1、专题13 图形的性质之解答题（2）（50道题）参考答案与试题解析一解答题（共50小题）1（2019怀柔区二模）如图，E为AB中点，CEAB于点E，AD5，CD4，BC3，求证：ACD90【答案】证明：E为AB中点，CEAB于点E，ACBC，BC3，AC3，又AD5，CD4，AC2+CD2AD2，ACD90，【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键2（2019西城区二模）如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程已知：平行四边形ABCD求作：点M，使点M为边AD的中点作法：如图，作射线BA；以点A为圆心，CD长为半径画弧，交BA的延长线于点E；
2、连接EC交AD于点M所以点M就是所求作的点根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接AC，ED四边形ABCD是平行四边形，AECDAECD，四边形EACD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）AMMD（全等三角形的对应边相等）（填推理的依据）点M为所求作的边AD的中点【答案】解：（1）点M如图所示（2）连接AC，ED四边形ABCD是平行四边形，AECDAECD，四边形EACD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）AMMD（全等三角形的对应边相等）（填推理的依据）点M为
3、所求作的边AD的中点故答案为：CD，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，全等三角形的对应边相等，【点睛】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确应用全等三角形性质解决问题3（2019怀柔区二模）如图，在四边形ABCD中，ADBC，AE平分BAD，交BC于点E，作EFAB，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接CF，CFEF（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BF4，tanFBC，求EC的长【答案】（1）证明：EFAB，ADBC四边形ABEF是平行四边形，ADBC，AE平分BAD，DAEAEBDAEBAEBAEAEB，ABBE，四边形ABE
4、F是菱形；（2）解：作FHBC于H，如图所示：四边形ABEF是菱形，BF4，BPE90，PBPF2，tanFBC，PE，BE5，在RtBFH中，tanFBC，BF4FH4，BH8EH3CFEF，EC2EH6【点睛】本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练运用菱形的性质和判定4（2019门头沟区二模）如图，在ABCD中，点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使得AFCDEC，连接CF，DE（1）求证：四边形DECF是平行四边形；（2）如果AB13，DF14，tanDCB，求CF的长【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADEDEC，AFCDEC
5、，AFCADE，DECF，ADBC，DFCE，四边形DECF是平行四边形；（2）解：如图，过D作DMEC于M，则DMCDME90，四边形ABCD是平行四边形，DCAB13，DCBCDF，tanCDF，tanDCB，设DM12x，则CM5x，由勾股定理得：（12x）2+（5x）2132，解得：x1，即CM5，DM12，CE14，EM1459，在RtDME中，由勾股定理得：DE15，四边形DECF是平行四边形，CFDE15【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形的应用，能灵活运用性质进行推理和计算是解此题的关键5（2019怀柔区二模）如图，AB是O的直径，弦EFAB于点C，
6、点D是AB延长线上一点，A30，D30（1）求证：FD是O的切线；（2）取BE的中点M，连接MF，若MF，求O的半径【答案】解：（1）连接OE，OF，如图，EFAB，AB是O的直径，DOFDOEDOE2A，A30，DOF60，D30，OFD90OFFDFD为O的切线；（2）连接OMAB为O的直径，O为AB中点，AEB90M为BE的中点，OMAE，A30，MOBA30DOF2A60，MOF90，OM2+OF2MF2设O的半径为rAEB90，A30，解得r2（舍去负根），O的半径为2【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系
