1、第第 9 章中心对称图形章中心对称图形平行四边形期末综合复习能力提升训练平行四边形期末综合复习能力提升训练 2 1如图，已知ABC 中，点 M 是 BC 边上的中点，AN 平分BAC，BNAN 于点 N，若 AB8，MN2， 则 AC 的长为（ ） A12 B11 C10 D9 2如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置，若四 边形 AECF 的面积为 24，DE2，则 AE 的长为（ ） A4 B2 C2 D2 3如图，四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC、BD 的交点，DCE 为 Rt，CED90，OE2，若 CEDE4
2、，则正方形的面积为（ ） A5 B6 C7 D8 4如图，在ABCD 中，ABC、BCD 的平分线 BE、CF 分别与 AD 相交于点 E、F，BE 与 CF 相交于点 G，若 AB6，BC10，CF4，则 BE 的长为（ ） A4 B8 C8 D10 5如图，在正方形 ABCD 中，AB6，点 Q 是 AB 边上的一个动点（点 Q 不与点 B 重合） ，点 M，N 分别 是 DQ，BQ 的中点，则线段 MN（ ） A3 B C3 D6 6已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列说法正确的有（ ） 当 ABBC 时，它是矩形 ACBD 时，它是菱形 当ABC90时，它是菱形 当 ACBD 时，
3、它是正方形 A B C D 7平行四边形 ABCD 中，AB4，对角线 AC3，另一条对角线 BD 的取值范围是 8已知正方形 ABCD 的边长为 2，EF 分别是边 BC，CD 上的两个动点，且满足 BECF，连接 AE，AF， 则 AE+AF 的最小值为 9如图，在矩形 ABCD 中，O 为 AC 中点，EF 过 O 点且 EFAC 分别交 DC 于 F，交 AB 于 E，点 G 是 AE 中点且AOG30，则下列结论正确的是 （1）DC3OG； （2）OGBC； （3）OGE 是等边三角形； （4）SAOE 10如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为 CD 上一点，BF 与 AC 交于
4、点 E若CBF18，则AED 等于 度 11在长方形 ABCD 中，AB，BC4，CECF，延长 AB 至点 E，连接 CE，CF 平分ECD，则 BE 12如图，四边形 ABCD 是一个正方形，E 是 BC 延长线上的一点，且 ACEC，则DAE 13如图，在菱形 ABCD 中，B60，E，H 分别为 AB，BC 的中点，G，F 分别为线段 HD，CE 的中 点若线段 FG 的长为 2，则 AB 的长为 14如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（1，0） ，B（3，0） ，点 P 为 y 轴正半轴上的一个动点，以线段 PA 为边在 PA 的右上方作等边APQ，连接 QB，在点 P 运动的过
5、程中，线段 QB 长度的最小值为 15如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 5 和 3，点 E、G 分别为 AD、CD 边上的点，H 为 BF 的中点，连接 HG，则 HG 的长为 16如图，在ABCD 中，AD5，AB2，B 是锐角，AEBC 于点 E，F 是 AB 的中点，连接 DF， EF，若EFD90，则 AE 的长为 17如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，且 AD8cm，BC6cm，点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，点 P 以 1cm/s 的速度由点 A 向点 D 运动，点 Q 以 2cm/s 的速度由点 C 向点 B 运动，当点 P、Q 中有一点到
6、达终点时，另一点也随之停止运动，则 s 后四边形 PQCD 是平行四边形 18已知点 A（3，0） 、B（1，0） 、C（2，3） ，以 A、B、C 为顶点画平行四边形，则第四个顶点 D 的坐 标是 19如图，BD 是ABC 的角平分线，过点作 DEBC 交 AB 于点 E，DFAB 交 BC 于点 F （1）求证：四边形 BEDF 是菱形； （2）若ABC60，ACB45，CD6，求菱形 BEDF 的边长 20如图，ABC 中，AD 是边 BC 上的高，CF 是边 AB 上的中线，DCBF，点 E 是 CF 的中点 （1）求证：DECF； （2）求证：B2BCF 21如图所示，在平行四边形
