1、 1 【类型综述】 图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题来源:ZXXK 产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系还有一种不常见的，就 是线段全长等于部分线段之和由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用 一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例 一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域关 键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错 【方法揭秘】 由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用 类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的
2、，求角的对边如图 1，已知点 A 的坐标为(3, 4)，点 B 是 x 轴 正半轴上的一个动点，设 OBx，ABy，那么我们在直角三角形 ABH 中用勾股定理，就可以得到 y 关于 x 的函数关系式 类型二，图形的翻折已知矩形 OABC 在坐标平面内如图 2 所示，AB5，点 O 沿直线 EF 翻折后，点 O 的对应点 D 落在 AB 边上，设 ADx，OEy，那么在直角三角形 AED 中用勾股定理就可以得到 y 关于 x 的函数关系式 图 1 图 2 【典例分析】 例 1 如图 1，在 RtABC 中，BAC90 ，B60 ，BC16cm，AD 是斜边 BC 上的高，垂足为 D，BE 1cm
3、，点 M 从点 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动，点 N 从点 E 出发，与点 M 同时同方向以相同的 速度运动以 MN 为边在 BC 的上方作正方形 MNGH点 M 到达点 D 时停止运动，点 N 到达点 C 时停止运 动设运动时间为 t（s） （1）当 t 为何值时，点 G 刚好落在线段 AD 上？ 2 （2）设正方形 MNGH 与 RtABC 重叠部分的图形的面积为 S当重叠部分的图形是正方形时，求出 S 关于 t 的函数关系式并写出自变量 t 的取值范围； （3）设正方形 MNGH 的边 NG 所在直线与线段 AC 交于点 P，连结 DP，当 t 为何值时，CPD 是等
4、腰三角 形？ 图 1 思路点拨 1用含 t 的式子把直线 BC 上的线段长都表示出来 2重叠部分的图形是正方形，临界时刻是点 H 落在 AB 上，和点 G 落在 AC 上 3等腰三角形 CPD 不存在 DPDC 的情况，因为以 DC 为半径的圆 D 与线段 AC 只有一个交点 满分解答 图 2 图 3 由 AD4 3，得 3 (3)(3)4 3 3 tt解得6 33t 所以 4t6 33 3 图 4 图 5 （3）等腰三角形 CPD 存在两种情况： 如图 6，当 PCPD 时，点 P 在 DC 的垂直平分线上，N 是 DC 的中点 此时 t369 如图 7，当 CPCD12 时，在 RtCPN
5、 中，由 cos30 3 2 CN CP ，得6 3CN 此时 t156 3 图 6 图 7 考点伸展 （1）求 A、B、C 三点的坐标和曲线 y2的表达式； （2）过点 C 作 CD/x 轴交曲线 y1于点 D，连结 AD，在曲线 y2上有一点 M，使得四边形 ACDM 为筝形（如 果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形） ，请求出点 M 的横坐标； （3） 设直线 CM 与x轴交于点 N， 试问在线段 MN 下方的曲线 y2上是否存在一点 P， 使PMN 的面积最大？ 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 4 图 1 思路点拨 1由 A、C、D 的坐
6、标可以得到ACD 是底角为 30 的等腰三角形，于是可知直线 MN（直线 CN）与 y 轴的 夹角为 30 2过点 P 作 x 轴的垂线交 MN 于 E，那么PMN 分割为有公共底边 PE 的两个三角形，这两个三角形的高 的和为定值 满分解答 y2上因此只存在 MC 垂直平分 AD 的情况 图 2 图 3 如图 2，如图 3，过点 A、M 分别作 x 轴的垂线，与直线 CD 分别交于点 G、H，那么 5 ADGCMH 由于 tanADG AG DG 3 3 ，所以ADC30 因此3MHCH 设 M 2 310 3 ( ,+7 3) 33 xxx，那么 2 310 3 (+7 3)(3)3 33