7、简记作：见切点，连半径，见垂直也考查了圆周角定理和垂径定理6（2019西城区二模）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CFAE，连接DE，DF，EFFH平分EFB交BD于点H（1）求证：DEDF；（2）求证：DHDF：（3）过点H作HMEF于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明【答案】（1）证明：如图1中，四边形ABCD是正方形，ADCD，EADBCDADC90，EADDCF90，CFAE，AEDCFD（SAS），ADECDF，EDFEDC+CDFEDC+ADEADC90，DEDF（2）证明：AEDCFD，DEDF，EDF90，DEF
8、DFE45，ABC90，BD平分ABC，DBF45，FH平分BFE，HFBHFE，DHFHFB+DBCHFB+45，DFHHFE+DFEHFE+45，DHFDFH，DHDF（3）解：结论：EF2AB2HM理由：如图2中，作HMEF于M，HNBC于N四边形ABCD是正方形，ABAD，BAD90，BDAB，FH平分BFE，HMEF，HNBF，HMHN，HBN45，HNB90，BHHNHM，DHBDBHABHM，EFDFDH，EF2AB2HM【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角
9、形解决问题，属于中考压轴题7（2019门头沟区二模）对于平面直角坐标系xOy中的动点P和图形N，给出如下定义：如果Q为图形N上一个动点，P，Q两点间距离的最大值为dmax，P，Q两点间距离的最小值为dmin，我们把dmax+dmin的值叫点P和图形N间的“和距离”，记作d（P，图形N）（1）如图1，正方形ABCD的中心为点O，A（3，3）点O到线段AB的“和距离”d（O，线段AB）3+3；设该正方形与y轴交于点E和F，点P在线段EF上，d（P，正方形ABCD）7，求点P的坐标（2）如图2，在（1）的条件下，过C，D两点作射线CD，连接AC，点M是射线CD上的一个动点，如果6d（M，线段AC）6
10、+3，直接写出M点横坐标t取值范围【答案】解：（1）如图1，连接OA，四边形ABCD是正方形，且A（3，3），dmax+dminOE+OA3+3，即d（O，线段AB）3+3，故答案为：3+3；设P（0，y），d（P，正方形ABCD）7，dmax+dmin7，分两种情况：E（0，3），F（0，3），且P是线段EF上一个动点，i）当P在x轴上方时，如图2，连接PC，dmax+dminPE+PC7，3y7，解得：y1，经检验，y1是原方程的解，P（0，1），ii）当P在x轴的下方时，同理可得P（0，1）；综上，点P的坐标为（0，1）或（0，1）；（2）分两种情况：当3t3时，如图3，M在线段CD上，
11、过M作MNAC于N，连接AM，M点横坐标是t，CMt+3，四边形ABCD是正方形，ACD45，CMN是等腰直角三角形，MN（t+3），d（M，线段AC）MN+MA（t+3），当t3时，如图4，M在线段CD的延长线上，过M作MNAC于N，同理MN（t+3），d（M，线段AC）MN+CM（t+3）+t+3，在动点M从C到D方向上运动时，MN+MA越来越大，（t+3）6，解得：t3，（t+3）+t+36+3，解得：t3，M点横坐标t取值范围是3t3【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是理解并掌握“和距离”的定义与点到直线的距离，有难度，并注意运用数形结合的思想和分类讨论思想的运用8（2019丰
12、台区二模）如图，在ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，连接DA、DF，且AD2DF，过点B作AD的平行线交FD的延长线于点E（1）求证：四边形ABED为菱形；（2）若BD6，E60，求四边形ABEF的面积【答案】（1）证明：在ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，DF是ABC的中位线，DFAB，DFAB，BEAD，四边形ABED是平行四边形，AD2DF，ADAB，四边形ABED为菱形；（2）解：过B作BGEF于G，四边形ABED为菱形，ABBEDEBD6，DF3，EF9，E60，BDE是等边三角形，BGEF，DGDE3，BGDG3，四边形ABEF的面积【点睛】本题考查了菱形的判定与性
13、质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、梯形面积公式、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键9（2019丰台区二模）如图，AB是O的直径，P是BA延长线上一点，过点P作O的切线，切点为D，连接BD，过点B作射线PD的垂线，垂足为C（1）求证：BD平分ABC；（2）如果AB6，sinCBD，求PD的长【答案】解：（1）证明：连接OD，如图1，PD是O的切线，ODPC，BCPC，ODBC，ODBCBD，OBOD，ODBOBD，CBDOBD，即BD平分ABC；（2）连接AD，AB是O的直径，ADB90，sinCBDsinABD，AB6，AD2，BD4，sinCBD，CD，BC，
