1、专题专题 17 图形的变化之解答题（图形的变化之解答题（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一解答题（共一解答题（共 50 小题）小题） 1 （2019上海）图 1 是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过 程中，箱盖 ADE 可以绕点 A 逆时针方向旋转，当旋转角为 60时，箱盖 ADE 落在 ADE的位置（如 图 2 所示） 已知 AD90 厘米，DE30 厘米，EC40 厘米 （1）求点 D到 BC 的距离； （2）求 E、E两点的距离 【答案】解： （1）过点 D作 DHBC，垂足为点 H，交 AD 于点 F，如图 3 所示 由题意，得：
2、ADAD90 厘米，DAD60 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， AFDBHD90 在 RtADF 中，DFADsinDAD90sin60453厘米 又CE40 厘米，DE30 厘米， FHDCDE+CE70 厘米， DHDF+FH（453 +70）厘米 答：点 D到 BC 的距离为（453 +70）厘米 （2）连接 AE，AE，EE，如图 4 所示 由题意，得：AEAE，EAE60， AEE是等边三角形， EEAE 四边形 ABCD 是矩形， ADE90 在 RtADE 中，AD90 厘米，DE30 厘米， AE= 2+ 2=3010厘米， EE3010厘米 答：E、E两点的距离是 3
3、010厘米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题 的关键是： （1）通过解直角三角形求出 DF 的长度； （2）利用勾股定理求出 AE 的长度 2 （2019上海）已知：如图，AB、AC 是O 的两条弦，且 ABAC，D 是 AO 延长线上一点，联结 BD 并 延长交O 于点 E，联结 CD 并延长交O 于点 F （1）求证：BDCD； （2）如果 AB2AOAD，求证：四边形 ABDC 是菱形 【答案】证明： （1）如图 1，连接 BC，OB，OC， AB、AC 是O 的两条弦，且 ABAC， A 在 BC 的垂直平分线上， OBOAOC
4、， O 在 BC 的垂直平分线上， AO 垂直平分 BC， BDCD； （2）如图 2，连接 OB， AB2AOAD， = ， BAODAB， ABOADB， OBAADB， OAOB， OBAOAB， OABBDA， ABBD， ABAC，BDCD， ABACBDCD， 四边形 ABDC 是菱形 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直平分线的性质， 菱形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键 3 （2019上海）如图 1，AD、BD 分别是ABC 的内角BAC、ABC 的平分线，过点 A 作 AEAD，交 BD 的延长线于点 E
5、 （1）求证：E1 2C； （2）如图 2，如果 AEAB，且 BD：DE2：3，求 cosABC 的值； （3）如果ABC 是锐角，且ABC 与ADE 相似，求ABC 的度数，并直接写出 的值 【答案】 （1）证明：如图 1 中， AEAD， DAE90，E90ADE， AD 平分BAC， BAD= 1 2BAC，同理ABD= 1 2ABC， ADEBAD+DBA，BAC+ABC180C， ADE= 1 2（ABC+BAC）90 1 2C， E90（90 1 2C）= 1 2C （2）解：延长 AD 交 BC 于点 F ABAE， ABEE， BE 平分ABC， ABEEBC， ECBE，
6、AEBC， AFBEAD90， = ， BD：DE2：3， cosABC= = = 2 3 （3）ABC 与ADE 相似，DAE90， ABC 中必有一个内角为 90 ABC 是锐角， ABC90 当BACDAE90时， E= 1 2C， ABCE= 1 2C， ABC+C90， ABC30，此时 =23 当CDAE90时， = 1 2C45， EDA45， ABC 与ADE 相似， ABC45，此时 =22 综上所述，ABC30或 45， =23或 22 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函 数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考
7、问题，属于中考压轴题 4 （2018上海）如图，已知ABC 中，ABBC5，tanABC= 3 4 （1）求边 AC 的长； （2）设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D，求 的值 【答案】解： （1）作 A 作 AEBC， 在 RtABE 中，tanABC= = 3 4，AB5， AE3，BE4， CEBCBE541， 在 RtAEC 中，根据勾股定理得：AC= 32+ 12= 10； （2）DF 垂直平分 BC， BDCD，BFCF= 5 2， tanDBF= = 3 4， DF= 15 8 ， 在 RtBFD 中，根据勾股定理得：BD=(5 2) 2+ (15 8 )2= 25
