1、几何变换之几何变换之翻折翻折巩固练习巩固练习(提优提优) 1. 如图，在一张矩形纸片 ABCD 中，对角线 AC14，点 E、F 分别是 CD 和 AB 的中点，现将这张纸片 折叠，使点 B 落在 EF 上的点 G 处，折痕为 AH，若 HG 的延长线恰好经过点 D，则点 G 到对角线 AC 的距 离为( ) A. B. C. D. 【解答】B 【解析】设 AC 交 DH 于点 O，过点 G 作 GKAO 于点 K，如图所示： 点 E、F 分别是 CD 和 AB 的中点，EFAB， EFBC，EG 是DCH 的中位线，DGHG， 由折叠的性质可得：AGHABH90 ，AGHAGD90 ， AD
2、GAHG(SAS)，ADAH，DAGHAG， 由折叠的性质可得：BAHHAG，BAHHAGDAG BAD30 ， ，设 AHADBC，则， 在 RtABC 中，则有， 解得或(舍弃)， ， ， ， ， ， ， . 2. 如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将ABE 沿 BE 折叠使点 A 落在点 G 处，延长 BG 交 CD 于 点 F，连接 EF，若 CF1，DF2，则 BC 的长是( ) A. B. C. 5 D. 【解答】D 【解析】过点 E 作 EMBC 于 M，交 BF 于 N，如图所示： 四边形 ABCD 是矩形，AABC90 ，ADBC， EMB90 ，四边形 ABM
3、E 是矩形，AEBM， 由折叠的性质得：AEGE，EGNA90 ，EGBM， ENGBNM，ENGBNM(AAS)，NGNM，CMDE， E 是 AD 的中点，AEEDBMCM， EMCD，BN:NFBM:CM， BNNF， BGABCDCFDF3， BNBGNG， BF2BN5， . 3. 如图，正方形纸片 ABCD 沿直线 BE 折叠，点 C 恰好落在点 G 处，连接 BG 并延长，交 CD 于点 H， 延长 EG 交 AD 于点 F，连接 FH.若 AFFD6，则 FH 的长为 . 【解答】 【解析】连接 BF，如图所示： 四边形 ABCD 是正方形，AC90 ，ABBCAFFD12，
4、由折叠可知，BGBC12，BGEBCE90 ABGB， 在 RtABF 和 RtGBF 中，BFBF, ABGB RtABFRtGBF(HL)， AFBGFB,FAFG， 又AFFD，FGFD， 同理可证 RtFGHRtFDH，GFHDFH， BFHBFGGFH180 90 ，AFBDFH90 ， 又AFBABF90 ，ABFDFH， 又AD90 ，ABFDFH， 在 RtABF 中，由勾股定理可得， . 4. 如图所示，在矩形 ABCD 中，AB5，BC8，点 P 为 BC 上一动点(不与端点重合)连接 AP，将ABP 沿着 AP 折叠， 点 B 落到 M 处， 连接 BM、 CM， 若BM
5、C 为等腰三角形， 则 BP 的长度为 . 【解答】或或 8 【解析】当BMC 为等腰三角形时，分三种情况： BMCM 时，如图 1 所示：作 MGBC 于 G，则 BGCGBC4，BGM90 ， 设 BP，由折叠的性质得：MPBP,AP 垂直平分 BM， ABC90 ，MBGBAP，BGMABP， ，即，解得， 在 RtPMG 中，GP4，由勾股定理得， 解得或(不合题意舍去)，BE； BMBC8 时，如图 2 所示：由折叠的性质得：BOMOBM4，APBP，AOBABP 90 ， BAOBAP，ABPAOB， ，即，解得：BP； CMBC 时，连接 OC，如图 3 所示： 由折叠的性质得：
6、AP 垂直平分 BM， CMBC，OCBM，点 P 与 C 重合，BPBC8； 综上所述，当BMC 为等腰三角形时 BP 的长为或或 8. 5. 如图，已知ABC 中，CACB4，C45 ，D 是线段 AC 上一点(不与 A、C 重合)，连接 BD，将 ABD 沿 AB 翻折，使点 D 落在点 E 处，延长 BD 与 EA 的延长线交于点 F，若BEF 是直角三角形，则 AF 的长为 . 【解答】或 【解析】CACB4，C45 ，CABCBA67.5 ， 当EBF90 时， 将ABD 沿 AB 翻折，使点 D 落在点 E 处，EBADBA45 ， ADB180 45 67.5 67.5 ， A