14、ODBC，PDOPCB，PD【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，第（1）题关键是过切点连半径，第（2）题的突破口是构造相似三角形10（2019丰台区二模）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（不与点B、C重合），延长AE到点F，连接BF，且AFB45，G为DC边上一点，且DGBE，连接DF，点F关于直线AB的对称点为M，连接AM、BM（1）依据题意，补全图形；（2）求证：DAGMAB；（3）用等式表示线段BM、DF与AD的数量关系，并证明【答案】（1）解：如图1所示：（2）证明：四边形ABCD是正
15、方形，ABAD，ABCBADADG90，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），BAEDAG，点F关于直线AB的对称点为M，BAEMAB，DAGMAB；（3）解：BM2+DF22AD2；理由如下：连接BD，延长MB交AG的延长线于点N，如图2所示：BAD90，DAGMAB，MAN90，由对称性可知：MAFB45，N45，MN，AMAN，AFAM，AFAN，BAEDAG，BANDAF，在BAN和DAF中，BANDAF（SAS），NAFD45，BFD90，BF2+DF2BD2，BDAD，BMBF，BM2+DF22AD2【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴
16、对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键11（2019平谷区二模）下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程，已知：如图1，直线l和l外一点P求作：直线l的垂线，使它经过点P，作法：如图2，（1）在直线l上任取一点A；（2）连接AP，以点P为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B（点A，B不重合）；（3）连接BP，作APB的角平分线，交AB于点H；（4）作直线PH，交直线l于点H所以直线PH就是所求作的垂线根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明
17、：PH平分APB，APHBPHPAPB，PH直线l于H（等腰三角形的三线合一） （填推理的依据）【答案】（1）解：如图，（2）证明：PH平分APB，APHBPHPAPB，PH直线l于H（等腰三角形的三线合一）故答案为BPH，PB，等腰三角形的三线合一【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作12（2019平谷区二模）如图，AB是O直径，BCAB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切O于点D，连接AD（1）求证：BC
18、CD；（2）若C60，BC3，求AD的长【答案】（1）证明：AB是O直径，BCAB，BC是O的切线，CD切O于点D，BCCD；（2）解：连接BD，BCCD，C60，BCD是等边三角形，BDBC3，CBD60，ABD30，AB是O直径，ADB90，ADBDtanABD【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键13（2019平谷区二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AEBC交CB延长线于E，CFAE交AD延长线于点F（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若cosBAE，AB5，求OE的长【答案】（1）证
19、明：四边形ABCD是菱形，ADBC，CFAE，四边形AECF是平行四边形，AEBC，四边形AECF是矩形；（2）解：cosBAE，AB5，AE4，BE3，ABBC5，CE8，AC4，AOCO2，四边形AECF是矩形，OEOA2【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键14（2019石景山区二模）如图，P是矩形ABCD内部的一定点，M是AB边上一动点，连接MP并延长与矩形ABCD的一边交于点N，连接AN已知AB6cm，设A，M两点间的距离为xcm，M，N两点间的距离为y1cm，A，N两点间的距离为y2cm小欣根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随
20、自变量x的变化而变化的规律进行了探究下面是小欣的探究过程，请补充完整；（1）按照如表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0123456y1/cm6.305.404.804.223.133.254.52y2/cm6.306.346.436.695.754.813.98（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各组对应值所对应的点（x，y1），并画出函数y1的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当AMN为等腰三角形时，AM的长度约为3.3或4.8或5.7cm【答案】解：（1）观察图象可知D（2，4.80），故答案为4.80（2）两个函数图象
