1、专题专题 10 几何问题探究几何问题探究 几何问题探究是新中考命题中的一大亮点， 往往设计成一个小课题， 以“链式”问题链 的形式考查图形运动与证明的结合，常把点的运动、线段的运动与全等、相似的证明、特殊 三角形的判定、特殊四边形的判定结合起来，挖掘变中之不变，将问题图形中的某个图形进 行平移、翻折、旋转等运动，使其中某些元素或图形的结构产生规律性的变化，针对这种规 律性的变化形式或特定的结论设计逐步递进的问题串来形成探究问题， 由于涉及图形较复杂， 关注知识点较多，各知识板块之间的联系较为密切 让学生在一定的情景中完成探究， 先用类比，而后归纳悟出规律，从特殊情况到得出一 般规律，再到利用规
2、律求解，使学生的才能得到充分的展示 条件开放 1如图，已知 BAAEDC，ADEC，CEAE，垂足为 E. (1)求证：DCAEAC； (2)只需添加一个条件，即_ADBC(答案不唯一)_，可使四边形 ABCD 为矩形，请加 以证明 解：(1)由 SSS 可证DCAEAC (2)当 ADBC 时， 四边形 ABCD 是矩形 证明： ABDC， ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形 CEAE， E90， 由(1)得DCAEAC， DE90， 四边形 ABCD 为矩形 2如图，点 B，E，C，F 在一条直线上，ABDE，BECF，请添加一个条件：_AB DE(答案不唯一)_，使ABCDEF.
3、 3如图，在 RtABC 中，ABC90，点 M 是 AC 的中点，以 AB 为直径作O， 分别交 AC，BM 于点 D，E. (1)求证：MDME； (2)若 AB6，当 AD2DM 时，求 DE 的长； 连结 OD，OE，当A 的度数为多少时，四边形 ODME 是菱形？ 【解析】当A60时，四边形 ODME 是菱形，只要证明ODE，DEM 都是等边 三角形即可 解：(1)证明：ABC90，AMMC，BMAMMC，AABM.四边 形 ABED 是圆的内接四边形，ADEABE180.又ADEMDE180， MDEMBA.同理可证MEDA，MDEMED，MDME (2)由(1)可知AMDE，DE
4、AB，DE AB MD MA .AD2DM， DM MA 1 3 ， DE1 3 AB 1 3 62 当A60时，四边形 ODME 是菱形理由如下：OAOD，A60， AOD 是等边三角形， AOD60.DEAB， ODEAOD60， MDEA 60， ODE， DEM 都是等边三角形， ODOEDEEMDM， 四边形 OEMD 是菱形 4如图，在矩形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 BE 上的一点，连结 CF 并延长交 AB 于点 M，MNCM 交射线 AD 于点 N. (1)当 F 为 BE 的中点时，求证：AMCE； (2)若AB BC EF BF 2，求 AN ND 的值；
5、 (3)若AB BC EF BF n，当 n 为何值时，MNBE? 解：(1)证明：F 为 BE 的中点，BFEF.ABCD，MBFCEF，BMF ECF，BMFECF(AAS)，MBCE.ABCD，CEDE，MBAM，AM CE (2)设 MBa，ABCD，BMFECF， EF BF CE MB 2， CE MB 2，CE2a，ABCD2CE4a，AMABMB 3a.AB BC 2，BCAD2a.MNMC，AABC90，AMNBCM， AN MB AM BC ，即 AN a 3a 2a ，AN 3 2 a，ND2a 3 2 a 1 2 a， AN ND 3 2a 1 2a 3 (3)如图，设
6、 MBa，MN 交 CD 于点 H，AB BC EF BF n，同(2)可得 CEna，AB 2na，AM(2n1)a，BCAB n 2a. 由AMNBCM 可得AN MB AM BC ，即 AN a （2n1）a 2a ，可得 AN1 2 (2n1)a， DNANAD1 2 (2n1)a2a 1 2 (2n5)a，DHAM，NDHNAM，NHD NMA ， NHD NMA ， DN AN DH AM ， DH DN AM AN 1 2（2n5）a （2n1）a 1 2（2n1）a (2n 5)a ， HE DE DH na (2n 5)a (5 n)a.MHBE， BMHE， MBEH 是平