8、 8 ， AD5 25 8 = 15 8 ， 则 = 3 5 【点睛】此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定 理是解本题的关键 5 （2019嘉定区二模）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 AB 的中点，EBC 沿直线 EC 翻折，使 B 点落 在矩形 ABCD 内部的点 P 处，联结 AP 并延长 AP 交 CD 于点 F，联结 BP 交 CE 于点 Q （1）求证：四边形 AECF 是平行四边形； （2）如果 PAPE，求证：APBEPC 【答案】证明： （1）由折叠得到 EC 垂直平分 BP， 设 EC 与 BP 交于 Q， BQEQ E
9、 为 AB 的中点， AEEB， EQ 为ABP 的中位线， AFEC， AEFC， 四边形 AECF 为平行四边形； （2）AFEC， APBEQB90， 由翻折性质EPCEBC90，PECBEC， E 为直角APB 斜边 AB 的中点，且 APEP， AEP 为等边三角形，BAPAEP60， CEPCEB= 18060 2 =60， 在ABP 和EPC 中， = = = ， ABPEPC（AAS） 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题 的关键 6 （2019宝山区二模）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩
10、形 ABCD，使 B 点落在 点 P 处，折痕为 EC，联结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点， （1）求证：四边形 AECF 为平行四边形； （2）如果 PAPE，联结 BP，求证：APBEPC 【答案】证明： （1）由折叠得到 EC 垂直平分 BP， 设 EC 与 BP 交于 Q， BQEQ E 为 AB 的中点， AEEB， EQ 为ABP 的中位线， AFEC， AEFC， 四边形 AECF 为平行四边形； （2）AFEC， APBEQB90， 由翻折性质EPCEBC90，PECBEC E 为直角APB 斜边 AB 的中点，且 APEP， AEP 为等边三角形，BAPAEP60
11、， = = 18060 2 = 60 在ABP 和EPC 中， = = = ABPEPC（AAS） 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题 的关键 7 （2019崇明区二模）如图，已知ABC 中，AB6，B30，tan = 3 2 （1）求边 AC 的长； （2）将ABC 沿直线 l 翻折后点 B 与点 A 重合，直线 l 分别与边 AB、BC 相交于点 D、E，求 的值 【答案】解： （1）过 A 作 AHBC，垂足为 H，如图 1 所示： AB6，B30，AHBC， AH3， tanACB= 3 2， CH2， AC= 2+ 2= 32+
12、 22= 13； （2）由翻折得：BD= 1 2AB3，AEBE，BDE90， cosB= ， 3 2 = 3 ，BE23， AE23， EH= 2 2= 3， ECCH+EH2+3， = 23 2:3 =43 6 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、含 30角的直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟 练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键 8 （2019青浦区二模）已知：如图，在菱形 ABCD 中，ABAC，点 E、F 分别在边 AB、BC 上，且 AE BF，CE 与 AF 相交于点 G （1）求证：FGCB； （2）延长 CE 与 DA 的延长线交于点 H，求证：BECHAFAC 【
13、答案】证明： （1）四边形 ABCD 为菱形， ABBC， 而 ABAC， ABBCAC， ABC 为等边三角形， BBAC60， 在ABF 和CAE 中 = = = ， ABFCAE（SAS） ， BAFACE， FGCGAC+ACGGAC+BAFBAC60， FGCB； （2）如图， 四边形 ABCD 为菱形， BD，ADBC， BCEH， BCEDHC， = ， ABFCAE， CEAF CACBCD， = ， BECHAFAC 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共 角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般