21、如图所示：（3）两个函数与直线yx的交点为A，B，函数y1与y2的交点为C，观察图象可知：A（3.3，3.3），B（4.8，4.8），C（5.7，4）AMN为等腰三角形时，AM的值约为3.3或4.8或5.7故答案为3.3或4.8或5.7【点睛】本题考查四边形的性质，函数图象等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型15（2019石景山区二模）下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程已知：AOB求作：APC，使得APC2AOB作法：如图，在射线OB上任取一点C；作线段OC的垂直平分线，交OA于点P，交OB于点D；连接PC；所以APC即为所求作的角根据小华设计的
22、尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）证明：DP是线段OC的垂直平分线，OPPC（线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）OPCOAPCO+PCO（三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和）APC2AOB【答案】解：（1）如图，APC即为所求作；（2）证明：DP是线段OC的垂直平分线，OPPC（线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）OPCOAPCO+PCO（三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和）APC2AOB故答案为线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形任意一个外角等于与
23、它不相邻的两内角的和【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作16（2019石景山区二模）如图，AB平分CAD，ACB+ADB180，（1）求证：BCBD（2）若BD10，cosADB，求ADAC的值【答案】（1）证明：作BNAD于N，BMAC于MBAMBAN，AMBANB90，ABAB，ABMABN（AAS），AMAN，BMBN，MAN+MBN180，MAN+CBD180，CBDMBN，CBMNBD，BMCBND90，BM
24、BN，BMCBND（ASA），BCBD（2）解：在RtBND中，BD10，cosADB，DN4，ADAN+DN，ACAMCM，AMAN，CMDN4，ADACAN+DNAM+CM8【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型17（2019朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），称d（P1，P2）|x1x2|+|y1y2|为P1、P2两点的直角距离（1）已知：点A（1，2），直接写出d（O，A）3；（2）已知：B是直线yx+3上的一个动点如图1，求d（O，B）的
25、最小值；如图2，C是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求d（B，C）的最小值【答案】解：（1）d（O，A）|01|+|02|1+23，故答案为：3（2）设B（a，a+3），则d（O，B）|0a|+|0（a+3）|a|+|a3|，当a0时，d（O，B）aa+3a+33；当a0时，d（O，B）3；当0a4时，d（O，B）aa+3a+33；当a4时，d（O，B）4；当a4时，d（O，B）aa3a34；综上，d（O，B）的最小值为3；当点C在过原点且与直线yx+3垂直的直线上时，点B与点C的“直角距离”最小设点C的坐标为（x，y）（点C位于第一象限），则解得：点C（，）由得，B（，），则d（B
26、，C）的最小值为|+|【点睛】本题考查了圆的综合题：掌握直线与圆的位置关系、绝对值的意义和直线与直线的交点问题；通过阅读理解新概念、新定义的意义18（2019怀柔区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G上任意一点M，给出如下定义：图形G关于原点O的中心对称图形为G，点M在G上的对应点为M，若MPM90，则称点P为图形G，G的“直角点”，记作Rt（G，P，G）已知点A（2，0），B（2，0），C（0，2）（1）如图1，在点P1（1，1），P2（0，3），P3（0，2）这三个点中，Rt（OA，P，OA）是P1和P3；（2）如图2，D的圆心为D（1，1），半径为1，在直线yx+b上存在点P，
