高三理科数学暑期讲义 第4讲.复合函数、抽象函数、函数零点 教师版
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1、 38 1、复合函数的性质: 对于单调性,有“同步增,异步减” 对于奇偶性,若每层函数均有奇偶性,则有“全奇才奇,有偶则偶” 对于周期性,内层函数为周期函数的复合函数仍为周期函数 2、抽象函数往往有它所对应的具体函数模型,常见的抽象函数模型有: 正比例函数: f xyf xf y; 指数函数: f xyf x f y; 对数函数: f xyf xf y; 幂函数: f xyf x f y 3、函数的零点 满足 0f a 的a叫做函数 f x的零点,即方程 0f x 的实数根,也即函数 yf x的图象 与x轴的交点的横坐标 零点定理:若函数 yf x在闭区间,ab上的图象是连续不断的曲线,并且在
2、区间端点的函 数值符号相反,即 0f af b则在区间,a b内,函数 yf x至少有一个零点特别的,如果 函数在此区间上单调,则函数 yf x在此区间上有且只有一个零点 零点个数的判断通常借助函数图象,零点问题和交点问题往往需要通过互相转化解决 知识梳理 知识结构图 第 4 讲 复合函数、 抽象函数、函数零 39 1、 (2007 北京理)对于函数 lg21f xx, 2 2f xx, cos2f xx, 判断如下三个命题的真假: 命题甲:2f x是偶函数; 命题乙: f x在, 2上是减函数,在2, 上是增函数; 命题丙: 2f xf x在, 上是增函数 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数
3、的序号是 A B C D 【解析】 D 2、 (2011 北京理 13)已知函数 3 2 2 12 x x f x xx , , ,若关于x的方程 f xk有两个不同的 实根,则实数k的取值范围是 【解析】 0, 1; 1、 2 1 3 log54yxx的单调递增区间为( ) A, 1 B 5 , 2 C 5 , 4 2 D4, 2、 设函数 x f xa(0a 且1a ) , 24f,则( ) A21ff B12ff C 12ff D 22ff 3、 已知 log2 a f xax是0, 1上的减函数,则a的值可能为( ) A 1 2 B 3 2 C2 D3 4、 已知函数 2xf xx,
4、2 logg xxx, 2 log2h xx的零点分别为a、b、c,则 ( ) Aabc Bacb Cbac Dcab 5、 已知函数 2f xxaxb(ab) , 并且、是方程 0f x 的两个根 () , 则实数a、b、的大小关系是( ) Aab Bab Cab Dab 6、 已知函数 2 2f xxxc, 1 fxf x, 1nn fxffx (2n,n N) ,若函 数 n fxx不存在零点,则c的取值范围是( ) A 1 4 c B 3 4 c C 9 4 c D 9 4 c 7、 下列关于函数 log1 x a f xa(0a 且1a )的命题: 小题热身 真题再现 40 无论a取
5、何值, f x均为R上的增函数; 无论a取何值, f x的值域均为R; 无论a取何值, f x一定有零点; 存在某个a,使得 f x恰好有两个零点 其中正确的命题个数为( ) A0 B1 C2 D3 8、 若单调函数 f x(xR)满足 f xyf xf y,则 f x的值域为( ) AR B, 00, C0, D不能确定 9、 已知函数 2 243f xxx , 设 F xp f f xf x , 其中p为负实数 若 F x 在区间,3上是减函数,在区间3, 0上是增函数,则p的值为( ) A1 B 1 8 C 1 16 D 1 2 10、 已知函数 2 f xaxbxc(0a ) ,则关于
6、x的方程 2 0m f xnf xp (实数 ,0abcmnp)的解集不可能是( ) A1, 2 B1, 4 C1, 2, 3, 4 D1, 4, 16, 64 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A B A A C C C C D 考点:复合函数的定义域与值域 【例1】 函数 1 2 x f x 的定义域为 ,值域为 函数 2 1 1 ( ) 2 x f x 的定义域为 ,值域为 函数 2 11 22 loglog2yxx 的定义域为_,值域为_ 【解析】 0, ,0, 1; 1 1 , 1 , 1 2 ; 1 04 2 ,0),; 【例2】 已知函数 2 lg21f xaxx的定
7、义域为R,求实数a的取值范围 已知函数 2 lg21f xaxx的值域为R,求实数a的取值范围 4.1 复合函数 经典精讲 41 【解析】 1, ; 0,1; 【拓1】 已知 3 2logf xx,1, 9x,求函数 2 2 yf xf x 的值域 设 2 ,1 ( ) ,1 xx f x xx ,( )g x是二次函数,若 fg x 的值域是 0, ,求函数( )g x的值 域 设2, 8x,函数 2 1 ( )loglog 2 aa f xaxa x的最大值是 1,最小值是 1 8 ,求a的值 【解析】 6 ,13 0, 1 2 a 考点:复合函数的性质初步 【例3】 函数 2 1 2 l
8、og56yxx的单调增区间为( ) A 5 2 , B(3), C 5 2 , D(2), 函数 2 2 1 2 xx y 的单调递增区间是( ) A 1 1, 2 B,1 C2, D 1 , 2 2 函数421 xx y 的值域为_,单调递减区间为_ 【解析】 D; D; 3 , 4 ;,1 考点:复合函数的性质综合 【例4】 函数 2 1 2 log23fxxax,若 f x在, 1内是增函数,则a的取值范围为 _; 若 f x的单调递增区间是, 1,则a的取值范围为_ 已知函数 3 1 1 ax f xa a ,若 f x在区间0,1上是减函数,则实数a的取值范 围是 若函数 2 log
9、2 a f xxx(0a 且1a )在区间 1 0, 2 内恒有 0f x ,则 f x的 单调增区间是 【解析】 1 2),;1 , 01, 3; 42 1 , 2 考点:抽象函数的函数值问题 【例5】 若奇函数 f x(xR)满足 21f, 22f xf xf,则 1f ; 定义在实数R上的函数 yf x具有如下性质: 对任意xR,都有 3 3 f xf x ; 对任意 12 xx R,且 12 xx,都有 12 f xf x 则 101fff_ 已知函数 f x(xR)满足 12f, 2f xyf xf yxy,则 2f , 3f ,3f f x是定义在(0),上的增函数, 对正实数x、
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