14、方法是通过作平行线构造 相似三角形；同时灵活运用相似三角形的性质进行几何计算也考查了菱形的性质 9 （2019浦东新区二模）已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，DCBC，ABAD，AMBD， 垂足为点 M，连接 CM 并延长，交线段 AB 于点 N 求证： （1）ABDBCM； （2）BCBNCNDM 【答案】证明： （1）ABAD， ABDADB， ADBC， ADBMBC， ABDMBC， ABAD，AMBD， BMDM， DCBC， BCD90， CMBMDM， MBCBCM， ABDBCM； （2）BNMCNB，NBMNCB， NBMNCB， BN：CNBM：BC， 而 B
15、MDM， BN：CNDM：BC， BCBNCNDM 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公 共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构 造相似三角形灵活运用相似三角形的性质进行几何计算 10 （2019静安区二模）已知：如图 5，在矩形 ABCD 中，过 AC 的中点 M 作 EFAC，分别交 AD、BC 于 点 E、F （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）如果 CD2BFBC，求BAF 的度数 【答案】 （1）证明：四边形 ABCD 为矩形， ADBC， 12， 点 M 为 AC 的
16、中点， AMCM 在AME 与CMF 中 1 =2 = = AMECMF（ASA） ， MEMF 四边形 AECF 为平行四边形， 又EFAC， 平行四边形 AECF 为菱形； （2）解：CD2BFBC， = ， 又四边形 ABCD 为矩形， ABCD， = 又ABFCBA， ABFCBA， 23， 四边形 AECF 为菱形， 14，即134， 四边形 ABCD 为矩形， BAD1+3+490， 即130 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公 共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构 造相似
17、三角形也考查了菱形的判定与性质和矩形的性质 11 （2019虹口区二模）如图，在ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，过点 B 作 BEAC，联结 OE 交 BC 于点 F，点 F 为 BC 的中点 （1）求证：四边形 AOEB 是平行四边形； （2）如果OBCE，求证：BOOCABFC 【答案】证明： （1）BEAC， COFBFE = 点 F 为 BC 的中点， CFBF， OCBE 四边形 ABCD 是平行四边形， AOCO AOBE BEAC， 四边形 AOEB 是平行四边形 （2）四边形 AOEB 是平行四边形， BAOE OBCE， BAOOBC ACBBCO， COBCBA
18、 = 四边形 ABCD 是平行四边形， AC2OC 点 F 为 BC 的中点， BC2FC = 即 BOOCABFC 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质 解答 12 （2019普陀区二模）已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，点 E 在 AD 的延长线上，ACE BCD，EC2EDEA （1）求证：四边形 ABCD 为梯形； （2）如果 = ，求证 AB 2EDBC 【答案】 （1）证明：EC2EDEA = 而EE ECAEDC EACECD 又ACEBCD ACEACDBCDACD 即ECDBCA EACBCA AEBC， AD
19、BC， 故四边形 ABCD 是梯形 （2）证明：由（1）可知ECAEDC = 即得 = 而由已知 = 可得 = CDAB，即梯形 ABCD 是等腰梯形 BBCD 而BCDEDC BEDC 由（1）知BCAECD ABCEDC = 而 ABCD AB2EDBC 故 AB2EDBC 得证 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，以及等腰梯形的判定与性质，通过比例式得出对应线 段相等也是证明线段相等的一种方法 13 （2019长宁区二模）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，点 E 在边 CB 的延长线上， 且EAC90，AE2EBEC （1）求证：四边形 ABCD 是矩
