1、专题15 图形的变化之解答题参考答案与试题解析一解答题(共13小题)1(2019徐州)如图,将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,折痕为EF求证:(1)ECBFCG;(2)EBCFGC【答案】证明:(1)四边形ABCD是平行四边形,ABCD,由折叠可得,AECG,BCDECG,BCDECFECGECF,ECBFCG;(2)四边形ABCD是平行四边形,DB,ADBC,由折叠可得,DG,ADCG,BG,BCCG,又ECBFCG,EBCFGC(ASA)【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质,平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分2(
2、2019常州)如图,把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠,点C落在点C处,BC与AD相交于点E(1)连接AC,则AC与BD的位置关系是ACBD;(2)EB与ED相等吗?证明你的结论【答案】解:(1)连接AC,则AC与BD的位置关系是ACBD,故答案为:ACBD;(2)EB与ED相等由折叠可得,CBDCBD,ADBC,ADBCBD,EDBEBD,BEDE【点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质,折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等3(2019淮安)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点A、B都在格点上(两条网格线的交点
3、叫格点)(1)将线段AB向上平移两个单位长度,点A的对应点为点A1,点B的对应点为点B1,请画出平移后的线段A1B1;(2)将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90,点B1的对应点为点B2,请画出旋转后的线段A1B2;(3)连接AB2、BB2,求ABB2的面积【答案】解:(1)线段A1B1如图所示;(2)线段A1B2如图所示;(3)S442224246【点睛】本题考查了平移变换和旋转变换作图,熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键4(2019常州)将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只
4、不透明的袋子中(1)搅匀后从中摸出1个盒子,盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是;(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余下的2个盒子中摸出1个盒子,把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起,求拼成的图形是轴对称图形的概率(不重叠无缝隙拼接)【答案】解:(1)搅匀后从中摸出1个盒子,可能为A型(正方形)、B型(菱形)或C型(等腰直角三角形)这3种情况,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种,盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是;故答案为:;(2)画树状图为:共有6种等可能的情况,其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种:A和C,C和A,拼成的图形是轴对称图形
5、的概率为【点睛】本题主要考查了概率公式,列举法(树形图法)求概率的关键在于列举出所有可能的结果,列表法是一种,但当一个事件涉及三个或更多元素时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树形图5(2019淮安)如图,在ABC中,ABAC3,BAC100,D是BC的中点小明对图进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80,点B的对应点是点E,连接BE,得到BPE小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:(1)当点E在直线AD上时,如图
6、所示BEP50;连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是ECAB(2)请在图中画出BPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值【答案】解:(1)如图中,BPE80,PBPE,PEBPBE50,结论:ABEC理由:ABAC,BDDC,ADBC,BDE90,EBD905040,AE垂直平分线段BC,EBEC,ECBEBC40,ABAC,BAC100,ABCACB40,ABCECB,ABEC故答案为50,ABEC(2)如图中,以P为圆心,PB为半径作PAD垂直平分线段BC,PBPC,BCEBPE40,ABC40,
7、ABEC(3)如图中,作AHCE于H,点E在射线CE上运动,点P在线段AD上运动,当点P运动到与点A重合时,AE的值最小,此时AE的最小值AB3【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了等腰三角形的性质,平行线的判定,圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,灵活运用所学知识解决问题,学会利用辅助圆解决问题,属于中考压轴题6(2019苏州)如图,ABC中,点E在BC边上,AEAB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置,使得CAFBAE,连接EF,EF与AC交于点G(1)求证:EFBC;(2)若ABC65,ACB28,求FGC的度数【答案】(1)证明:CAFBAE,BACEAF将线段AC绕A点旋转
8、到AF的位置,ACAF在ABC与AEF中,ABCAEF(SAS),EFBC;(2)解:ABAE,ABC65,BAE18065250,FAGBAE50ABCAEF,FC28,FGCFAG+F50+2878【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理以及三角形外角的性质,证明ABCAEF是解题的关键7(2019扬州)如图,已知等边ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合)直线1是经过点P的一条直线,把ABC沿直线1折叠,点B的对应点是点B(1)如图1,当PB4时,若点B恰好在AC边上,则AB的长度为4;(2)如图2,当PB5时,若直线
9、1AC,则BB的长度为5;(3)如图3,点P在AB边上运动过程中,若直线1始终垂直于AC,ACB的面积是否变化?若变化,说明理由;若不变化,求出面积;(4)当PB6时,在直线1变化过程中,求ACB面积的最大值【答案】解:(1)如图1中,ABC是等边三角形,A60,ABBCAC8,PB4,PBPBPA4,A60,APB是等边三角形,ABAP4故答案为4(2)如图2中,设直线l交BC于点E连接BB交PE于OPEAC,BPEA60,BEPC60,PEB是等边三角形,PB5,B,B关于PE对称,BBPE,BB2OBOBPBsin60,BB5故答案为5(3)如图3中,结论:面积不变B,B关于直线l对称,
10、BB直线l,直线lAC,ACBB,SACBSACB8216(4)如图4中,当BPAC时,ACB的面积最大,设直线PB交AC于E,在RtAPE中,PA2,PAE60,PEPAsin60,BE6,SACB的最大值8(6)424【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了等边三角形的性质和判定,轴对称变换,解直角三角形,平行线的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考压轴题8(2019宿迁)如图,在钝角ABC中,ABC30,AC4,点D为边AB中点,点E为边BC中点,将BDE绕点B逆时针方向旋转度(0180)(1)如图,当0180时,连接AD、CE求证:BDABEC;(2
