1、 64 一、弧度制与任意角的三角函数一、弧度制与任意角的三角函数 1角的概念：一条射线绕着端点旋转所成的图形按其旋转方向分为：正角，零角，负角 2任一已知角的弧度数的绝对值 l r ；180 rad， 180 1rad57.30 ； 3三角函数定义：在平面直角坐标系中，()P xy，为终边上原点外的任意一点， 22 rxy， 的正弦：sin y r ；余弦：cos x r ；正切：tan y x ； 4同角三角函数的基本关系式： 22 sincos1xx， sin tan cos x x x 5诱导公式： 角 2 k()kZ与的三角函数值的关系：奇变偶不变，符号看象限 （k的奇偶，函数名互变）
2、 二、三角函数的图象与性质二、三角函数的图象与性质 1正弦函数sinyx xR， 图象：正弦曲线（如右） ； 定义域：R；值域： 1 1 ，；周期：2； 奇偶性：奇函数； 单调增区间： 2 ,2 () 22 kkk Z；单调减区间： 3 2 ,2 () 22 kkk Z 2余弦函数cosyx xR，的图象由正弦曲线向左平移 2 个单位； 知识结构图 知识梳理 第 8 讲 三角函数 y x O 2 - -2 65 3正弦型函数sin()yAx，可由正弦函数经过平移与伸缩变换得到，可以研究它的性质； 4正切函数 tan() 2 yxxkkZ，； 三、三角恒等变换三、三角恒等变换 1两角和与差的三角
3、函数 正弦公式：S:sinsincoscossin ， S:sinsincoscossin ； 余弦公式： + C:coscoscossinsin ， C:coscoscossinsin ； 正切公式： tantan T:tan 1tantan ， tantan T:tan 1tantan 2二倍角公式 sin22sincos； 2222 cos2cossin2cos1 12sin ； 2 2tan tan2 1tan 3辅助角公式 22 sincossinaxbxabx，其中tan b a 尖子班学案尖子班学案 1 【铺【铺1】 （2008 宣武二模文 2）已知sincos1，则角所在象限是
4、（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解析】 B 考点考点：任意角的三角函数、同角三角函数关系、诱导公式：任意角的三角函数、同角三角函数关系、诱导公式 【例1】 若为第二象限角且coscos 22 ，则 2 在第_象限 记cos( 80 )k ，那么tan100 （ ） A 2 1k k B 2 1k k C 2 1 k k D 2 1 k k 设 0 4 ，若 6 sincos 2 ，则1 tan 1tan 已知 1 sin 64 x ，则 2 5 sinsin 63 xx _ 【解析】 三 为第二象限角时， 2 是哪个象限角， 3 是哪个象限角？ 2 , 2 2 kk
5、（k Z），于是 , 242 kk ， 讨论k的奇偶可得 2 为第一或第三象限角； 2 2 , 33633 kk ，当0,1, 2k 时，得到 3 为第一、 二、四象限角 经典精讲 12 3 4 1 2 3 4 y x 4 3 2 1 66 也可通过直接划分象限得到，以判断 3 所在象限为例： 将每个象限平均分为三份（因为判断的是 3 ），从x轴正 半轴开始，依逆时针方向分别循环标上1, 2, 3, 4，如图， 当为第二象限角时，所有标上2的部分为 3 可能在的位 置 B 3 19 16 【备选】 已知长为3，宽为1的长方形木块，在桌面上无 滑动地翻滚，翻滚到第四次时被一个小木板档住， 如图，
6、使木板底面与桌面成30的角，问点A走 过的路程及走过的弧度所在的扇形的总面积 【解析】 三段圆弧所对扇形的总面积为 2 22 1117 213 2222234 尖子班学案尖子班学案 2 【铺【铺1】 （2010 海南文 10）若 4 sin 5 ，是第三象限的角，则 sin 4 （ ） A 7 2 10 B 7 2 10 C 2 10 D 2 10 【解析】 A 目标班学案目标班学案 1 【铺【铺2】 tan20tan403tan20 tan40的值是_ 【解析】 3 考点考点：三角恒等变换：三角恒等变换 【例2】 （2009 东城二模文 6）若 3 cos 25 ， 4 sin 25 ，则角