7、ABCD 中，DAC60，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，AEAB，点 F 是对角线 AC 边上一动点，连接 EF （1）如图 1，若点 F 与对角线交点 O 重合，已知 BE4，OC：EC5：3，求 AC 的长度； （2）如图 2，若 ECFC，点 G 是 AC 边上一点，连接 BG、EG，已知AEG60，AGB+BCD 180，求证：BG+EGDC 22在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AD 边上的点，连接 BE （1）如图 1，若 BE 平分ABC，BC8，ED3，求平行四边形 ABCD 的周长； （2）如图 2，点 F 是平行四边形外一点，FBCD连接 BF、CF，CF
8、与 BE 相交于点 G，若FBE+ ABC180，点 G 是 CF 的中点，求证：2BG+EDBC 23如图 1，已知在四边形 ABCD 中，ADBC，ABCD，BE 平分ABC，交 AD 于点 E，过点 E 作 EF AB，交 BC 于点 F，O 是 BE 的中点，连接 OF，OC，OD （1）求证：四边形 ABFE 是菱形； （2）若ABC90，如图 2 所示： 求证：ADOBCO； 若EOD15，AE1，求 OC 的长 24如图，在正方形 ABCD 中，BE 平分DBC 交 CD 于点 E，延长 BC 到 F，使 CFCE，连接 DF 交 BE 的延长线于点 G （1）求BGF 的度数；
9、 （2）求证：DECE 25如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 边上的点，EAF45 （1）如图（1） ，试判断 EF，BE，DF 间的数量关系，并说明理由； （2）如图（2） ，若 AHEF 于点 H，试判断线段 AH 与 AB 的数量关系，并说明理由 26如图，在ABC 中，过点 C 作 CDAB，E 是 AC 的中点，连接 DE 并延长，交 AB 于点 F，连接 AD， CF （1）求证：四边形 AFCD 是平行四边形； （2）若 AB6，BAC60，DCB135，求 AC 的长 参考答案参考答案 1解：如图，延长 BN 交 AC 于 D， 在ANB 和AND 中，
10、 ， ANBAND（ASA） ， ADAB8，BNND， 又M 是ABC 的边 BC 的中点， MN 是BCD 的中位线， DC2MN4， ACAD+CD8+412， 故选：A 2解：把ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置， ADEABF， SADESABF， 四边形 AECF 的面积正方形 ABCD 的面积， AD224， AE2AD2+DE224+428， AE2， 故选：D 3解：如图，过点 O 作 OMCE 于 M，作 ONDE 交 ED 的延长线于 N， CED90， 四边形 OMEN 是矩形， MON90， COM+DOMDON+DOM， COMDON， 四边形 AB
11、CD 是正方形， OCOD， 在COM 和DON 中， ， COMDON（AAS） ， OMON，CMDN， 四边形 OMEN 是正方形， OE2， 2NE2OE2（2）28， NEON2， DE+CEDE+EM+MCDE+EM+DNEN+EM2EN4， 设 DEa，CEb， a+b4， CEDE4， CD2a2+b2（a+b）22ab42248， S正方形ABCD8 故选：D 4解：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， ABC+BCD180， ABC、BCD 的平分线 BE、CF 分别与 AD 相交于点 E、F， EBC+FCBABC+DCB90， EBFC， FGB90 过 A 作