20、形； （2）延长 DB、AE 交于点 F，若 AFAC，求证：AEBF 【答案】证明： （1）AE2EBEC = 又AEBCEA AEBCEA EBAEAC 而EAC90 EBAEAC90 又EBA+CBA180 CBA90 而四边形 ABCD 是平行四边形 四边形 ABCD 是矩形 即得证 （2）AEBCEA = 即 = ，EABECA 四边形 ABCD 是矩形 OBOC OBCECA EBFOBCECAEAB 即EBFEAB 又FF EBFBAF = = 而 AFAC BFAE 即 AEBF 得证 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及矩形的性质，利用三角形的相似进行边与角的转化是
21、解决本题的关键 14 （2019张店区二模）如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，ABAC，E 是边 BC 上的点，且AED CAD，DE 交 AC 于点 F （1）求证：ABEDAF； （2）当 ACFCAEEC 时，求证：ADBE 【答案】证明： （1）ADBC， DACACB， ABAC， BACB， DAFB， AECAED+DECB+BAE，AEDCADACB， DECBAE， ADBC， DECADF， BAEADF， ABEDAF （2）ACFCAEEC，ACAB， ABFCAEEC， = ， BFCE，BAEFEC， BAECEF， = ， = ， FCEF， FECFCE，
22、 FCEB， BFEC， ABDE，ADBE， 四边形 ADEB 是平行四边形， ADBE 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找 相似三角形解决问题，属于中考常考题型 15 （2019普陀区二模）如图，已知点 D、E 分别在ABC 的边 AB 和 AC 上，DEBC， = 1 3，ADE 的面积等于 3 （1）求ABC 的面积； （2）如果 BC9，且 cotB= 2 3，求AED 的正切值 【答案】解： （1）DEBC， ADEABC， =（ ） 2=1 9， SADE3， SABC27 （2）如图，作 AHBC 于 H SABC= 1
23、2 BCAH27， AH6， cotB= = 2 3， BH4，CH945， DEBC， AEDC， tanAEDtanC= = 6 5 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质， 解直角三角形等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线， 构造直角三角形解决问题 16 （2019闵行区二模）如图 1，点 P 为MAN 的内部一点过点 P 分别作 PBAM、PCAN，垂足分别 为点 B、C过点 B 作 BDCP，与 CP 的延长线相交于点 DBEAP，垂足为点 E （1）求证：BPDMAN； （2）如果 sin = 310 10 ，AB210，BEBD，求 BD 的长； （3）如图 2，设点 Q
24、是线段 BP 的中点联结 QC、CE，QC 交 AP 于点 F如果MAN45，且 BE QC，求 的值 【答案】 （1）证明：PBAM，PCAN， PBAPCA90， BAC+PCA+BPC+PBA360， BAC+BPC180， BPD+BPC180， MANBPD； （2）解：BEAP，D90，BEBD， BPDBPE BPEBAC， 在 RtABP 中，由ABP90，BEAP， APBABE， BACABE， sinBACsinABE= = 310 10 ， AB210， AE6， BE= 2 2=2， BDBE2； （3）解：过点 B 作 BGAC，垂足为点 G过点 Q 作 QHBD，
25、 设 BD2a，PC2b， BPDMAN45， DPBD2a， CD2a+2b， 在 RtABG 和 RtBDP 中，BACBPD45， BGAG，DPBD， QHBD，点 Q 为 BP 的中点， PH= 1 2PDaQH= 1 2BDa， CHPH+PCa+2b， BDAC，CDAC，BGAC， BGDC2a+2b AC4a+2b， BEQC，BEAP， CFPBEP90，又ACP90， QCHPAC， ACPQCH， = ，即 2 = 4:2 :2 ， 解得，ab， CH3a 由勾股定理得，CQ= 2+ 2= 10a， QHCPFC90，QCHPCF， QCHPFC， = ，即 3 = 1
26、0 2 ， 解得，FC= 310 5 a， QFQCFC= 210 5 a， BEQC，Q 是 PB 的中点， PEEF， PQF 与CEF 面积之比等于高之比， = = 2 3 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的判定定理和 性质定理是解题的关键 17 （2019闵行区二模）如图，已知四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD2AC过点 A 作 AECD，垂足为点 E，AE 与 BD 相交于点 F过点 C 作 CGAC，与 AE 的延长线相交于点 G求 证： （1）ACGDOA； （2）DFBD2DEAG 【答案】证明： （1