7、 xxx 整理，得 x213x240解得 1373 2 x 所以点 M 的横坐标为 1373 2 x 设P 2 310 3 ( ,+7 3) 33 mmm，E( , 33)mm，那么 PE 2 310 3 ( 33)(+7 3) 33 mmm 2 313 3 8 3 33 mm 2 31373 3 3212 m 所以当 13 2 m 时，PE取得最大值，PMN面积最大此时P 137 3 (,) 212 图4 图5 考点伸展 第（3）题也可以这样思考： 如图5，由于MN是定值，因此点P到MN的距离最大时，PMN的面积也最大 过点P作MN的平行线，当这条直线与抛物线y2只有一个交点时，两条平行线间
8、的距离最大，也就是说方程组 6 2 3 3 (1021) 3 yxb yxx ， 只有一组解，即0解得 13 2 x 例 3 如图 1，ABC 为等边三角形，边长为 a，点 F 在 BC 边上，DFAB，EFAC，垂足分别为 D、E （1）求证：BDFCEF； （2）若 a4，设 BFm，四边形 ADFE 面积为 S，求出 S 与 m 之间的函数关系，并探究当 m 为何值时 S 取得最大值； （3）已知 A、D、F、E 四点共圆，已知 tanEDF 3 2 ，求此圆的直径（用含 a 的式子表示） 思路点拨 1用割补法求四边形 ADFE 的面积比较简单 2当 A、D、F、E 四点共圆时，由于ED
9、FEAF，那么在ACF 中，两角及夹边就是确定的，可以解 这个三角形 满分解答 在 RtCEF 中，C60 ，CF4m，所以 1 (4) 2 CEm， 3 (4) 2 FEm 所以 S CEF 1 2 CE FE 2 3 (4) 8 m 7 在 RtECF 中，C60 ，所以3 EF EC 因此 ECx来源:Zxxk.Com 由 ACEAECa，得 2xxa所以 x 1 3 a 所以在 RtEAF 中，EF 3 3 a，EA 2 3 a，由勾股定理，得圆的直径 AF 7 3 a 图 2 图 3 图 4 考点伸展 第（2）题也可以求ADF 与AEF 的面积和 由于 1 2 BDm， 3 2 FD
10、m，所以 AD 1 4 2 m，S ADF 3 (8) 8 mm 由于 1 (4) 2 CEm， 3 (4) 2 FEm，所以 AE 1 2 2 m，S AEF 2 3 (16) 8 m 因此 SS ADF S AEF 2 33 (8)(16) 88 mmm 2 3 32 3 4 mm 例 4 如图 1，图 2，已知四边形 ABCD 为正方形，在射线 AC 上有一动点 P，作 PEAD（或延长线）于 E， 作 PFDC（或延长线）于 F，作射线 BP 交 EF 于 G （1）在图 1 中，正方形 ABCD 的边长为 2，四边形 ABFE 的面积为 y，设 APx，求 y 关于x的函数表达 8
11、式； （2）GBEF 对于图 1，图 2 都是成立的，请任选一图形给出证明； （3）请根据图 2 证明：FGCPFB 图 1 图 2 思路点拨 1四边形 ABFE 可以用大正方形减去两个直角三角形得到 2画直线 EP、FP，把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形 满分解答 4 22 (2) 42 xx 2 (2) 2 x 2 1 +2 4 x 图 3 图 4 （2）如图 4，因为 tanEFP PE PF ，tanPBN NP NB ，且 PENP，PFNB，所以 EFPPBN 又因为12，1PBN90 ，所以2EFP90 所以 GBEF （3）如图 5，由于 GBEF，BCF90 ，所以
12、B、C、G、F 四点共圆 所以FCGPBF，CGBCFB 9 又因为CGFCGB90 ，BFPCFB90 ，所以CGFBFP 所以FGCPFB 图 5 图 6 图 7 考点伸展 如图 6， 由于 tanEFPtanPBN， 所以EFPPBN 又因为PBN190 ，所以EFP190 因此这种情况下，依然有 BGEF 第（1）题还有更简便的割补办法：如图 7，连结 EN 由于 S四边形NBFES ENF S BNF 11 ()2 22 NF EPMPNF EM， S AEN 22 11 44 APx，所以 yS四边形ABFES四边形NBFES AEN 2 1 +2 4 x 例 5 已知抛物线 yx