7、行四边形， (5n)aa， 解得 n4.当 n4 时， MNBE 条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件解这种开放 问题的一般思路是：由已知的结论反向思考题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发， 逆向追索，逐步探求 结论开放 5. 如图，四边形 ABCD 是正方形，EFC 是等腰直角三角形，点 E 在 AB 上，且CEF 90，FGAD，垂足为 G. (1)试判断 AG 与 FG 是否相等？并给出证明； (2)若点 H 为 CF 的中点，GH 与 DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由 解： (1)AGFG， 证明如下： 过点 F 作 FMAB 交 BA
8、 的延长线于点 M， 四边形 ABCD 是正方形，ABBC，BBAD90.FMAB，MAD90，FGAD，四 边形 AGFM 是矩形，AGMF，AMFG.又CEF90，FEMBEC90 .又 BECBCE90，FEMBCE.又MB90，EFEC，EFM CEB(AAS)，BEMF，MEBC，MEABBC，BEMAMF，AGFG (2)DHHG，理由如下：延长 GH 交 CD 于点 N，FGAD，CDAD，FGCD， FG CN FH CH GH NH .又CHFH，GHHN，CNFG，AGFGCN.又ADCD， GDDN，且 GHHN，DHGH 6如图，正方形 ABCD 和正方形 AEFG，连
9、结 DG，BE， (1)发现：当正方形 AEFG 绕点 A 旋转，如图. 线段 DG 与线段 BE 之间的数量关系是_DGBE_； 直线 DG 与直线 BE 之间的位置关系是_DGBE_； (2)探究： 如图， 若四边形 ABCD 与四边形 AEFG 都为矩形， 且 AD2AB， AG2AE， 证明：直线 DGBE； (3)应用：在(2)情况下，连结 GE(点 E 在 AB 上方)，若 GEAB，且 AB 5 ，AE1. 求线段 DG 的长. 解： (2)证明： 延长 BE 分别交 AD， DG 于点 P， H， BAEDAEDAGDAE 90， BAEDAG.AD2AB， AG2AE， AD
10、 AB AG AE 2 ， ABEADG， ABPHDP.APBHPD，BADDHP90， DGBE (3)当 GEAB 时，GEAB，B ，E ，F 三点在一条直线上，且点 F 刚好在 DG 上， AEB90.AGDAEB，AGD90.AB 5 ，AE1，AG2AE2， AD2AB2 5 ，DG AD2AG2 （2 5）222 4 7(2020 烟台)如图，在等边三角形 ABC 中，点 E 是边 AC 上一定点，点 D 是直线 BC 上一动点，以 DE 为一边作等边三角形 DEF，连结 CF. 【问题解决】 如图，若点 D 在边 BC 上，求证：CECFCD； 【类比探究】 如图，若点 D
11、在边 BC 的延长线上，请探究线段 CE，CF 与 CD 之间存在怎样的数量 关系？并说明理由 解： 【问题解决】证明：在 CD 上截取 CHCE，如图所示ABC 是等边三角形， ECH60，CEH 是等边三角形，EHECCH，CEH60.DEF 是等 边三角形， DEFE， DEF60， DEHHEFFECHEF60， DEH FEC.在DEH 和FEC 中， DEFE， DEHFEC， EHEC， DEHFEC(SAS)，DHCF， CDCHDHCECF，CECFCD 【类比探究】 线段 CE， CF 与 CD 之间的等量关系是 CFCDCE； 理由如下： ABC 是等边三角形，AB60，
12、过 D 作 DGAB，交 AC 的延长线于点 G，如图所 示GDAB，GDCB60，DGCA60，GDCDGC60， GCD 为等边三角形，DGCDCG，EDF 为等边三角形，EDDF，EDF GDC60，EDGFDC，在EGD 和FCD 中， EDDF， EDGFDC， DGCD， EGD FCD(SAS)，EGCF，CFEGCGCECDCE 给出问题的条件，根据条件探索相应的结论，符合条件的结论往往呈现多样性，这些问 题都是结论开放问题 这类问题的解题思路是： 利用已知条件或图形特征， 进行猜想、 类比、 联想、归纳，分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证做出取舍 条件和结论开放 8
