1、 13 1指数与指数函数 幂的运算性质(0a b ,rsR,) : rsr s aaa ; s rr s aa ; r rr a bab 指数函数: 定义:函数(0 x ya a,且1)a 称指数函数; 指数函数的性质: 定义域:R;值域:(0),;过定点:(01),;1a 时,增函数;01a时,减函数 2对数与对数函数 对数的概念 定义:如果 b aN(0a ,且1)a ,那么数b称以a为底N的对数,记作logaNb,其中a称 对数的底,N称真数 1)常用对数, 10 logN记作lgN;2)自然对数: e log N记作ln N,e2.71828; 基本性质: 1)真数N为正数(负数和零无
2、对数) ;2)log 10 a ;3)log1 aa ;4)对数恒等式: logaN aN 运算性质:如果0100aaMN,则 1)log ()loglog aaa MNMN;2)logloglog aaa M MN N ;3)loglog() n aa MnM nR 换底公式: log log(01) log m a m N Nmm a , 对数函数: 定义:函数log(0 a yx a,且1)a 称对数函数, 对数函数的性质: 知识结构图 知识梳理 第 2 讲 常用函数的图象 与性质 14 定义域:(0),;值域:R;过定点:(1 0),;1a 时,增函数;01a时,减函数 对数函数log
3、ayx与指数函数(0 x ya a,且1)a 互为反函数 3幂函数:形如yx(R)的函数我们需要掌握 1 1231 2 , , , ,时的幂函数图象; 幂函数的性质:所有的幂函数在(0),都有定义,且都过点(1 1),; 如果0,则幂函数过原点,且在0),上单调递增; 如果0,则幂函数在(0),上单调递减 一次、二次、对勾、分式、幂、指数、对数函数是高中常见的一些函数(三角函数单独复 习) 这一讲主要复习这些函数的性质与图象,另外涉及到幂与对数的运算性质 讲函数必然会涉及到函数的性质,讲函数的性质也离不开具体函数考虑到学生对函数知 识的遗忘,我们先复习常用函数从下一讲来具体复习函数的性质本讲可
4、以先不涉及函 数的性质的具体判断方法 尖子班学案尖子班学案 1 【铺1】 计算 3948 log 2log 2log 3log 3的值 【解析】 5 4 考点考点:指数运算与对数运算:指数运算与对数运算 【例1】 (2008 重庆文 14)若0 x ,则 131311 424222 23234xxxxx - +- 计算 2 3 lg5 lg8000lg2 11 lg600lg0.036lg0.1 22 的值 (2010 辽宁文 10)设25 ab m,且 11 2 ab ,则m ( ) A10 B10 C20 D100 【解析】 23 3 4 A 目标目标班学案班学案 1 【拓2】 (2008
5、 山东文 15) 已知 2 (3 )4 log 3233 x fx,则 8 2482ffff的值等于 【解析】 2008; 经典精讲 15 【备选】 (2007 湖南文 13)若0a , 2 3 4 9 a ,则 2 3 log a 【解析】 3 尖子班学案尖子班学案 2 【铺1】 (2008 辽宁文 4) 已知01a,log2log3 aa x , 1 log 5 2 a y ,log21log3 aa z ,则( ) Axyz Bzyx Cyxz Dzxy 【解析】 C 目标目标班学案班学案 2 【铺2】 下列四个数中最大的是( ) A 2 ln2 Bln ln2 Cln2 Dln2 【解
6、析】 D 考点考点:指、对、幂函数的性质:指、对、幂函数的性质 【例2】 若 2 |228 x Ax Z, 2 | log1BxxR,则AB R 的元素个数为( ) A0 B1 C2 D3 (2010 成都一中) 当0,x时,幂函数 253 1 m ymmx 为减函数,则实数m的值为( ) A2m B1m C1m 或2m D 15 2 m 若 2 2 1 log0 1 a a a ,则a的取值范围是( ) A 1 , 2 B(1,) C 1 , 1 2 D 1 0, 2 【解析】 C A C 【点评】对于对数式logab,当,a b同在区间0,1或1, 内时,有log0 ab ;当,a b分别
