1、第第 9 章中心对称图形章中心对称图形平行四边形期末综合复习能力提升训练平行四边形期末综合复习能力提升训练 1 1如图，在ABC 中，BAC90，AB3，AC4，P 为边 BC 上一动点，PEAB 于 E，PFAC 于 F， 则 EF 的最小值为（ ） A1.2 B1.25 C2.4 D2.5 2如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD5，点 P 在 AD 上，点 Q 在 BC 上，且 APCQ，连 接 CP，QD，则 PC+QD 的最小值为（ ） A10 B11 C12 D13 3平行四边形 ABCD 的周长是 20，AC 与 BD 交于点 O，AOB 的周长比BOC 的周长大 4，则 AB
2、 的长 为（ ） A3 B7 C8 D12 4如图，在矩形 ABCD 中，AB9，AD12，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作 OEAC 交 AD 于 点 E，则 ED 的长为（ ） A B C2 D 5如图，在正方形 ABCD 中，AB4E，F 分别为边 AB，BC 的中点，连接 AF，DE，点 N，M 分别 为 AF，DE 的中点，连接 MN，则 MN 的长为（ ） A B2 C D2 6如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，点 D 在 CG 上，BC1，CE3，H 是 AF 的中点，那么 CH 的长是（ ） A2.5 B C D2 7如图，在菱形 ABCD 中，对角
3、线 AC，BD 相交于点 O，BD6，AC8，直线 OEAB 交 CD 于点 F， 则 EF 的长为（ ） A4.8 B C5 D6 8如图，在ABC 中，AB10，BC16，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，点 F 是线段 DE 上的一点， 连接 AF、BF，若AFB90，则线段 EF 的长为（ ） A2 B3 C4 D5 9如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作 DHAB 于点 H，连接 OH，若 OA4，S 菱形ABCD24，则 OH 的长为（ ） A.2 B3 C D 10如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，过点
4、O 的直线分别交 AD 和 BC 于点 F，E， 若设该平行四边形的面积为 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A4 B1 C D无法确定 11如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 AD 边的中点，BD，CE 交于点 H，BE，AH 交于点 G，则下列结论： ABEDCE； AGBE； SBHESCHD； AHBEHD 其中正确的结论有： （请 填上序号） 12如图，在平行四边形 ABCD 中，B90，BCAB，点 E、F 分别在边 BC 和 CD 上，AE6，AF 8，EAF60 （1）若 AEBC，AFCD，则 CD：BC ； （2）若点 E、F 在分别是边 BC 和 CD 的中点，则 A
5、D 13如图，平行四边形 ABCD 中，AB8cm，AD12cm，点 P 在 AD 边上以每秒 1cm 的速度从点 A 向点 D 运动，点 Q 在 BC 边上，以每秒 4cm 的速度从点 C 出发，在 CB 间往返运动，两个点同时出发，当点 P 到达点 D 时停止（同时点 Q 也停止） 在运动以后，当 t 时以 P、D、Q、B 四点组 成的四边形为平行四边形 14已知矩形 ABCD 中有一点 P，满足 PA1，PB2，PC3，则 PD 15四边形 ABCD 是菱形，BAD60，AB6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 AC 上，若 OE ，则 CE 的长为 16如图，正方形 A
6、BCD 中，对角线 BD 长为 15cmP 是线段 AB 上任意一点，则点 P 到 AC，BD 的距离 之和等于 cm 17 如图， ABCD 中， 对角线 AC、 BD 交于点 O， OEAC 交 AB 于点 E， 已知BCE 的周长为 14， 则ABCD 的周长为 18如图，菱形 ABCD 的对角线交于点 O，AB5，AC6，DEBC 于点 E，则 OE 19如图，正方形 ABCD 的边长为 5，点 E 在边 CD 上，且 DE2，F 是对角线 AC 上一点，连接 DF、EF， 若AFDCFE，则 DF+EF 的值为 20如图，在正方形 ABCD 内，以 AB 为边作等边ABE，则BEG