7、的终边在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2008 山东文 10）已知 4 3 cossin 65 ，则 7 sin 6 的值是（ ） A 2 3 5 B 2 3 5 C 4 5 D 4 5 已知 2 cos 410 x ， 3 24 x ，求sin x、 sin 2 3 x 与 tan 2 4 x 的值 【解析】 B 30 3 A3 A2 A1 DCB A 67 C sin x 4 5 ； 247 3 sin 2 350 x ； 31 tan 2 417 x 【备选】 求 cos10 (tan103) sin50 的值 【解析】 2 尖子班学案尖子班学案 3 【铺【铺
8、1】 （2009 天津理 7） 已知函数 sin 4 f xx 0 xR，的最小正周期为， 为了得到函 数 cosg xx的图象，只要将 yf x的图象（ ） A向左平移 8 个单位长度 B向右平移 8 个单位长度 C向左平移 4 个单位长度 D向右平移 4 个单位长度 【解析】 A 考点考点：正弦型函数：正弦型函数与与图象变换图象变换 【例3】 （2010 福建文 10）将函数( )sinf xx的图象向左平移 2 个单位若所得图象与 原图象重合，则的值不可能等于（ ） A4 B6 C8 D12 （2009 天津文 7） 已知函数 sin 4 f xx 0 xR，的最小正周期为， 将 y f
9、 x 的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（ ） A 2 B 3 8 C 4 D 8 （2010 天津文 8）右图是函数sinyAxxR，在区间 5 66 ，上的图象为了得到这个函数的图象，只要将 sinyx xR的图象上所有的点（ ） A向左平移 3 个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原 来的 1 2 倍，纵坐标不变 B向左平移 3 个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C向左平移 6 个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变 D向左平移 6 个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【解析】 B D
10、 3 5 6 - 6 O -1 1 x y 68 A 目标班学案目标班学案 2 【拓2】 （2010 辽宁理 5）设0，函数 sin2 3 yx 的图象向右平移 4 3 个单位后与原图 象 重合，则的最小值是（ ） A 2 3 B 4 3 C 3 2 D3 （2011 江南十校二模文 8）若将函数 sin 6 yAx 0,0A的图象向左平移 6 个 单位后得到的图象关于原点对称，则的值可能为（ ） A2 B3 C4 D5 【解析】 C D 考点：正弦型函数考点：正弦型函数的的图象性质图象性质 【例4】 （2010 朝阳一模文 4） 下列函数中， 最小正周期为， 且图象关于直线 3 x 对称的是
11、 （ ） Asin 2 6 yx Bsin 23 x y Csin 2 3 yx Dsin 2 6 yx （2010 重庆文 6 改编）下列函数中，是偶函数，且在 42 ，上为减函数的是（ ） A sin 2 2 yx B cos 2 2 yx C sin 2 yx D cos 2 yx （2009 全国文 10）如果函数3cos 2yx的图象关于点 4 3 ， 0中心对称，那么的 最小值为（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 （2010 东城二模文 14 改编）已知函数( )sinf xx， ( )sin 2 2 g xx ，有下列命题： 当2时，( ) ( )f x g x的最小正周期是
12、 2 ； 当1时，( )( )f xg x的最大值为 9 8 ，最小值为2； 当2时，将函数( )f x的图象向左平移 2 可以得到函数( )g x的图象 当2时，( )( )f xg x的对称中心为 3 , 0 () 28 k k Z 其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号都填上） 【解析】 D A A 69 【备选】 （2010 江苏 10）设定义在区间 0 2 ，上的函数6cosyx的图象与5tanyx的图象的交点 为P， 过点P作x轴的垂线， 垂足为 1 P， 直线 1 PP与函数sinyx的图象交于点 2 P， 则线段 12 PP 的长为 【解析】 2 3 考点考点：三角函