27、）在菱形 ABCD 中，ADCD，ACBD，OBOD， DACDCA，AOD90， AECD，CGAC， DCA+GCE90，G+GCE90， GDCA， GDAC， BD2AC，BD2OD， ACOD， 在ACG 和DOA 中， = = = ACGDOA（AAS） ； （2）AECD，BDAC， DOCDEF90， 又CDOFDE， CDOFDE， = ，即得 ODDFDECD， ACGDOA， AGADCD， 又OD= 1 2BD， DFBD2DEAG 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，能综合运用定 理进行推理是解此题的关键 18 （2019崇明
28、区二模）如图，在直角梯形 ABCD 中，ABC90，ADBC，对角线 AC、BD 相交于点 O过点 D 作 DEBC，交 AC 于点 F （1）联结 OE，若 = ，求证：OECD； （2）若 ADCD 且 BDCD，求证： = 【答案】证明： （1）ABD90，DEBC， ABDE， = ， = ， = ， OECD； （2）ADBC，ABDE， 四边形 ABED 为平行四边形 又ABD90， 四边形 ABED 为矩形， ADBE，ADE90， 又BDCD， BDCBDE+CDE90，ADEADB+BDE90， CDEADB， ADCD， DACDCA， 在ADO 和CDF 中 = = =
29、ADOCDF（ASA） ， ODDF， ABDE， = = ， ADBC， = = ， = 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角梯形的性质等知识点，能综合 运用知识点进行推理是解此题的关键 19 （2019黄浦区二模）如图，已知四边形 ABCD，ADBC，对角线 AC、BD 交于点 O，DOBO，过点 C 作 CEAC，交 BD 的延长线于点 E，交 AD 的延长线于点 F，且满足DCEACB （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）求证： = 【答案】解： （1）证明ADBC， = ， DOBO， ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形， CEAC， A
30、CD+DCE90， DCEACB， ACB+ACD90，即BCD90， 四边形 ABCD 是矩形； （2）四边形 ABCD 是矩形， ACBD，ADC90， ADBC， = ， = = ， ADCACF90， = = ， = 【点睛】本题主要考查对矩形的性质，成比例的线段性质的理解和掌握，此题难度不大 20 （2019黄浦区二模）已知四边形 ABCD 中，ADBC，ABC2C，点 E 是射线 AD 上一点，点 F 是 射线 DC 上一点，且满足BEFA （1）如图 1，当点 E 在线段 AD 上时，若 ABAD，在线段 AB 上截取 AGAE，联结 GE求证：GE DF； （2）如图 2，当点
31、 E 在线段 AD 的延长线上时，若 AB3，AD4，cosA= 1 3，设 AEx，DFy，求 y 关于 x 的函数关系式及其定义域； （3）记 BE 与 CD 交于点 M，在（2）的条件下，若EMF 与ABE 相似，求线段 AE 的长 【答案】解： （1）AGAE， = 180 2 ADBC， A+ABC180， ABC2C， = 180 2 ， AGEC， ADBC， D+C180，又BGE+AGE180， BGED， BEF+FEDA+GBE， BEFA， FEDGBE， 又 ABAD，AGAE， BGED， GBEDEF（ASA） ， GEDF； （2）在射线 AB 上截取 AHAE
32、，联结 EH， HBEA+AEB，DEFBEF+AEB，又BEFA， HBEDEF ADBC， EDCC，A+ABC180 AHAE， = 180 2 ， 又ABC2C， HC， HEDC， BHEEDF， = 过点 H 作 HPAE，垂足为点 P = 1 3，AEAHx， = 1 3 ， = 22 3 ， = 2 3 ， = 23 3 ， AB3，AD4，AEx，DFy， ;3 ;4 = 23 3 ， = 23283 39 (4)； （3）记 EH 与 BC 相交于点 N EMFABE，BEFA， AEBEMF，或AEBEFM， 若AEBEMF，又AEBEMF，矛盾， 此情况不存在， 若AE