7、21如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 A 作 AEBC 于点 E，延长 BC 到点 F，使 CFBE，连接 DF （1）求证：四边形 AEFD 是矩形； （2）连接 OE，若 AD10，EC4，求 OE 的长度 22如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是边 AB，AD 的中点 （1）请判断OEF 的形状，并证明你的结论； （2）若 AB13，AC10，请求出线段 EF 的长 23如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，分别过点 C、D 作 CFBD，DFAC，连接 BF 交 AC 于点 E （1）求证：
8、FCEBOE； （2）当ADC90时，判断四边形 OCFD 的形状？并说明理由 24如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 BC 边上的动点（不与点 B、C 重合） ，将射线 AE 绕点 A 按逆 时针方向旋转 45后交 CD 边于点 F，AE、AF 分别交 BD 于 G、H 两点 （1）当BEA55时，求HAD 的度数； （2）设BEA，试用含 的代数式表示DFA 的大小； （3）点 E 运动的过程中，试探究BEA 与FEA 有怎样的数量关系，并说明理由 25如图 1，已知 ADBC，ABCD，BC （1）求证：四边形 ABCD 为矩形； （2）如图 2，M 为 AD 的中点，N 为
9、AB 中点，BNC2DCM，BN2，求 CN 的长 26如图，四边形 ABCD 是矩形，E 是 BD 上的一点，BAEBCE，AEDCED，点 G 是 BC、AE 延长线的交点，AG 与 CD 相交于点 F求证：四边形 ABCD 是正方形 27如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边上的一点，连接 AE，以 AE 为一边，在 AE 的上方作正方形 AEFG，连接 DG求证：ABCE+DG 参考答案参考答案 1解：连接 AP，如图： PEAB，PFAC， AEPAFP90， BAC90， 四边形 AFPE 是矩形， EFAP， 要使 EF 最小，只要 AP 最小即可， 当 APBC 时，
10、AP 最短， BAC90，AB3，AC4， BC5， ABC 的面积435AP， AP2.4， 即 EF2.4， 故选：C 2解：如图，连接 BP， 在矩形 ABCD 中，ADBC，ADBC， APCQ， ADAPBCCQ， DPQB，DPBQ， 四边形 DPBQ 是平行四边形， PBDQ，PBDQ， 则 PC+QDPC+PB，则 PC+QD 的最小值转化为 PC+PB 的最小值， 在 BA 的延长线上截取 AEAB6，连接 PE， PABE， PA 是 BE 的垂直平分线， PBPE， PC+PBPC+PE， 连接 CE，则 PC+QDPC+PBPC+PECE， BE2AB12，BCAD5，
11、 CE13 PC+PB 的最小值为 13 故选：D 3解：平行四边形 ABCD 的周长为 20， BC+AB10， AOB 的周长比BOC 的周长大 4， ABBC4， 联立解得：AB7，BC3， 故选：B 4解：连接 EC，如图， ABCD 是矩形， AOOC EOAC， OE 为线段 AC 的垂直平分线 ECAE 设 DEx，则 AE12x EC12x， 在 RtECD 中， EC2DE2+DC2， （12x）2x2+92 解得：x DE 故选：A 5解：连接 AM，延长 AM 交 CD 于 G，连接 FG， 四边形 ABCD 是正方形， ABCDBC4，ABCD，C90， AEMGDM，
12、EAMDGM， M 为 DE 的中点， MEMD， 在AEM 和 GDM 中， ， AEMGDM（AAS） ， AMMG，AEDGABCD， CGCD2， 点 N 为 AF 的中点， MNFG， F 为 BC 的中点， CFBC2， FG2， MN， 故选：C 6解：如图，连接 AC、CF， 正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，BC1，CE3， AC，CF3， ACDGCF45， ACF90， 由勾股定理得，AF2， H 是 AF 的中点， CHAF2 故选：B 7解：在菱形 ABCD 中，BD6，AC8， OBBD3，OAAC4，ACBD， AB5， S菱形ABCDACBDABEF，