12、 AMFC，交 BC 于 M，交 BE 于 O，如图所示： AMFC， AOBFGB90， BE 平分ABC， ABEEBC， ADBC， AEBCBE， ABEAEB， ABAE6， AOBE， BOEO， 在AOE 和MOB 中， ， AOEMOB（ASA） ， AOMO， AFCM，AMFC， 四边形 AMCF 是平行四边形， AMFC4， AO2， EO4， BE8 故选：C 5解：连接 DB， 四边形 ABCD 是正方形，AB6， A90，ADAB6， DB6， 点 M，N 分别是 DQ，BQ 的中点， MN 是DQB 的中位线， MNDB3， 故选：A 6解：若 ABBC，则ABC
13、D 是菱形，选项说法错误； 若 ACBD，则ABCD 是菱形，选项说法正确； 若ABC90，则ABCD 是矩形，选项说法错误； 若 ACBD，则ABCD 是矩形，选项说法错误； 故选：B 7解：如图，对角线 AC，BD 交于点 O， 四边形 ABCD 为平行四边形， AC2AO，BD2BO， AB4，AC3， AO1.5， BO 的取值范围为 41.5BO4+1.5，即 2.5BO5.5， 5BD11， 故答案为 5BD11 8解：连接 DE，作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 BA、EA， 四边形 ABCD 为正方形， ADCDBC，ADCBCD90， BECF， DFCE， 在DCE
14、 与ADF 中， ， DCEADF（SAS） ， DEAF， AE+AFAE+DE， 作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 BA、EA， 则 AEAE， 即 AE+AFAE+DEAE+DE， 当 D、E、A在同一直线时，AE+AF 最小， AA2AB4， 此时，在 RtADA中，DA2， 故 AE+AF 的最小值为 2 故答案为：2 9解：EFAC，点 G 是 AE 中点， OGAGGEAE， AOG30， OAGAOG30， GOE90AOG903060， OGE 是等边三角形，故（3）正确； 设 AE2a，则 OEOGa， 由勾股定理得，AOa， O 为 AC 中点， AC2AO2a，
15、 BCAC2aa， 在 RtABC 中，由勾股定理得，AB3a， 四边形 ABCD 是矩形， CDAB3a， DC3OG，故（1）正确； OGa，BCa， OGBC，故（2）错误； SAOEaaa2，SABCD3aa3a2， SAOESABCD，故（4）正确； 综上所述，结论正确的是（1） （3） （4） 故答案为： （1） （3） （4） 10解：四边形 ABCD 为正方形， ABAD，BAEDAE45，ABC90 CBF18， ABE72， AEB180BAEABE180457263 AEAE，BAEDAE，ABAD， ABEADE（SAS） ， AEDAEB63 故答案为：63 11解：
16、如图，延长 CF，BA 交于点 G，连接 EF，过点 F 作 FHCE 于 H，过点 E 作 EMCF 于 M， 四边形 ABCD 是矩形，且 AB，BC4， ABCD，ABCD，DABCCBE90， DCFG， CF 平分ECD， DCFFCE，FHDF， GECF， ECEG， ECG 是等腰三角形， CMMG， CECF， ECF 是等腰三角形， EMCF，FHCE， EM 和 FH 是等腰三角形腰上的高， EMFHDF， RtCDFRtCME（HL） ， CMCD， CG5， RtCBG 中，BG3， 设 BEx，则 ECEG3+x， RtCBE 中， （3+x）2x2+42， 解得：
17、x， BE 故答案为： 12解：四边形 ABCD 是正方形， ACB45，ADBC， ACEC， ECAE， ACBE+CAE2E， EACB22.5， ADBC， DAEE22.5 故答案为：22.5 13解：如图，连接 CG 并延长，交 AD 于点 M，连接 EM， 四边形 ABCD 为菱形，B60， ADBC， A120，MGDCGH， 点 G 为 HD 的中点， HGDG， MGDCGH， MGDCGH（ASA） ， MGCG，MDCHBCAD， 点 G 为 MC 的中点，点 M 为 AD 的中点， F，G 分别为 CE 和 CM 的中点， FG 是CEM 的中位线， FGEM， EM