11、)如图,直线CE、AD交于点G在旋转过程中,AGC的大小是否发生变化?如变化,请说明理由;如不变,请求出这个角的度数;(3)将BDE从图位置绕点B逆时针方向旋转180,求点G的运动路程【答案】解:(1)如图中,由图,点D为边AB中点,点E为边BC中点,DEAC,DBEABC,DBAEBC,DBAEBC(2)AGC的大小不发生变化,AGC30理由:如图中,设AB交CG于点ODBAEBC,DABECB,DAB+AOG+G180,ECB+COB+ABC180,AOGCOB,GABC30(3)如图1中设AB的中点为K,连接DK,以AC为边向右作等边ACO,连接OG,OB以O为圆心,OA为半径作O,AG
12、C30,AOC60,AGCAOC,点G在O上运动,以B为圆心,BD为半径作B,当直线与B相切时,BDAD,ADB90,BKAK,DKBKAK,BDBK,BDDKBK,BDK是等边三角形,DBK60,DAB30,DOG2DAB60,的长,观察图象可知,点G的运动路程是的长的两倍【点睛】本题属于相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,弧长公式,等边三角形的判定和性质,圆周角定理等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,学会正确寻找点的运动轨迹,属于中考压轴题9(2019南京)如图,在RtABC中,C90,AC3,BC4求作菱形DEFG,使点D在边AC上,点E、F在边AB上,点G在边BC上
13、小明的作法1如图,在边AC上取一点D,过点D作DGAB交BC于点G2以点D为圆心,DG长为半径画弧,交AB于点E3在EB上截取EFED,连接FG,则四边形DEFG为所求作的菱形(1)证明小明所作的四边形DEFG是菱形(2)小明进一步探索,发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化请你继续探索,直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围【答案】(1)证明:DEDG,EFDE,DGEF,DGEF,四边形DEFG是平行四边形,DGDE,四边形DEFG是菱形(2)如图1中,当四边形DEFG是正方形时,设正方形的边长为x在RtABC中,C90,AC3,BC4,AB5,则CDx,ADx,AD+CDA
14、C,x3,x,CDx,观察图象可知:0CD时,菱形的个数为0如图2中,当四边形DAEG是菱形时,设菱形的边长为mDGAB,解得m,CD3,如图3中,当四边形DEBG是菱形时,设菱形的边长为nDGAB,n,CG4,CD,观察图象可知:当0CD或CD3时,菱形的个数为0,当CD或CD时,菱形的个数为1,当CD时,菱形的个数为2【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质,菱形的判定和性质,作图复杂作图等知识,解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题,属于中考常考题型,题目有一定难度10(2019宿迁)宿迁市政府为了方便市民绿色出行,推出了共享单车服务图是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图,图是其示意图,其
15、中AB、CD都与地面l平行,车轮半径为32cm,BCD64,BC60cm,坐垫E与点B的距离BE为15cm(1)求坐垫E到地面的距离;(2)根据经验,当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时,坐骑比较舒适小明的腿长约为80cm,现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E,求EE的长(结果精确到0.1cm,参考数据:sin640.90,cos640.44,tan642.05)【答案】解:(1)如图1,过点E作EMCD于点M,由题意知BCM64、ECBC+BE60+1575cm,EMECsinBCM75sin6467.5(cm),则单车车座E到地面的高度为67.5+3299.5(cm);(2)如图2所
16、示,过点E作EHCD于点H,由题意知EH800.864,则EC71,1,EECECE7571.13.9(cm)【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是明确题意,利用锐角三角函数进行解答11(2019泰州)某体育看台侧面的示意图如图所示,观众区AC的坡度i为1:2,顶端C离水平地面AB的高度为10m,从顶棚的D处看E处的仰角1830,竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m,E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m求:(1)观众区的水平宽度AB;(2)顶棚的E处离地面的高度EF(sin18300.32,tanl8300.33,结果精确到0.1m)【答案】解:(1)观众区AC的坡度i为1:2,
17、顶端C离水平地面AB的高度为10m,AB2BC20(m),答:观众区的水平宽度AB为20m;(2)作CMEF于M,DNEF于N,则四边形MFBC、MCDN为矩形,MFBC10,MNCD4,DNMCBF23,在RtEND中,tanEDN,则ENDNtanEDN7.59,EFEN+MN+MF7.59+4+1021.6(m),答:顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题,掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键12(2019连云港)如图,海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向,距离为25海里在某时刻,哨所A与哨所
18、B同时发现一走私船,其位置C位于哨所A北偏东53的方向上,位于哨所B南偏东37的方向上(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离;(2)若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉私艇沿北偏东76的方向前去拦截,求缉私艇的速度为多少时,恰好在D处成功拦截(结果保留根号)(参考数据:sin37cos53,cos37sin53,tan37,tan764)【答案】解:(1)在ABC中,ACB180BBAC180375390在RtABC中,sinB,ACABsin372515(海里)答:观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里;(2)过点C作CMAB于点M,由题
19、意易知,D、C、M在一条直线上在RtAMC中,CMACsinCAM1512,AMACcosCAM159在RtAMD中,tanDAM,DMAMtan769436,AD9,CDDMCM361224设缉私艇的速度为x海里/小时,则有,解得x6经检验,x6是原方程的解答:当缉私艇的速度为6海里/小时时,恰好在D处成功拦截【点睛】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题,结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想13(2019南京)如图,山顶有一塔AB,塔高33m计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27、22,
20、从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45求隧道EF的长度(参考数据:tan220.40,tan270.51)【答案】解:延长AB交CD于H,则AHCD,在RtAHD中,D45,AHDH,在RtAHC中,tanACH,AHCHtanACH0.51CH,在RtBHC中,tanBCH,BHCHtanBCH0.4CH,由题意得,0.51CH0.4CH33,解得,CH300,EHCHCE220,BH120,AHAB+BH153,DHAH153,HFDHDF103,EFEH+FH323,答:隧道EF的长度为323m【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键