13、即685EF， EF4.8 故选：A 8解：点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点， DE 是ABC 的中位线， BC16， DEBC8 AFB90，D 是 AB 的中点，AB10， DFAB5， EFDEDF853 故选：B 9解：四边形 ABCD 是菱形， AC2AO8， 又S菱形ABCD， BD6， DHAB， 在 RtBHD 中，点 O 是 BD 的中点， OH3 故选：B 10解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，OAOC，OBOD， 在AOB 和COD 中， ， AOBCOD（SSS） ， SAOBSCOD， 同理可证： AFOCEO（ASA） ，BOEDOF（ASA）
14、 ， SAFOSCEO，SBOESDOF， 阴影部分的面积S四边形ABEFS平行四边形ABCD1故选：B 11解：点 E 是 AD 边的中点， AEDE， 而 ABDC，BAECDE， BAECDE（SAS） ， ABEDCE， 故正确； DHDH，ADCD，ADHCDH， ADHCDH（SAS） ， EAGDCE， 而ABEDCE，ABE+AEB90， EAG+AEB90， AGBE， 故正确； CDE 和BDE 同底等高， SCDESBDE， 而 SCDESEHDSBDESEHD， SBHESCHD， 故正确； ADHCDH， AHCH， 而 ABCB，EAGDCE， HABHCB， AB
15、HCBH（SAS） ， AHBCHB， 而EHDCHB， AHBEHD， 故正确， 故答案为： 12解： （1）连接 AC，如图， 平行四边形 ABCD， SABCSACD， 即BCAECDAF， AE6，AF8， 3BC4AF， CD：BC3：4， 故答案为：3：4 （2）延长 AF 与 BC 延长线交于点 M，过点 M 作 MNAE 交 AE 的延长线于点 N，如图， 平行四边形 ABCD， ADBC，ADBM， ADFMCF， F 为 CD 的中点， CFDF， 在AFD 和MFC， ， AFDMFC（ASA） ， ADCM，AFFM， AM2AF16， EAF60，N90， AMN30
16、， ANAM8，MN8， AE6， ENANAE2， EM14， E 为 BC 中点， ECAD， EMEC+CMCMAD， ADEM， 故答案为： 13解：设经过 t 秒，以点 P、D、Q、B 为顶点组成平行四边形， 以点 P、D、Q、B 为顶点组成平行四边形， DPBQ， 分为以下情况：点 Q 的运动路线是 CB，方程为 124t12t， 此时方程 t0，此时不符合题意； 点 Q 的运动路线是 CBC，方程为 4t1212t， 解得：t4.8； 点 Q 的运动路线是 CBCB，方程为 12（4t24）12t， 解得：t8； 点 Q 的运动路线是 CBCBC，方程为 4t3612t， 解得：
17、t9.6； 综上所述，t4.8s 或 8s 或 9.6s 时，以 P、D、Q、B 四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：4.8s 或 8s 或 9.6s 14解：过点 P 作 GHBC 交 AB、CD 于点 G、H， 过 P 作 EFAB 交 AD、BC 于点 E、F， 设 AEBFc，AGDHa， GBHCb，EDFCd， AP2a2+c2， CP2b2+d2， BP2b2+c2， DP2d2+a2， AP1，BP2，CP3， AP2+CP2BP2+DP2， 1+94+DP2， DP26， DP 故答案为： 15解：四边形 ABCD 是菱形， ABAD6，ACBD，OBOD，OAOC，
18、BAD60， ABD 是等边三角形， BDAB6， OBBD3， OCOA3， AC2OA6， 点 E 在 AC 上，OE， 当 E 在点 O 左边时 CEOC+4 当点 E 在点 O 右边时 CEOC2， CE4或 2； 故答案为：4或 2 16解：作 PEOA 于 E，PFOB 于 F，连接 OP，如图， 四边形 ABCD 为正方形， OAOCOBODBD，OAOB， SOPA+SOPBSOAB， PEOA+PFOBOAOB， PE+PFOAcm 故答案为 17解：四边形 ABCD 是平行四边形， O 点为 AC 中点 OEAC， AECE BCE 的周长BC+CE+BEBC+AE+BEB