7、在区间 0,1和1, 内时,有log 0 ab 考点考点:指、对、幂函数性质的应用:指、对、幂函数性质的应用 【例3】 若 1 0 2 ab,则( ) A22 aba B22 abb C 2 log1ab D 2 log2ab (2009 辽宁文 11)下列 4 个命题 16 1 11 :0 23 xx px , 2: 0 1px , , 11 23 loglogxx 31 2 1 :0log 2 x pxx , 41 3 11 :0log 32 x pxx , 其中的真命题是( ) A 13 pp, B 14 pp, C 23 pp, D 24 pp, (2010 东城高三普通校联考 6)
8、若 1 , 1 2 x , 1 22 a x , 1 2 logbx, 2 logcx,则( ) Aabc Bcab Cacb Dbca 【解析】 D D C 【备选】 (2007 天津理)设,a b c均为正数,且 1 2 2log a a, 1 2 1 log 2 b b , 2 1 log 2 c c 则( ) Aabc Bcba Ccab Dbac 【解析】 A 考点:考点:一次函数与二次函数一次函数与二次函数 【例4】 函数 2 2f xaxa在区间01,上恒为正,则实数a的取值范围是_ (2008 上海文)若函数 2f xxabxa(常数abR,)是偶函数,且其值域为 , 4,则该
9、函数的解析式 f x 二次函数 2 ( )1f xxax在区间03,上有最小值2,则实数a _ 【解析】 1a ; 2 24x; 2; 目标目标班学案班学案 3 【拓2】 已知函数 2 ( )25f xxax在区间(2,上是减函数,且对任意的 12 11xxa,总有 12 ( )()4f xf x,则实数a的取值范围是_ 【解析】 23a; 【备选】 已知二次函数( )f x满足(1)(1)fxfx,且(0)0(1)1ff,若( )f x在区间mn, (mn)上的值域是mn,则m _,n _ 【解析】 0;1 【备选】 (2010 天津文 10) 17 设函数 2 ( )2()g xxxR,
10、( )4 ,( ) ( ) ( ),( ) g xxxg x f x g xxxg x ,则( )f x的值域是( ) A 9 , 0(1 ,) 4 B0 , C 9 , 4 D 9 , 0(2 ,) 4 【解析】 D; 对勾函数:对勾函数: 形如( )(0) b f xaxab x 的函数称为对勾函数,它是奇函数; 我们只考虑00ab,与00ab,的情况, 其它情况很容易对应得到 00ab,时, 函数在区间, b a 与区间, b a 上单调递增, 在区间, 0 b a 与区间0, b a 上单调递减 y轴与yax分别是函数的渐近线, 右图是 1 yx x 的草图; 00ab,时, 函数在0
11、,与0,上单调递增, (两个增函数的和还是增函数) , y轴与yax分别是函数的渐近线, 右图是 1 yx x 的草图 分式函数:分式函数: 形如 ( ) ( ) ( ) p x f x q x 的函数叫做分式函数,其中( )p x、( )q x是既约整式且( )q x的次数不低于 一次 一次分式函数一次分式函数 ( )p x、( )q x的次数不高于一次的分式函数叫做一次分式函数, 即形如( ),0 axb f xc cxd , bcad的函数 对于一次分式函数,通过分离常数法可将之化为 2 ( ) bcad a c f x d c x c ,可以看成是反比例 函数平移后得到的函数从而可以得
12、到它的性质与图象相关的知识如下面的备选 二次分式函数二次分式函数 ( )p x、( )q x至少有一个的次数是二次的分式函数叫做二次分式函数,即形如 2 2 ( ) axbxc f x dxexf ,,a d不全为零 二次分式函数的值域问题有 3 类: 二次 一次 、 二次 二次 、 一次 二次 ; -2 -1 2 1O y x -1 1O y x 18 以第一类为基础,上一讲求值域时我们已经看到,一般方法是利用换元法将分母化简单, 然后转化为对勾函数的值域问题; 第二类函数一般是通过分离常数法转化为第一类;特殊形式有更简单的解法,见例题 第三类是通过将分子除下来化成第一类问题,然后利用反比例