33、BEFM，BHEEDF， BEHEFM， AEBBEH， ADBC， AEBEBC， BEHEBC， BNENBHx3， ADBC， = ， 3 = ;3 23 3 ， = 23 + 3， 线段 AE 的长为23 + 3 【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知 识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题 21 （2019黄浦区一模）如图，在ABC 中，点 D 在边 BC 上，CADB，点 E 在边 AB 上，联结 CE 交 AD 于点 H，点 F 在 CE 上，且满足 CFCECDBC （1）求证：ACFECA
34、； （2）当 CE 平分ACB 时，求证： = 【答案】 （1）证明：ACDBCA，CADB， ACDBCA， = ， AC2CDBC， CFCECDBC， AC2CFCE， = ， ACFECA， ACFECA； （2）证明：CFCECDBC， = ， DCFECB， CFDCBE， CFDB， CADB， CFDCAD， A，F，D，C 四点共圆， AFCADC， ACFECA， CAEAFC， CAEADC， 当 CE 平分ACB， ACEDCH， ACEDCH， =（ ） 2=2 2， AC2CDBC， = 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的
35、判定和性质是 解题的关键 22 （2019长宁区一模）已知锐角MBN 的余弦值为3 5，点 C 在射线 BN 上，BC25，点 A 在MBN 的内 部，且BAC90，BCAMBN过点 A 的直线 DE 分别交射线 BM、射线 BN 于点 D、E点 F 在线段 BE 上（点 F 不与点 B 重合） ，且EAFMBN （1）如图 1，当 AFBN 时，求 EF 的长； （2）如图 2，当点 E 在线段 BC 上时，设 BFx，BDy，求 y 关于 x 的函数解析式并写出函数定义域； （3）联结 DF，当ADF 与ACE 相似时，请直接写出 BD 的长 【答案】解： （1）在 RtABC 中，BAC
36、90， cosBCAcosMBN= = 3 5 =， 25 = 3 5 AC15 AB= 2 2 =20 SABC= 1 2 ABAC= 1 2 BCAF， AF= 2015 25 =12， AFBC cosEAFcosMBN= 3 5 = AE20 EF= 2 2 =16 （2）如图，过点 A 作 AHBC 于点 H， 由（1）可知：AB20，AH12，AC15， BH= 2 2 =16， BFx， FH16x，CF25x， AF2AH2+FH2144+（16x）2x232x+400， EAFMBN，BCAMBN EAFBCA，且AFCAFC， FAEFCA = ，AEFFAC， AF2FC
37、EF x232x+400（25x）EF， EF= 232+400 25 BEBF+EF= 4007 25 MBNACB，AEFFAC， BDECFA = 25; = 4007 25 15 y= 4007 15 （0 x 25 2 ） （3）如图，若ADFCEA， ADFCEA， ADFAEC， EAFMBN，EAF+DAF180， DAF+MBN180， 点 A，点 F，点 B，点 D 四点共圆， ADFABF， ADFAECABF， ABAE， BAC90， ABC+ACB90，且ABFAEC，ACBMBNEAF， AEC+EAF90，AEC+MBN90， BDE90AFC， SABC= 1
38、 2 ABAC= 1 2 BCAF， AF= 2015 25 =12， BF= 2 2 =16， ABAE，AFC90， BE2BF32， cosMBN= = 3 5， BE= 96 5 ， 如图，若ADFCAE， ADFCAE， ADFCAE，AFDAEC， ACDF DFBACB，且ACBMBN， MBNDFB， DFBD， EAFMBN，EAF+DAF180， DAF+MBN180， 点 A，点 F，点 B，点 D 四点共圆， ADFABF， CAEABF，且AECAEC， ABECAE = = = 20 15 = 4 3 设 CE3k，AE4k， （k0） BE= 16 3 k， BC
39、BECE25 k= 75 7 AE= 300 7 ，CE= 225 7 ，BE= 400 7 ACBFAE，AFCAFE， AFCEFA， = = = 15 300 7 = 7 20， 设 AF7a，EF20a， CF= 49 20a， CEEFCF= 351 20 a= 225 7 ， a= 1500 7117， EF= 30000 1177， ACDF， = ， 15 = 225 7 30000 7117 ， DF= 2000 117 ， 综上所述：当 BD 为96 5 或2000 117 时，ADF 与ACE 相似 【点睛】本题是相似综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三