18、2FG4， E，M 分别为 AB 和 AD 的中点， AEAM， A120， EMAE4， AE4， AB2AE8 故答案为：8 14解：如图，将ABQ 绕点 A 逆时针旋转 60到ACP，连接 BC， ABQACP， ABAC，BQPC，PAQBAC， ABC 是等边三角形 PAQBAC60， ABC 是等边三角形， A（1，0） ，B（3，0） ， AB312， C（2，） ，即点 C 是定点， 当 PC 最小时，BQ 最小， 当 PCy 轴时，PC 最小，最小值是 2， 线段 QB 长度的最小值为 2 故答案为：2 15解：延长 GF 交 AB 于 P，过 H 作 MNCD 于 M，交
19、AB 于 N， 四边形 ABCD 是正方形， ABCD，BCCD， MNAB， 四边形 DEFG 是正方形， FGCD， FGHMBC， H 是 BF 的中点， PNBNCMGMCG1， HN 是BFP 的中位线， HNFP1， MH514， RtGHM 中，由勾股定理得：GH 故答案为： 16解：如图，延长 EF 交 DA 的延长线于 Q，连接 DE，设 BEx， 四边形 ABCD 是平行四边形， DQBC， QBEF， AFFB，AFQBFE， QFAEFB（AAS） ， AQBEx，QFEF， EFD90， DFQE， DQDEx+5 AEBC，BCAD， AEAD， AEBEAD90，
20、 AE2DE2AD2AB2BE2， （x+5）252（2）2x2， 整理得：x2+5x140， 解得 x2 或7（舍弃） ， BE2， AE2， 故答案是：2 17解：设运动了 x 秒 根据题意有 APxcm，CQ2xcm，PD（8x）cm， ADBC， 当 PDCQ 时，四边形 PQCD 是平行四边形， 8x2x， 解得：x， s 时，四边形 PDCQ 是平行四边形， 故答案为： 18解：如图， 以 BC 为对角线，将 AB 向上平移 3 个单位，再向左平移 1 个单位，B 点对应的位置为（2，3）就是第 四个顶点 D1； 以 AB 为对角线，将 BC 向下平移 3 个单位，再向右平移 1
21、个单位，B 点对应的位置为（0，3）就是第 四个顶点 D2； 以 AC 为对角线，将 AB 向上平移 3 个单位，再向右平移 4 个单位，C 点对应的位置为（6，3）就是第四 个顶点 D3； 第四个顶点 D 的坐标为： （2，3）或（0，3）或（6，3） ， 故答案为： （2，3）或（0，3）或（6，3） 19证明： （1）DEBC，DFAB， 四边形 DEBF 是平行四边形， DEBC， EDBDBF， BD 平分ABC， ABDDBFABC， ABDEDB， DEBE， 又四边形 BEDF 为平行四边形， 四边形 BEDF 是菱形； （2）如图，过点 D 作 DHBC 于 H， DFAB，
22、 ABCDFC60， DHBC， FDH30， FHDF，DHFHDF， C45，DHBC， CHDC45， DCDHDF6， DF2， 菱形 BEDF 的边长为 2 20证明： （1）连接 DF， AD 是边 BC 上的高， ADB90， 点 F 是 AB 的中点， DFABBF， DCBF， DCDF， 点 E 是 CF 的中点 DECF； （2）DCDF， DFCDCF， FDBDFC+DCF2DFC， DFBF， FDBB， B2BCF 21解： （1）过点 A 作 AHBE 于点 H，如图 1， ABAE， BHEH， OC：EC5：3， 不妨设 OC5x，则 EC3x，AC10 x
23、， CHCE+EH3x+2， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， ACHDAC60， CAH906030， AC2CH， 10 x2（3x+2） ， 解得，x1， AC10； （2）延长 EG 至点 M，使得 EMAE，连接 AM，如图 2， AEG60， AEM 为等边三角形， AEAM，M60， ABAE， ABEAEB，ABAM， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， ABC+BCD180， AGB+BCD180， ABCAGB， ABG180AGBBAG， ACB180ABCBAG， ABGACB60， ABGM60， AEGACB60， AEB+CEGCEG+CGE