13、2(2m1)xm21 经过坐标原点，且当0 时，y 随 x 的增大而减小。 （1）求抛物线的解析式，并写出 y 0 时，对应 x 的取值范围； （2）设点 A 是该抛物线上位于 x 轴下方的一个动点，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 D，再作 ABx 轴于点 B， DCx 轴于点 C. 当 BC1 时，直接写出矩形 ABCD 的周长； 设动点 A 的坐标为(a, b)，将矩形 ABCD 的周长 L 表示为 a 的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是 否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点 A 的坐标；如果不存在，请说明理由 思路点拨 1先用含 a 的式子表示线段 A
14、B、AD 的长，再把 L 表示为 a 的函数关系式 2点 A 与点 D 关于抛物线的对称轴对称，根据对称性，点 A 的位置存在两个情况 满分解答 10 图 1 图 2 图 3 考点伸展 第（2）题的思路是：如图 2，抛物线的对称轴是直线 3 2 x ，当 BC1 时，点 B 的坐标为(1, 0)，此时点 A 的横坐标为 1，可以求得 AB2。 第（2）题中，L 随 a 变化的图像如图 4 所示。 图 4 【变式训练】 1如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2ax3a（a0）与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，顶点为 D，直线 DC 与 x 轴相交于点 E 11 （
15、1）当 a=1 时，求抛物线顶点 D 的坐标，OE 等于多少； （2）OE 的长是否与 a 值有关，说明你的理由； （3）设DEO=，4560，求 a 的取值范围； （4）以 DE 为斜边，在直线 DE 的左下方作等腰直角三角形 PDE设 P（m，n） ，直接写出 n 关于 m 的函 数解析式及自变量 m 的取值范围 【答案】 （1） （1，4） ，3； （2）结论：OE 的长与 a 值无关理由见解析； （3）a1； （4）n=m 1（m1） 【解析】 【分析】 (1)求出直线 CD 的解析式即可解决问题； (2)利用参数 a，求出直线 CD 的解析式求出点 E 坐标即可判断； (3)求出落在
16、特殊情形下的 a 的值即可判断； (4)如图，作 PM对称轴于 M，PNAB 于 N两条全等三角形的性质即可解决问题. 【详解】 解：(1)当 a=1 时，抛物线的解析式为 y=x22x+3， 顶点 D(1，4)，C(0，3)， 直线 CD 的解析式为 y=x+3， E（3，0） ， OE=3， 12 (3)当 =45时，OC=OE=3， 3a=3， a=1， 当 =60时，在 RtOCE 中，OC=OE=3， 3a=3， a=， 45 60 ，a 的取值范围为a1 (4)如图，作 PM对称轴于 M，PNAB 于 N 13 n=m1， 当顶点 D 在 x 轴上时，P(1，2)，此时 m 的值
17、1， 抛物线的顶点在第二象限， m1 n=m1(m1) 故答案为：(1)(1，4)，3；(2)OE的长与 a值无关；(3)a1；(4)n=m1（m1） 2如图，抛物线与 轴交于， 两点（点 在点 的左侧） ，与 轴交于点 ，且 ，的平分线交 轴于点 ，过点 且垂直于的直线 交 轴于点 ，点 是 轴下方抛 物线上的一个动点，过点 作轴，垂足为 ，交直线于点 （1）求抛物线的解析式； （2）设点 的横坐标为 ，当时，求 的值； （3）当直线为抛物线的对称轴时，以点 为圆心，为半径作，点 为上的一个动点，求 的最小值 14 【答案】 （1）yx2x3； （2）； （3） 【解析】 【分析】 对于（1
18、） ，结合已知先求出点 B 和点 C 的坐标，再利用待定系数法求解即可； 对于（2） ，在 RtOAC 中，利用三角函数的知识求出OAC 的度数，再利用角平分线的定义求出OAD 的度数，进而得到点 D 的坐标；接下来求出直线 AD 的解析式，表示出点 P，H，F 的坐标，再利用两点间 的距离公式可完成解答；对于（3） ，首先求出H 的半径，在 HA 上取一点 K，使得 HK=14，此时 K（-， ） ；然后由 HQ2=HK HA，得到QHKAHQ，再利用相似三角形的性质求出 KQ= AQ，进而可得当 E、Q、K 共线时， AQ+EQ 的值最小，据此解答. 【详解】 （1）由题意 A（，0） ，
19、B（3，0） ，C（0，3） ，设抛物线的解析式为 ya（x+3） （x） ，把 C（0，3）代入得到 a，抛物线的解析式为 yx2x3 （2）在 RtAOC中，tanOAC，OAC60 15 （3）如图，PF 是对称轴，F（，0） ，H（，2） AHAE，EAO60 ，EOOA3，E（0，3） C （0， 3） ， HC2， AH2FH4， QHCH1， 在 HA上取一点 K， 使得 HK， 此时 K（） HQ21，HKHA1，HQ2HKHA， QHKAHQ，QHKAHQ，KQAQ， AQ+QEKQ+EQ，当 E、Q、 K共线时， AQ+QE 的值最小，最小值 3如图 1，抛物线的顶点 A
