入AxByCxyM还能求出AxBy的范围 考点：均值不等式
15、凑形式 【例6】 下列命题正确的是（ ） A 1 yx x 的最小值为2 B 4 23(0)yxx x 最小值为24 3 6.3 均值不等式 63 C 2 2 5 4 x y x 最小值为2 D 4 23(0)yxx x 最大值为24 3 已知 5 4 x ，则函数 1 42 45 yx x 的最大值是_ 42 2 33 1 xx y x 的最小值是_ 设0 2 x ，则函数 2 2sin1 sin2 x y x 的最小值为 【解析】 D 1；33 【拓3】 已知ab，为正数， 且直线2360xby与直线50bxay互相垂直， 则23ab的最 小值为 来源：学科网 【解析】 25； 考点：均值
16、不等式的变形使用 【例7】 已知00xy，且 14 4 xy ，则xy的最小值为_ 设00ab，若3是3a与3b的等比中项，则 11 ab 的最小值为（ ） A8 B4 C1 D 1 4 （2010 宣武一模理 13） 若,ABC为ABC的三个内角，则 41 ABC 的最小值为 （2010 丰台一模理 7）设0 ,0 ,24ababab，则（ ） Aab有最大值8 Bab有最小值8 Cab有最大值8 Dab有最小值8 【解析】 9 4 ； B 9 B 【拓4】 已知不等式 1 ()9 a xy xy 对任意正实数xy，恒成立，则正实数a的最小值为（ ） A2 B4 C6 D8 （2011 浙江
17、理 16）设,x y为实数，若 22 41xyxy，则2xy的最大值是_ 【解析】 B； 2 10 5 ； 考点：均值不等式的多次使用 对于某些较复杂的问题，均值不等式可以多次使用来简化过程，快速得出结果但是多次 使用均值不等式一定要注意等号成立的条件，避免等号不能同时成立而导致错解 例如已知0xy ，且1xy ，求(2)(1)xy的最小值 如果连用均值不等式就会得到：(2)(1)2 224 2xyxy， 但这个等号成立的条件是2x 且1y ，与1xy 矛盾，所以这个等号是无法取到的，这个 64 解答是错误的正确解法是(2)(1)223232 232 2xyxyxyxyxy， 当 2 2 2
18、xy，时取到等号 以下情况时可以考虑多次使用均值不等式： 取等号的条件简单，容易看出等号可以同时成立的情形； 这种情形当然可以放心使用均值不等式参见例 8题 变量较多，而且变量对取值的影响范围不一致情形； 这种情形可以先固定对取值影响范围较大的变量，先考虑对取值影响范围最小的变量； 将其取到最值后，再考虑影响范围次小的变量，依次下去直到最后一个变量例 8与 拓 6 就是很好的例子 如果等号是否同时成立难以判断，一定不要贸然多次使用均值不等式这种情形下比较稳 妥的方法是：先将式子变形化简，将变元统一化力求尽可能减少变元的个数，再使用均值 不等式这样能够有效减少对均值不等式的不必要使用，规避出错的
19、风险 【例8】 （2009 重庆 7）已知0a ，0b ，则 11 2 ab ab 的最小值是（ ） A2 B2 2 C4 D5 设a、b都是正数， 且21ab， 设 22 24Tabab， 则当a _， 且b _ 时，T有最大值为 已知0ab，则 2 16 () a b ab 的最小值是_ 【解析】 C； 1 4 ； 1 2 ； 21 2 16； 【点评】 题中先固定a，考虑b变化时()f a b，的最小值( )g a，再考虑( )g a的最小值，这样能保证先 取到b的等号，再取到a的等号如果先考虑a的变化，这时候b就是一个不明待定系数，a 的最值情况可能异常复杂 【拓5】 对于任意的锐角，
20、都有 22 sincos cossin ，试求的取值范围 【解析】 2 2 ， 【拓6】 （2010 四川理 12）设0abc，则 22 11 21025 () aacc aba ab 的最小值是（ ） A2 B4 C2 5 C5 【解析】 B 65 一、选择题 1、 若0ab，则下列结论中正确的命题是（ ） A 11 ab 和 11 ab 均不能成立 B 11 aba 和 11 ab 均不能成立 C不等式 11 aba 和 22 11 a b b a 均不能成立 D不等式 11 ab 和 22 11 ab ba 均不能成立 【解析】 B 2、 （2013 海淀一模）集合|6AxxN， 2 |
21、30BxxxR，则AB（ ） A345， ， B456， ， C|36xx D|36xx 【解析】 B 3、 （2013 丰台一模）已知aZ，关于x的一元二次不等式 2 60xxa的解集中有且仅有 3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ） A13 B18 C21 D26 【解析】 C； 4、 当 0 2 x时，函数 2 1cos28sin ( ) sin2 xx f x x 的最小值为（ ） A2 B2 3 C4 D4 3 【解析】 C 5、 若a是12b与12b的等比中项，则 2 2 ab ab 的最大值为（ ） A 2 5 15 B 2 4 C 5 5 D 2 2 【解析】 B； 二、
22、填空题 6、 已知正实数xyz， ，满足 11 2x xyz yz ，则 11 xx yz 的最小值为 【解析】 2 7、 （2010 浙江 15）若正实数X，Y满足26XYXY，则XY的最小值是 【解析】 18 8、 已知函数log21 a yx01aa，的图象恒过定点A，若点A在直线10mxny 上，其中0mn ， 则 31 mn 的最小值为 课后习题 66 【解析】 16 9、 已知00xy，且2xy，则 4 xy xy 的最小值为_ 【解析】 5； 10、 设x y z，为正实数，且满足1xyz ，则 111 111 xyz 的最小值是 【解析】 8 三、解答题 11、 解关于x的不等
23、式 223 ()0xaa xa 【解析】 2232 ()()()xaa xaxa xa比较两根的大小： 2 aa01a； 当1a 或0a 时， 2 aa，不等式的解集是 2 ()()aaU，； 当01a时， 2 aa，不等式的解集是 2 ()()aaU，； 当1a 时， 2 1aa，不等式的解集是|1x x ； 当0a 时， 2 0aa，不等式的解集是|0x x 12、 解关于x的不等式 (1) 1 2 ax x 【解析】 当2a 时，解集是 2 (2) 2a U，； 当2a 时，解集是(2)，；当12a时，解集是 2 2 2a ，； 1a 时解集是；1a 时，解集是 2 2 2a ， 13、 已知abc， ，都是正数，求证： 222 2 abcabc bccaab 【解析】 22 2 44 abcabc a bcbc ，类似的有 2 4 bca b ca ， 2 4 cab c ab 上面三个式子相加后，化简即可得 222 2 abcabc bccaab