13、如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 BC 上一点，F 为 DE 的中点，且BFC90. (1)当 E 为 BC 的中点时，求证：BCFDEC； (2)当 BE2EC 时，求CD BC 的值； (3)设 CE1，BEn，作点 C 关于 DE 的对称点 C，连结 FC，AF，若点 C到 AF 的距 离是2 10 5 ，求 n 的值 解：(1)证明：在矩形 ABCD 中，DCE90，F 是斜边 DE 的中点，CF1 2 DE EF， FECFCE.BFC90， E 为 BC 的中点， EFEC， CFEC.又BFC DCE.BCFDEC(ASA) (2)设 CEa， 则 BE2a， BC3a.C
14、F 是 RtDCE 斜边上的中线， CF1 2 DEEF， FECFCE， BFCDCE90， BCFDEC， CF EC BC ED ， 即 1 2ED a 3a ED ， 解得 ED26a2，CD DE2EC2 6a2a2 5 a，CD BC 5a 3a 5 3 (3)过点 C作 CHAF 于点 H，设 CC交 EF 于点 M.CF 是 RtDCE 斜边上的中线， FCFEFD， FECFCE， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， ADBC， ADF CEF， ADFBCF， ADFBCF(SAS)， AFDBFC90， AFB DFC180.又DFCEFC180，AFBEFC，AFE
15、AFB BFEEFCBFEBFC90.又CHAF，CCEF，四边形 CMFH 是 矩形， FMCH2 10 5 .设EMx， 则FCFEx2 10 5 .在RtEMC和RtFMC中， CE2EM2CF2FM2，12x2(x2 10 5 )2(2 10 5 )2，解得 x 10 10 或 x 10 2 (舍 去)， EM 10 10 ， FCFE 10 10 2 10 5 10 2 ， DE 10 .同(2)可证BCFDFC， CF EC BC ED ，即 10 2 1 n1 10 ，解得 n4 9如图，在ABC 中，ACB90，ACBCAD. (1)作A 的角平分线交 CD 于点 E； (2)
16、过 B 作 CD 的垂线，垂足为 F； (3)请写出图中两对全等三角形(不添加任何字母)，并选择其中一对加以证明 解：(1)(2)如图 (3)ACEADE， ACECBF.证明： AE 是A 的平分线， CAEDAE， 又 ACAD，AE 为公共边，ACEADE(SAS) 利用已知条件或图形特征，进行猜想，并证明 几何结论的判断 10如图，正方形 ABCD 的边长为 a，点 E 在边 AB 上运动(不与点 A，B 重合)，DAM 45，点 F 在射线 AM 上，且 AF 2 BE，CF 与 AD 相交于点 G，连结 EC，EF，EG， 则下列结论：ECF45；AEG 的周长为(1 2 2 )a
17、；BE2DG2EG2；EAF 面积的最大值为1 8 a 2.其中正确的结论是_(填序号) 【解析】在 BC 上截取 BMBE，连结 EM，可证FAEEMC(SAS)，EFEC， AEFECM，ECMCEBAEFCEB90，FEC90，ECF EFC45，故正确；延长 AD 到 H，使得 DHBE，则CBECDH(SAS)， ECBDCH，ECHBCD90，ECGGCH45，GCE GCH(SAS)，EGGHDGDHDGBE，故错误；AEG 的周长AEEGAG AGGHAEADDHAEAEEBADABAD2a，故错误；设 BEx，则 AEax，AF 2 x，SAEF1 2 (ax)x 1 2 (
18、x 1 2 a) 21 8 a 2，当 x1 2 a 时，AEF 面积的最大，最大值为1 8 a 2，故正确故答案为. 11如图，等边三角形 ABC 的边长是定值，点 O 是它的外心，过点 O 任意作一条直线 分别交 AB，BC 于点 D，E.将BDE 沿直线 DE 折叠，得到BDE，若 BD，BE 分别交 AC 于点 F，G，连结 OF，OG，下列结论：ADFCGE；BFG 的周长是一个定 值；四边形 FOEC 的面积是一个定值；四边形 OGBF 的面积是一个定值其中正确的有 哪几个？请说明理由 解：正确，理由如下：连结 OA ，OC，AO 平分BAC，点 O 到 AB，AC 的距离相等，由
