1、 56 1若函数( )f x在区间()ab，上单调递增(减)，则当()xab，时，( )0fx( )0fx) 2处理导数中的恒成立与存在性问题，常用方法有参数分离法与整体考虑法，前者适用于参数比较容 易分离，且分离后得到的函数不太复杂的情形；后者需要分类讨论，得到参数范围 尖子班学案尖子班学案 1 【铺【铺1】 （2010 江西文 4）若函数 42 f xaxbxc满足 12 f ，则1f （ ） A1 B2 C2 D0 已知函数 f x为偶函数，且在点 1,1f的切线的斜率为2，则在点1,1f的切线 斜率为_ 【解析】 B 2 考点考点：函数与导数简单结合函数与导数简单结合 【例1】 （20
2、10 山东文 10）观察 2 2xx ， 43 4xx ，cossinxx ，由归纳推理可得：若定 义在R上的函数 f x满足 fxf x，记 g x为 f x的导函数，则gx（ ） A f x B f x C g x D g x （2009 浙江文 8）若函数 2 ( )() a f xxa x R，则下列结论正确的是（ ） 知识结构图 知识梳理 经典精讲 第 7 讲 函数与导数 57 Aa R，( )f x在(0)，上是增函数 Ba R，( )f x在(0)，上是减函数 Ca R，( )f x是偶函数 Da R，( )f x是奇函数 【解析】 D； C 目标目标班学案班学案 1 【拓2】
3、（2011 哈师大附中模拟文 10） 已知对任意实数x， 有 fxf x ， gxg x， 且0 x 时， 0fx， 0g x，则0 x 时， （ ） A 0fx， 0g x B 0fx， 0g x C 0fx， 0g x D 0fx， 0g x 【解析】 B 考点考点：利用导数研究函数性质利用导数研究函数性质 【例2】 （2010 宣武一模文 14） 有下列命题： 0 x 是函数 3 yx的极值点； 三次函数 32 ( )f xaxbxcxd有极值点的充要条件是 2 30bac； 奇函数 32 ( )(1)48(2)f xmxmxmxn在区间44 ，上是单调减函数 其中假命题的序号是 （20
4、10 北京师大二附中高三第一学期期中考试 8） 已知函数 21 x f x ，对于满足 12 02xx的任意 12 ,xx，给出下列结论： 2121 0 xxf xf x ； 2112 x f xx f x； 2121 f xf xxx； 12 12 22 f xf xxx f 其中正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【解析】 C 【备选】 （2010-2011 西城高三第一学期期末测试 8 改编） 对于函数 1 ( )45f xx x ， 2 1 ( )log 2 x f xx ，判断如下两个命题的真假： 命题甲：( )f x在区间(12)，上是增函数； 命题乙：( )f x在区
5、间(0)，上恰有两个零点 1 x， 2 x，且 12 1x x 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（ ） A B C D无 【解析】 ； 尖子班学案尖子班学案 2 58 【铺【铺1】 若函数( )2 3 kk h xx x 在1, 上是增函数，则实数k的取值范围是（ ） A 2,) B2,) C(,2 D(, 2 已知函数 23 2 ( )4 3 f xxaxx在区间1 1 ，上是增函数，则实数a的取值范围为_ 【解析】 A 11 ， 目标目标班学案班学案 2 【铺2】 若( )2ln 3 kk g xxx x ， 且( )g x在(1,)上是增函数， 则此时实数k的取值范围是_ 【解析】 3
6、)， 考点：考点：已知已知单调性求参数范围单调性求参数范围 【例3】 （2010 年朝阳一模文 18） 已知函数 32 ( )33f xmxxx，mR 若函数( )f x在1x 处取得极值， 试求m的值， 并求( )f x在点M(1 (1)f，处的切线方程； 设0m ，若函数( )f x在(2)，上存在单调递增区间，求m的取值范围 【解析】 3m ；切线方程为1290 xy m的取值范围是 3 0 4 ， 【备选】 （2010 海淀二模文 19）已知函数( )(1)exf xax，aR， 当1a 时，求函数( )f x的极值； 若函数( )f x在区间(0, 1)上是单调增函数，求实数a的取值
7、范围 【解析】 ( )f x取得极小值(0)1f 1a 考点考点：极值和最值：极值和最值 【例4】 已知函数( )ln a f xx x 当0a 时，求函数( )f x的单调区间； 若函数 f x在1, e上的最小值是 3 2 ，求a的值 【解析】 函数 f x的单调递增区间为0, a的值为e 考点考点：分类讨论求单调区间：分类讨论求单调区间 【例5】 （2010 年朝阳二模文 18） 已知函数 2 ( )ln(1) 2 ax f xxax，aR，且0a 59 若(2)1 f ，求a的值； 当0a 时，求函数( )f x的最大值； 求函数( )f x的单调递增区间 【解析】 3 2 a 最大值
8、为(1)1f 当0a 时，函数( )f x的递增区间是(01)，； 当01a时，函数( )f x的递增区间是(01)， 1 a ，； 当1a 时，函数( )f x的递增区间是(0)，； 当1a 时，函数( )f x的递增区间是 1 0 a ，(1)， 尖子班学案尖子班学案 3 3 【铺1】 （2008 安徽文 20）设函数 32 3 11 32 a f xxxax，其中a为实数 若函数( )f x在1x 处取得极值，求a的值； 若不等式 2 ( )1f xxxa 对任意0a，都成立，求实数x的取值范围 【解析】 1a x的取值范围是| 20 xx 考点：恒成立和存在性问题考点：恒成立和存在性问