27、满足Rt（D，P，D），求b的取值范围；（3）T的半径为，圆心（t，t），若T上存在点P，满足Rt（ABC，P，ABC），直接写出T的横坐标的取值范围【答案】解：（1）A（2，0），点A关于原点O的对称点A（2，0），此时A与B重合，如图1，M与M是点O的对称点，有AP3BMP1M90，Rt（OA，P，OA）是：P1和P3；故答案为：P1和P3；（2）如图2，作直线yx，取一点P，作PQx轴于Q，设P（x，x），cosPOQ，POQ60，如图3，作D关于原点O的对称图形D，以1为半径，作O，在上和下作O的切线：yx+b，当b0时，设直线MN与O的切点为E，连接OE，则OEMN，RtOEN中，E
28、NO30，OE1，ONb2OE22，当b0时，同理得：b22，满足Rt（D，P，D），则22b22；（3）作C关于点O的对称点C（0，2），以O为圆心，以OC为半径作O，作直线yx，则T在此直线上，当O与T相外切时，设切点为P，此时CPC90，满足Rt（ABC，P，ABC），过T作TRx轴于R，则OT23，TOR30，TR，OR，同理当T在第三象限时，如图5，同理得OR，T的横坐标的取值范围是：t【点睛】本题主要考查了圆和函数的综合题，涉及勾股定理，一次函数，圆周角定理，新定义：“直角点”，解题的关键是对于平面直角坐标系xOy中的点G和图形G，理解和运用给出的定义19（2019西城区一模）在平
29、面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PMQN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点（1）如图1，已知点A（0，3），B（2，3）设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是3，最大值是；在P1（），P2（1，4），P3（3，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是P1（2）如图2，已知圆O的半径为1，点D的坐标为（5，0），若点E（x，2）在第一象限，且点D与点E是圆O的一对平衡点，求x的取值范围（3）如图3，已知点H（3，0），以点O为圆心，OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K，点C（a，b）（其中b0）是坐标平面内一个
30、动点，且OC5，圆C是以点C为圆心，半径为2的圆，若弧HK上的任意两个点都是圆C的一对平衡点，直接写出b的取值范围【答案】解：（1）由题意知：OA3，OB，则d的最小值是3，最大值是；根据平衡点的定义，点P1与点O是线段AB的一对平衡点，故答案为3，P1（2）如图2中，由题意点D到O的最近距离是4，最远距离是6，点D与点E是O的一对平衡点，此时需要满足E1到O的最大距离是4，即OE13，可得x，同理：当E2到的最小距离为是6时，OE27，此时x3，综上所述，满足条件的x的值为x3（3）点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，以C为圆心2为半径的圆刚好与弧相切，此时要想上任意两点都是圆C的平衡点
31、，需要满足CK6，CH6，如图31中，当CK6时，作CMHK于H由题意：，解得：或（舍弃），如图33中，当CH6时，同法可得a，b，在两者中间时，a0，b5，观察图象可知：满足条件的b的值为b5【点睛】本题属于圆综合题，考查了点P与点Q是图形W的一对平衡点两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题20（2019大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，如果等边三角形的一边与x轴平行或在x轴上，则称这个等边三角形为水平正三角形（1）已知A（1，0），B（1，0），若ABC是水平正三角形，则点C坐标的是（只填序号）； （1，2），（0，）
32、，（0，1），（0，）（2）已知点O（0，0），E（1，），F（0，2），以这三个点中的两个点及平面内的另一个点P为顶点，构成一个水平正三角形，则这两个点是，并求出此时点P的坐标；（3）已知O的半径为，点M是O上一点，点N是直线y上一点，若某个水平正三角形的两个顶点为M，N，直接写出点N的横坐标xN的取值范围【答案】解：（1）A（1，0），B（1，0），OAOB1，ACBCAB2，OC，当点C在x轴上方时，C（0，），当点C在x轴下方时，C（0，），则点C坐标的是，；（2）因为是一个水平正三角形，则这两个点是O，E，连接OE，如图1所示：OE与x轴正方向夹角为60当点P在线段OE的左侧时，点P
33、与点E关于y轴对称，P（1，）当点P在线段OE的右侧时，点P在x轴上且OPOE，P（2，0）P（1，）或P（2，0）；（3）分三种情况：当MN与x轴平行或重合时，如图2所示：EF为O的直径，直线y与坐标轴的交点分别为A、B，则OA3，OB9，ABO30，作DEx轴交直线y于D，作CFx轴交直线y于C，则N在线段CD上，AEOAOE2，DEAE6，同理：CF12，12xN6；当MN与x轴的负半轴夹角为60时，如图3所示：作OE直线AB于E，作直径GHOE，作GDOE、HCOE，分别交AB于D、C，作CFOB于F，作DPOB于P，则N在线段CD上，OHOGCEDE，ABO30，OEOB，BEOE，