19、折叠的性质得 DO 平分BDB，点 O 到 AB ，DB的距离相等，点 O 到 DB ，AC 的距离相等，FO 平分DFG，DFOOFG1 2 (FADADF).由折叠 的性质可得BDEODF1 2 (DAFAFD)，OFDODF 1 2 (FADADF DAFAFD)120，DOF60，同理可得EOG60，FOG60 DOFEOG，DOFGOFGOE，ODFOGFOGEODB，DF EG.ADF180ODBODF，CGE180OGFOGE，ADF CGE.又AC60， ADFCGE， 故正确； DOFGOFGOE， DFGFGE，ADFBGFCGE，BGCG，BFAF，BFG 的 周长FGB
20、FBGFGAFCGAC(定值)，故正确；S四边形FOECSOCFSOCES OCFSOAFSAOC1 3 SABC(定值)， 故正确； S 四边形OGBFSOFGSBGFSOFDSADF S四边形OFADSOADSOAFSOCGSOAFSOACSOFG，过点 O 作 OHAC 于点 H， SOFG1 2 FG OH， 由于 OH 是定值， 但 FG 变化， 故OFG 的面积变化， 从而四边形 OGBF 的面积也变化，故错误综上所述，正确 猜想与证明 12(2020 绍兴)问题：如图，在ABD 中，BABD.在 BD 的延长线上取点 E，C，作 AEC，使 EAEC.若BAE90，B45，求DA
21、C 的度数 答案：DAC45. 思考： (1)如果把以上“问题”中的条件“B45” 去掉， 其余条件不变， 那么DAC 的度数会改变吗？说明理由； (2)如果把以上“问题”中的条件“B45” 去掉， 再将 “BAE90” 改为“BAE n” ，其余条件不变，求DAC 的度数 解：(1)DAC 的度数不会改变；EAEC，AED2C.BAE90， BDA1 2 (180B) 1 2 180(902C)45C，DACBDAC 45 (2)设ABCm，则BDA1 2 (180m)90 1 2 m，AEB180n m，EAEC，C1 2 AEB90 1 2 n 1 2 m，DACBDAC 901 2 m
22、(90 1 2 n 1 2 m) 1 2 n 13小明将两个直角三角形纸片如图那样拼放在同一平面上，抽象出如图的平面图 形，ACB 与ECD 恰好为对顶角，ABCCDE90，连结 BD，ABBD，点 F 是 线段 CE 上一点 探究发现： (1)当点 F 为线段 CE 的中点时，连结 DF(如图)，小明经过探究，得到结论：BDDF. 你认为此结论是否成立？_是_(填“是”或“否”) 拓展延伸： (2)将(1)中的条件与结论互换，即 BDDF，则点 F 为线段 CE 的中点请判断此结论是 否成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由 问题解决： (3)若 AB6，CE9，求 AD 的长 解
23、：(1)如图中，EDC90，EFCF，DFCF，FCDFDC.ABC 90，AACB90.BABD，AADB.ACBFCDFDC， ADBFDC90，FDB90，BDDF.故答案为是 (2)结论成立：证明：BDDF，EDAD，BDCCDF90，EDFCDF 90，BDCEDF.ABBD，ABDC，AEDF.AACB 90， EECD90， ACBECD， AE， EEDF， EFFD.E ECD90，EDFFDC90，FCDFDC，FDFC，EFFC， 点 F 是 EC 的中点 (3)如图中，取 EC 的中点 G，连结 GD，则 GDBD，DG1 2 EC 9 2 .BDAB 6，BG DG2BD2 （9 2） 262 15 2 ，CB15 2 9 2 3，在 RtABC 中， AC AB2BC2 6232 3 5 . ACBECD， ABCEDC， ABCEDC， AC EC BC CD ， 3 5 9 3 CD ， CD9 5 5 ，ADACCD3 5 9 5 5 24 5 5 解决这类问题的方法：一是根据条件，结合已学的知识、数学思维方法，通过分析、归 纳，逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解；二是关注前面几个小题在 求解过程的解题思路和方法，这些思路和方法往往会对最后一小题的求解有一定的模仿和提 示作用