40、角函数等知识，灵活 运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键 23 （2019虹口区一模）如图，在ABC 中，ABAC，D 是边 BC 的中点，DEAC，垂足为点 E （1）求证：DECDADCE； （2）设 F 为 DE 的中点，连接 AF、BE，求证：AFBCADBE 【答案】证明： （1）ABAC，D 是边 BC 的中点， ADBC， ADC90， ADE+CDE90 DEAC， CED90， CDE+DCE90， ADEDCE 又AEDDEC90， AEDDEC， = ， DECDADCE； （2）ABAC， BDCD= 1 2BC F 为 DE 的中点， DE2DF DECDAD
41、CE， 2DF1 2BCADCE， = 又BCEADF， BCEADF， = ， AFBCADBE 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及余角，解题的关键是： （1）利用 相似三角形的判定定理证出AEDDEC； （2）利用相似三角形的判定定理证出BCEADF 24 （2019浦东新区一模）将大小两把含 30角的直角三角尺按如图 1 位置摆放，即大小直角三角尺的直 角顶点 C 重合，小三角尺的顶点 D、E 分别在大三角尺的直角边 AC、BC 上，此时小三角尺的斜边 DE 恰好经过大三角尺的重心 G已知ACDE30，AB12 （1）求小三角尺的直角边 CD 的长； （2）将
42、小三角尺绕点 C 逆时针旋转，当点 D 第一次落在大三角尺的边 AB 上时（如图 2） ，求点 B、E 之间的距离； （3）在小三角尺绕点 C 旋转的过程中，当直线 DE 经过点 A 时，求BAE 的正弦值 【答案】解： （1）在 RtABC 中，ACABcos3063，BC6， 由重心的性质得： = 2 3，则 CD43， DE8； （2）连接 BE，过点 C 作 CHAB 交于点 H， BH= 1 2BC3，CHBCsin6033，AH9， HD= 2 2= 21，ADAHHD921， ACDECB， = ， ADCBEC， = = 1 3 ，即：AD= 3BE， BE= 3 3 （921
43、）33 7； （3）如图，当 DE 在 AC 下方时， ADCBEC， BECADCAEB+CEDDCE+DEC90+CED， 即：AEB90， 在 RtABE 中，AE2+BE2AB2， 设：BEx，则 AD= 3x， AB12，AEAD+DE= 3x+8， 即： （3x+8）2+x2122，解得：x42 23， 当 DE 在 AC 上方时， 求得：x42 +23； sinBAE= = 223 6 【点睛】本题是三角形相似综合题，核心是确定图象旋转后的位置，利用相似确定边角关系，此类题目 难度在于作图的准确性 25 （2019普陀区一模）如图，点 O 在线段 AB 上，AO2OB2a，BOP
44、60，点 C 是射线 OP 上的 一个动点 （1）如图，当ACB90，OC2，求 a 的值； （2）如图，当 ACAB 时，求 OC 的长（用含 a 的代数式表示） ； （3）在第（2）题的条件下，过点 A 作 AQBC，并使QOCB，求 AQ：OQ 的值 【答案】解： （1）如图中，作 CHAB 于 H CHAB， AHCBHC90， ACB90， ACH+BCH90，ACH+A90， BCHA， ACHCBH， = ， OC2，COH60， OCH30， OH= 1 2OC1，CH= 3， 3 ;1 = 2:1 3 ， 整理得：2a2a40， 解得 a= 1+33 4 或1;33 4 （舍
45、弃） 经检验 a= 1+33 4 是分式方程的解 a= 1+33 4 （2）如图中，设 OCx作 CHAB 于 H，则 OH= 2，CH= 3 2 x 在 RtACH 中，AC2AH2+CH2， （3a）2（ 3 2 x）2+（2a+ 1 2x） 2， 整理得：x2+ax5a20， 解得 x（6 1）a 或（6 1）a（舍弃） ， OC（6 1）a， （3）如图1 中，延长 QC 交 CB 的延长线于 K AOCAOQ+QOCABC+OCB，QOCABC， AOQKCO， AQBK， QK， QOAKCO， = ， = ， KK，KOBAOQKCO， KOBKCO， = ， = = (6;1) = 6:1 5 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学 会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题 26 （2019宝山区一模）如图，已知：梯形 ABCD 中，ABC90，DAB45，ABDC，DC3， AB5，点 P 在 AB 边上，以点 A 为圆心 AP 为半径作弧交边 DC 于点 E，射线 EP 于射线 CB 交于点 F （1）若 AP= 13，求 DE 的长； （2）联结 CP，若 CPEP，求 AP 的长； （3）线段 CF 上是否存在点 G，使得ADE 与FGE