34、BCBECE，CF，BFCF，OFOBBF；同理：OP，xN；当MN与x轴的正半轴夹角为60时，如图4所示：同得：xN综上所述，点N的横坐标xN的取值范围为12xN6或xN或xN【点睛】本题是圆的综合题目，考查了新定义“水平正三角形”、直角三角形的性质、等边三角形的性质、矩形的性质、直线与圆的位置关系、坐标与图形性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，理解水平正三角形的定义是解题的关键21（2019大兴区一模）如图，以AB为直径的半圆上有一点C，连接AC，点P是AC上一个动点，连接BP，作PDBP交AB于点D，交半圆于点E已知：AC5cm，设PC的长度为xcm，PD的长度为y1cm，PE
35、的长度为y2cm（当点P与点C重合时，y15，y20，当点P与点A重合时，y10，y20）小青同学根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x变化而变化的规律进行了探究下面是小青同学的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请补全表格；x/cm00.511.522.533.544.55y1/cm52.851.981.521.210.970.760.560.370.190y2/cm00.461.291.611.841.961.951.791.410（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x
36、，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PD，PE的长都大于1cm时，PC长度的取值范围约是1.1PC2.4；点C，D，E能否在以P为圆心的同一个圆上？否（填“能”或“否”）【答案】解：（1）利用测量法可知：x1时，y20.89（允许答案有误差）（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知：当PD，PE的长都大于1cm时，PC长度的取值范围约是1.1PC2.4故答案为1.1PC2.4因为函数y1，y2以及直线yx，不可能交于同一点，所以不存在满足PCPDPE的点P，所以点C，D，E不可能在以P为圆心的同一个圆，故答案为：否【点睛】本题考查圆综合题，函数
37、图象问题，解题的关键是理解题意，学会利用测量法解决问题，学会利用函数图象解决问题，属于中考压轴题22（2019怀柔区一模）如图，AB为O的直径，点C，D在O上，且点C是的中点连接AC，过点C作O的切线EF交射线AD于点 E（1）求证：AEEF；（2）连接BC若AE，AB5，求BC的长【答案】（1）证明：连接 OCOAOC，12点C是的中点1332AEOCEF是O的切线，OCEFAEEF；（2）解：AB为O 的直径，ACB90AEEF，AEC90又13，AECACB，AC2AEAB516AC4AB5，BC3【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质定理、
38、直径所对的圆周角是直角是解题的关键23（2019大兴区一模）如图，AB为O的直径，CB与O相切于点B，连接AC交O于点D（1）求证：DBCDAB；（2）若点E为的中点，连接BE交AD于点F，若BC6，sinABD，求AF的长【答案】（1）证明：CB与O相切于点B，AB为O的直径，ABC90，ABD+DBC90AB为O的直径，ADB90ABD+DAB90DBCDAB（2）解：如图，ABCADB，ABD+DBCC+DBCABDC，BC6，DC4cosC，DFBABF+DAB，FBCDBF+DBC，又点E为的中点，AEDE，DBFABF由（1）得：DABDBC，DFBFBCCFBC6cosC，AC9
39、AFACCF963【点睛】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理以及锐角三角函数的定义等知识24（2019怀柔区一模）下面是“已知斜边作一个直角三角形”的尺规作图过程已知：线段AB求作：一个直角三角形ABC，使线段AB为斜边作法：如图，过A任意作一条射线l；在射线l上任取两点D，E；分别以点D，E为圆心，DB，EB长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线BP交射线l于点 C所以ABC就是所求作的直角三角形思考：（1）按上述方法，以线段AB为斜边还可以作无数个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点C所形成的图形是以AB为直径的圆（点A、B除外），理由是直径所对的圆周角为直角【答案】解：（1）以线段AB为斜边还可以作无数个直角三角形；（2）这些直角三角形的直角顶点C所形成的图形是以AB为直径的圆（点A、B除外），理由是直径所对的圆周角为直角；故答案为无数；以AB为直径的圆（点A、B除外）；直径所对的圆周角为直角【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作25（2019大兴区一模）下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程