24、120， AEBCGE， AGBABEAEB，AGMCGE， AGBAGM， AGAG， ABGAMG（AAS） ， BGMG， BG+EGMG+EGEM， AEEM， AEBG+EG， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， ABAE， BG+EGDC 22 （1）解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC8，ABCD，ADBC， AEBCBE， BE 平分ABC， ABECBE， ABEAEB， ABAE， AEADEDBCED835， AB5， 平行四边形 ABCD 的周长2AB+2BC25+2826； （2）证明：连接 CE，过点 C 作 CKBF 交 BE 于 K，如图 2
25、 所示： 则FBGCKG， 点 G 是 CF 的中点， FGCG， 在FBG 和CKG 中， FBGCKG（ASA） ， BGKG，CKBFCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，BAE+D180，ABCDCK，ADBC， DECBCE，AEBKBC， FBE+ABC180， FBE+D180， CKB+D180， EKCD， BAE+D180， CKBBAE， 在AEB 和KBC 中， AEBKBC（AAS） ， BCBE， KECBCE， KECDEC， 在KEC 和DEC 中， KECDEC（AAS） ， KEED， BEBG+KG+KE2BG+ED， 2BG+EDBC 23
26、 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，即 AEBF， EFAB， 四边形 ABFE 是平行四边形， AEBF， AEBABE， BE 平分ABC， ABECBE， ABEAEB， ABAE， 平行四边形 ABFE 是菱形； （2）证明：过 O 作 ONBC 交 DC 于 N，如图 2 所示： ADBC，ABCD，ABC90， 四边形 ABCD 是矩形， ADCBCD90，ADBC， ADONBC， O 为 BE 的中点， N 为 DC 的中点，ONDC， ODOC， ODCOCD， ADCBCD90， ADOBCO； 解：过 O 作 OM 作 BC 于 M，如图 3 所示：
27、 四边形 ABFE 是平行四边形，ABAE，ABC90， 四边形 ABFE 是正方形， EFBFAE1，BFE90，AEBAEF45， O 为 BE 的中点， OFBEOB， OMBC， BMFM， OM 是BEF 的中位线， OMEF， EOD15， ADOAEBEOD451530， 由（2）得：BCOADO30， OC2OM1 24解： （1）在BCE 和DCF 中， ， BCEDCF（SAS） ， BECDFC， BEC+CBE90， CBE+DFC90， BGF90； （2）连接 EF， BE 平分DBC， DBGCBG， BGBG，BGDBGF90， BDGBFG（ASA） ， DG
28、FG， BG 垂直平分 DF， DEFE， CE2+CF2EF2，CECF， ， DECE 25 （1）解：BE+DFEF；理由如下： 如图 1，延长 FD 到 G，使 DGBE，连接 AG， 在GDA 和EBA 中， ， GDAEBA（SAS） ， AGAE，GADEAB， 故GAF45， 在GAF 和EAF 中， ， GAFEAF（SAS） ， GFEF， 即 GD+DFBE+DFEF； （2）AHAB，理由如下： 四边形 ABCD 为正方形， ABAD，BAD90， 把ADF 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABQ，如图 2， AQAF，FAQ90，ABQD90， 而ABC90， 点 Q
29、在 CB 的延长线上， EAF45， QAE90EAF45， EAFQAE， 在AEQ 和AEF 中， ， AEQAEF（SAS） ， EQEF， ABEQ，AHFE， ABAH 26 （1）证明：E 是 AC 的中点， AECE， CDAB， AFECDE， 在AEF 和CED 中， ， AEFCED（AAS） ， AFCD， 又CDAB，即 AFCD， 四边形 AFCD 是平行四边形； （2）解：过 C 作 CMAB 于 M，如图所示： 则CMBCMA90， CDAB， B+DCB180， B18013545， BCM 是等腰直角三角形， BMCM， BAC60， ACM30， AC2AM，BMCMAM， AM+BMAB， AM+AM6， 解得：AM33， AC2AM66