13、函数的性质求出值域 尖子尖子班学案班学案 3 【铺1】 当3, 5x时,函数 21 1 x y x 的值域为 【解析】 53 , 42 考点考点:对勾函数与分式函数:对勾函数与分式函数 【例5】 若函数( )yf x的值域是 1 3 2 ,则函数 1 ( )( ) ( ) F xf x f x 的值域是( ) A 1 3 2 , B 10 2 3 , C 510 23 , D 10 3 3 , 已知 5 2 x,则 2 24 ( ) 45 x f x xx 有( ) A最小值 4 5 B最大值 4 5 C最小值1 D最大值1 函数 2 2 4 ( ),1, 3 41 xx f xx xx 的值
14、域是_ 【解析】 B D 43 , 32 ; 【备选】 函数 1 ( ) 2 ax f x x 在区间( 2),上单调递增,则a的取值范围是_ 【解析】 1 2 ,; 考点考点:二次函数与函数综合二次函数与函数综合 【例6】 已知函数 2 21f xaxx 试讨论函数 f x的单调性; 若 1 1 3 a, 且 f x在1, 3上 的 最 大 值 为 M a, 最 小 值 为 N a, 令 gaMaNa,求 g a的表达式; 在的条件下,求证: 1 2 g a 【解析】 当0a 时, 21f xx在R上单调递减; 当0a 时,函数在 1 , a 为减函数,在 1 , a 上单调递增; 19 当
15、0a 时,函数在 1 , a 上单调递增,在 1 , a 上单调递减 11 1 2, 3 2 11 96, 1 2 aa a g a aa a 当 11 32 a时, 1 2g aa a ,由对勾函数的性质,可知此时 g a单调递减, 从而 11 22 g ag ; 当 1 1 2 x时, 1 96g aa a ,由对勾函数的性质,可知此时 g a单调递增, 从而 11 22 g ag , 综上所述, 1 2 g a 【备选】 已知函数 2 ( )(0)f xxbxc b cbR, 当( )f x的定义域为0 1,时,值域也是0 1,求b c,的值 当2b 时,函数 ( ) ( ) f x g
16、 x x 对于任意的3)x,( )0g x 恒成立,试求实数c的取 值范围 【解析】 2,1bc ; 3c (2009 宣武二模文 3)“lglgxy”是“xy”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】 A 注意对数函数的定义域为(0,);而幂函数yx的定义域为0,) (2011 北京文 3)如果 11 22 loglog0 xy,那么( ) A1yx B1xy C1xy D1yx 【解析】 D (2008 北京文 2)若 3 log a , 7 log 6b , 2 log 0.8c ,则( ) Aabc Bbac Ccab Dbca 【解
17、析】 A 真题再现 20 【演练 1】 (2011 安徽文 5)若点,a b在lgyx图象上,1a ,则下列点也在此图象上的是( ) A 1 , b a B10 ,1ab C 10 ,1b a D 2 , 2ab 【解析】 D 【演练 2】 (2010 马鞍山)设 1 2 3 2e,2 log1 ,2 x x f x xx ,则不等式 2f x 的解集为( ) A 1, 210 , B 10 , C 1, 23, D1, 2 【解析】 A 【演练 3】 (2009 辽宁文 6)已知函数( )f x满足:4x,则 1 ( ) 2 x f x ;当4x 时( )(1)f xf x, 则 2 (2l
18、og 3)f( ) A 1 24 B 1 12 C 1 8 D 3 8 【解析】 A 【演练 4】 (2009 天津文 5)设 1 3 log 2a , 1 2 1 log 3 b , 0.3 1 2 c ,则( ) Aabc Bacb Cbca Dbac 【解析】 B 【演练 5】求函数 2 1 ( ),(0, 3) 23 x f xx xx 的值域 【解析】 ( )f x的值域是 22 , 94 【演练 6】已知函数 2 ( )f xxbxc满足(2)(2)fxfx,则有( ) (2)(1)(4)fff (1)(2)(4)fff (4)(2)(1)fff (2)(4)(1)fff 【解析】 ; (2009 年复旦大学自主招生测试) 实战演练 大千世界 21 若1xy,01ab,则下列各式中一定成立的是_ A ab xy B ab xy C xy ab D xy ab 【解析】 D 由指数函数与幂函数的单调性知 xyy aab