7、FB90 E90 67.5 22.5 ， 点 F 在以 C 为圆心，AC 为半径的圆上， 连接 CF，如图所示： ACF2ABF90 ， ACCF4，； 当BEF90 时， 将ABD 沿 AB 翻折，使点 D 落在点 E 处， BDABEA90 ，EABDAB67.5 ， FAD45 ，FADC45 ， AFBC，ADF 和BDC 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述，若BEF 是直角三角形，则 AF 的长为或. 6. 在矩形 ABCD 中，AB10，P 是边 AB 上一点，把PBC 沿直线 PC 折叠，顶点 B 的对应点是点 G， 过点 B 作 BECG，垂足为 E 且在 AD 上，BE 交
8、 PC 于点 F (1)求证：BPBF； (2)当 BP8 时，求 BEEF 的值. 【解答】(1)见解析；(2)80 【解析】(1)在矩形 ABCD 中，ABC90 ， BPC 沿 PC 折叠得到GPC，PGCPBC90 ，BPCGPC， BECG，BEGP，GPFPFB， BPFBFP，BPBF； (2)连接 GF，如图所示： GEFBAE90 ，BFPG,BFPG， 四边形 BPGF 是平行四边形， BPBF，平行四边形 BPGF 是菱形， BPGF，GFEABE，GEFEAB， 7. 如图，在ABC 中，BAC90 ，AB3，AC4，点 D 是 BC 的中点，将ABD 沿 AD 翻折得
9、到 AED，连接 BE、CE. (1)求 AD 的长： (2)判断BCE 的形状： (3)请直接写出 CE 的长. 【解答】(1)；(2)BCE 为直角三角形；(3) 【解析】(1)在 RtABC 中，BAC90 ，AB3，AC4， 由勾股定理得，BC5， 点 D 是 BC 的中点，BC 是 RtABC 的斜边，； (2)BCE 为直角三角形， 理由：D 是 BC 的中点，CDBD， 将ABD 沿 AD 翻折得到AED，DEDB， CDDEDB，DECDCE，DEBDBE， DECDCEDEBDBE180 ，DEBDEC90 ， BEC90 ，BCE 是直角三角形； (3)如图，连接 BE 交
10、 AD 于 O，作 AHBC 于 H， 由题可得 ADDCDB， ， AEAB,DEDB， 点 A 在 BE 的垂直平分线上，点 D 在 BE 的垂直平分线上， AD 垂直平分线段 BE， ， 在 RtBCE 中，. 8. 如图，折叠长方形纸片 ABCD，先折出折痕(对角线)BD，在折叠，使 AD 落在对角线 BD 上，得折痕 DG，若 AB2，BC1，求 AG 的长. 【解答】 【解析】AD 沿 DG 折叠后点 A 的对称点是点 E， ADED1，AGEG，DEG90 ， 设 AG，则 EG,BG2， AB2，ADBC1，BAD90 ， ， 在 RtBEG 中，由勾股定理得，即， 解得，即
11、AG 的长是. 9. 如图，正方形 ABCD 中，AD8，点 F 是 AB 中点，点 E 是 AC 上一点，DEEF，连接 DF 交 AC 于 点 G. (1)求DEF 的面积； (2)将FEG 沿 EF 翻折得到EFM,EF 交 DM 于点 N. 求证：点 M 在对角线 BD 上； 求 MN 的长度. 【解答】(1)；(2)见解析； 【解析】(1)如图，过 E 作 EPAP,EQAD， AC 是对角线， EAQEAP45 ， EPEQ，四边形 APEQ 是正方形， QEPDEF90 ， DEQFEP，EQDEPF90 ， DQEFPE， DEEF,DQFP，且 APEP， 设，则， 解得，所以 PF2， ， ； (2)DCAB， DGCFGA， ， ， ， 过 G 作 GHAB，过 M 作 MKAB，过 M 作 MLAD，如图所示： 则易证GHFFKM， ， 即 DLLM，LDM45 ，DM 在正方形对角线 DB 上； 过 N 作，则，如图所示： 设，解得， ，为 FP 的中点， N 是 EF 的中点， 是等腰直角三角形，且， ， .