19、C+AB14 平行四边形 ABCD 周长为 21428 故答案为 28 18解：四边形 ABCD 是菱形， ADAB5，ACBD，AOAC63，OBOD， 在 RtAOD 中，由勾股定理得：OD4， BD2OD8， DEBC， DEB90， ODOB， OEBD84， 故答案为：4 19解：过 D 作 DHAC 于 H，如图： 正方形 ABCD 的边长为 5，DE2， DACDCA45，AC5，CE3， AFDCFE， 而 AF+CF5， AF， AD5，DHAC，DAC45， AHDH， HFAFAH， RtDHF 中，DF， EF， DF+EF 故答案为： 20解：四边形 ABCD 是正方
20、形， ABBCCDDA，ABCBCDCDADAB90 又三角形 ABE 是等边三角形， ABAEBE，EABABEAEB60 DAEDABEAB906030， AEAD， ADEAED75， BEG180DAEAEB180756045 故答案为：45 21 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形， ADBC 且 ADBC， BECF， BCEF， ADEF， ADEF， 四边形 AEFD 是平行四边形， AEBC， AEF90， 四边形 AEFD 是矩形； （2）解：四边形 ABCD 是菱形，AD10， ADABBC10， EC4， BE1046， 在 RtABE 中，AE， 在 RtAEC 中
21、，AC， 四边形 ABCD 是菱形， OAOC， OEAC 22解： （1）OEF 是等腰三角形， 理由：四边形 ABCD 是菱形， ABAD，ACBD， 点 E，F 分别是边 AB，AD 的中点， EOAB，OFAD， EOFO， OEF 是等腰三角形； （2）四边形 ABCD 是菱形，AC10， AO5，AOB90， BO12， BD24， 点 E，F 分别是边 AB，AD 的中点， EFBD， EF12 23证明： （1）CFBD，DFAC， 四边形 OCFD 是平行四边形，OBECFE， ODCF， 四边形 ABCD 是平行四边形， OBOD， OBCF，在 FCE 和BOE 中， F
22、CEBOE（AAS） ； （2）当ADC 满足ADC90时，四边形 OCFD 为菱形；理由如下： ADC90，四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是矩形， OAOC，OBOD，ACBD， OCOD， 四边形 OCFD 为菱形 24解： （1）四边形 ABCD 是正方形， EBABAD90， EAB90BAE905535， HADBADEAFEAB90453510； （2）四边形 ABCD 是正方形， EBABADADF90， EAB90BAE90， DAFBADEAFEAB9045（90）45， DFA90DAF90（45）135； （3）BEAFEA，理由如下： 延长 CB
23、至 I，使 BIDF，连接 AI 四边形 ABCD 是正方形， ADAB，ADFABC90， ABI90， 又BIDF， DAFBAI（SAS） ， AFAI，DAFBAI， EAIBAI+BAEDAF+BAE45EAF， 又AE 是EAI 与EAF 的公共边， EAIEAF（SAS） ， BEAFEA 25证明： （1）ADBC，ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， B+C180， 又BC， BC90， 四边形 ABCD 为矩形； （2）如图 2，延长 BA，CM 交于点 E， M 为 AD 的中点，N 为 AB 中点， ANBN2，AMMD， ABCD4， AEDC，
24、EMCD， 在AEM 和DCM 中， ， AMEDMC（AAS） ， AECD4， BNC2DCMNCD， NCEECDE， CNENAE+AN4+26 26证明：四边形 ABCD 是矩形， BADBCD90， BAEBCE， BADBAEBCDBCE， 即DAEDCE， 在AED 和CED 中， ， AEDCED（AAS） ， ADCD， 四边形 ABCD 是矩形， 四边形 ABCD 是正方形 27证明：四边形 ABCD 和四边形 AEFG 均是正方形， ABAD，AEAG，BADEAG90， BAEDAG， ABEADG（SAS） ； BEDG ABBCCE+EBCE+DG， 即 ABCE+DG