13、数性质综合：三角函数性质综合 【例5】 （2010 海淀一模文 15）已知函数 sin,f xAxxR（其中00A， 22 ） ，其部分图象如图所示 求 f x的解析式； 求函数 ( ) 44 g xfxfx 在区间 0 2 ，上的最大值及 相应的x值 【解析】 ( )sin 4 f xx ； 当 4 x 时，( )g x取得最大值 1 2 【备选】 已知函数 2 2sin3cos2 4 f xxx ， 求 f x的周期和单调递增区间； 若关于x的方程 2f xm在 , 42 x 上有解，求实数m的取值范围 【解析】 单调递增区间为 5 , 1212 kk ，kZ 0,1m 考点：三角函数与二
14、次函数结合考点：三角函数与二次函数结合 【例6】 是否存在实数a， 使得函数 2 53 sincos 82 yxaxa在闭区间 0, 2 的最大值为1？若存在， 求出对应的a值；若不存在，请说明理由 【解析】 存在 3 2 a 满足题意 【备选】 设函数 2 ( )sincosf xxxa， 若( )0f x 有实数根，试确定实数a的取值范围 若 17 1( ) 4 f x对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围 - 4 4 1 O y x 70 【解析】 5 , 1 4 a 23a 已知 1 sincos 5 ，且是第二象限角，则cos2的值是_ 【解析】 7 cos2 25 （2011 北京
15、文 15） 已知函数 ( )4cos sin1 6 f xxx 求( )f x的最小正周期： 求( )f x在区间 64 ，上的最大值和最小值 【解析】 ( )f x的最小正周期为 ( )f x的最大值为 2； ( )f x的最小值为 1 【演练 1】 （2009 海淀一模文 1）若sin20，且cos0，则角是（ ） A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 【解析】 C 【演练 2】（2010 崇文二模文 4）把函数sin()yx xR的图象上所有的点向左平移 6 个单位长度， 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数 为（ ）
16、 A sin 2 3 yxx R， B 1 sin 26 yxx R， C sin 2 3 yxx R， D 1 sin 26 yxx R， 真题再现 实战演练 71 【解析】 B 【演练 3】 （2010 陕西文 3）对于函数( )2sin cosf xxx，下列选项中正确的是（ ） A( )f x在 42 ，上是递增的 B( )f x的图象关于原点对称 C( )f x的最小正周期为2 D( )f x的最大值为2 【解析】 B 【演练 4】 （2010 崇文一模文 13）若 3 cos, 252 ，则tan 【解析】 3 4 【演练 5】 （2010 宣武二模文 7） 已知命题R，使sinc
17、os1成立；R，使tantantan成立； R，都有 tantan tan 1tantan 成立 其中正确命题的个数是（ ） A3 B2 C1 D0 【解析】 C 【演练 6】 （2010 宣武文 15）已知函数 22 ( )2 sincossincos() 2222 xxxx f xaaR 当1a 时，求函数( )f x的最小正周期及图象的对称轴方程； 当2a 时，在( )0f x 的条件下，求 cos2 1sin2 x x 的值 【解析】 最小正周期为2，对称轴方程为 3 () 4 xkkZ， 1 3 （2009 北京大学自主招生保送生测试 4） 已知对任意x均有coscos21axbx恒
18、成立，求ab的最大值 【解析】 2 coscos21axbx即 2 2 coscos10bxaxb 记 2 ( )21f xbxaxb ，则对 1 1x ，( )0f x 恒成立 考虑将ab转化为函数在某处的取值， 2 ( )(21)1f xxbax，令 2 21xx，解得1x 或 1 2 有 1(1)0 11 ()10 22 abf abf ， 1 2 ab ab 现考虑最大值能否取到 2ab时， 2 ( )2(2)(1)f xbxb xb， 22 (2)8 (1)(32)0bbbb， 大千世界 72 取 2 3 b ， 4 3 a 时，0 ，( )0f x 恒成立，故ab可取到2 从而ab的最大值为2 本题也可以由 (1)10 ( 1)10 (0)10 fab fab fb 去确定()ab，的大致范围， 再讨论得到ab的最大值