9、题 【例6】 （2011 海口市调研文 21） 已知函数 1 lnf xa xx x 若1a ，求曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程； 若函数 f x在其定义域内为增函数，求a的取值范围； 在的条件下， 设函数 e g x x ， 若在1, e上至少存在一点 0 x， 使得 00 f xg x成立， 求实数a的取值范围 【解析】 切线方程为1yx 1 2 a 2 2e e1 a 目标班学案目标班学案 3 【拓2】 （2010 东城一模理 18 改编）已知函数( )lnf xxx， 2 ( ) ee x x g x 求函数( )f x在其定义域上的单调区间与极值； 求函数( )f x在区间
10、1 3，上的最小值； 证明：对任意m，(0)n，都有( )( )f mg n成立 60 【解析】 ( )f x的单调递减区间为 1 0 e ，单调递增区间为 1 e ， 在 1 e x 处，( )f x有极小值 11 ee f ， f x没有极大值 ( )f x在区间1 3，上的最小值为0 由题意知，即证( )f x的最小值不小于( )g x的最大值 由可知( )ln (0)f xxx x，在 1 e x 时取得极小值，也是最小值 1 e 由 2 ( ) ee x x g x （0 x ） ，可得 1 ( ) ex x g x 所以当(0 1)( )0( )xg xg x， ，单调递增；当(1
11、)( )0( )xg xg x，单调递减 所以函数( )(0)g x x 在1x 时取得极大值，也是最大值 1 (1) e g 从而 1 ( )( ) e f mg n，对任意(0)mn，成立 已知函数 322 ( )f xxaxbxa在1x 处有极值为10，则(2)f_ 【解析】 (2)18f 【点评】对可导函数， 0fx是极值的必要条件，但不是充分条件 （2011 北京文 18） 已知函数( )()exf xxk 求( )f x的单调区间； 求( )f x在区间0 1，上的最小值 【解析】 ( )f x的单调递减区间是(1)k，；单调递增区间是(1)k ， ( )f x在区间0 1， 上的
12、最小值为 (1)(1)efk 【演练 1】对于R上可导的任意函数( )f x，若满足(1)( )0 xfx，则必有（ ） A(0)(2)2 (1)fff B(0)(2)2 (1)fff C(0)(2)2 (1)fff D(0)(2)2 (1)fff 【解析】 C 真题再现 实战演练 61 【演练 2】 （2010 北京二中高三第一学期学段考试 8） 设曲线 1n yxn N在点1 1，处的切线与x轴 交点的横坐标为 n x，则 201012010220102009 logloglogxxx的值为（ ） A 2010 log2009 B1 C 2010 log20091 D1 【解析】 B 【演
13、练 3】 （2008 广东文 9）设aR，若函数exyax（xR）有大于零的极值点，则（ ） A1a B1a C 1 e a D 1 e a 【解析】 A 【演练 4】 （2010 丰台二模文 6） 已知函数 f x是偶函数， 在(0,)上导数 0fx恒成立， 则下列不等式成立的是 （ ） A 312fff B 123fff C 231fff D 213fff 【解析】 B 【演练 5】 （2008 海淀一模文 18） 已知函数 3 ( )f xxaxb的图象是曲线C，直线1ykx与曲线C相切于点1 3， 求函数( )f x的解析式； 求函数( )f x的递增区间； 求函数( )F x ( )
14、23f xx在区间02，上的最大值和最小值 【解析】 3 ( )3f xxx 函数( )f x的递增区间为 3 3 ，与 3 3 ， ( )F x的最大值为2，最小值为2 （2010 年北大、北航、港大联合自主招生保送生测试） ,A B为 2 1yx 上在y轴两侧的点，求过A、B的切线与x轴围成面积的最小值 【解析】 8 3 9 不妨设过A点的切线交x轴于点C，过B点的切线交x轴于 点D， 直线AC与直线BD相交于点E 如图， 设 11 ()B xy， 22 ()A xy， 且有 2 22 1yx ， 2 11 1yx ， 12 0 xx 对 2 1yx 求导得2yx ， 于是AC的方程为 2
15、22 2()yyxxx ， 即 22 22x xyy； 同样可得BD的方程为 11 22x xyy 大千世界 O x y E D B A C 62 联立AC，BD的方程，解得 12 12 1 2 xx Ex x ， 对于，令0y ，得 2 2 2 0 2 y C x ，；对于，令0y ，得 1 1 2 0 2 y D x ， 于是 22 1212 1212 2211 | 2222 yyxx CD xxxx 22 12 12 12 111 (1) 222 CDE xx Sx x xx 记 12 ,axbx ，则0,0ab， 且 22 1 11 (1) 4 CDE ab Sab ab 22 111
16、 22 4 aba bab ab 1111 () 222 44 abababab abab （当ab时取到等号） 下面来求 11 22 4 abab ab 的最小值 记0abs，则 3 1111 22 22 ababss abs 要求 3 11 2 2 ss s 的最小值，有两种方法： 法一： 不妨设 3 11 ( )2 2 g sss s ，由 2 2 11 ( )32 2 g ss s 知：当 2 1 0 3 s时，( )0g s； 当 2 1 3 s 时，( )0g s则( )g s在 3 0 3 ，上单调减，在 3 3 ，上单调增 于是当 3 3 s 时，( )g s取得最小值， 31338 3 23 32939 g 3 3 ab时，有min 8 3 9 CDE S 法二： 1 69 16 333 6 1111111111 216 223399239 CDE Ssssssss ssss 个9个 243 162 118 883 339 当 3 11 39 ss s ，即 3 3 s 时，等号成立 故当 1 3 3 xa， 2 3 3 xb 时，处的等号均可取到 min 8 ()3 9 CDE S