20、的坐标为（1，4） ，抛物线与 x 轴相交于 B、C 两点，与 y 轴交于点 E（0，3） （1）求抛物线的表达式； （2）已知点 F（0，3） ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG+FG 最小，如果存在，求出点 G 的坐标；如果不存在，请说明理由 16 （3）如图 2，连接 AB，若点 P 是线段 OE 上的一动点，过点 P 作线段 AB的垂线，分别与线段 AB、抛物线 相交于点 M、N（点 M、N都在抛物线对称轴的右侧） ，当 MN最大时，求PON的面积 【答案】 （1）yx2+2x+3； （2）存在，G（1，0） ； （3）2 【解析】 【分析】 (1)根据顶点式可求得抛物线
21、的表达式； (2)根据轴对称的最短路径问题，作 E 关于对称轴的对称点 E，连接 EF交对称轴于 G，此时 EG+FG 的值最 小，先求 EF的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点 G； (3)如图 2，先利用待定系数法求 AB的解析式，过 N作 NHx 轴于 H，交 AB于 Q，设 N(m，m2+2m+3)， 则 Q(m，2m+6)(1m3)，表示 NQm2+4m3，证明QMNADB，列比例式可得 MN的表达式， 根据配方法可得当 m=2时，MN 有最大值，证明NGPADB，同理得 PG的长，从而得 OP 的长，根据 三角形的面积公式可得结论，并将 m=2代入计算即可 【详解】 (1)设抛物
22、线的表达式为：ya(x1)2+4， 把(0，3)代入得：3a(01)2+4， a1， 抛物线的表达式为：y(x1)2+4x2+2x+3； (2)存在，如图 1，作 E 关于对称轴的对称点 E，连接 EF交对称轴于 G，此时 EG+FG 的值最小 E(0，3)，E(2，3)， 设 EF的解析式为 y=kx+b， 把 F(0，3)，E(2，3)分别代入，得，解得， 所以 EF的解析式为：y3x3， 当 x1时，y3 130，G(1，0)； 17 MN(m2)2 0， 当 m2时，MN有最大值； 过 N 作 NGy轴于 G， GPNABD，NGPADB90 ，NGPADB， ，PGNGm， OPOG
23、PGm2+2m+3mm2m+3， S PON OPGN(m2m+3)m， 当 m2 时，S PON 2(4+3+3)2 18 4如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y= x2+ x2 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ， 与 y 轴交于点 C，直线 l 经过 A，C 两点，连接 BC （1）求直线 l 的解析式； （2）若直线 x=m（m0）与该抛物线在第三象限内交于点 E，与直线 l 交于点 D，连接 OD当 ODAC 时，求线段 DE 的长； （3）取点 G（0，1） ，连接 AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点 P，使BAP=BCOBAG？ 若存在，求出点
24、P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）y=； （2）DE=； （3）存在点 P（，） ，使BAP=BCOBAG，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据题目中的函数解析式可以求得点 A 和点 C的坐标，从而可以求得直线 l的函数解析式； （2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题； （3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得OAC=OCB，然后根据题目中的条件 和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题 【详解】 19 （1）抛物线 y= x2+ x-2， 当 y=0 时，得 x1=1，x2=-4，当 x=0 时，y=-2， 抛物线
25、 y= x2+ x-2 与 x 轴交于 A，B两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y轴交于点 C， 点 A的坐标为（-4，0） ，点 B（1，0） ，点 C（0，-2） ， 直线 l经过 A，C两点，设直线 l的函数解析式为 y=kx+b， ，得， 即直线 l的函数解析式为 y= x2； （2）直线 ED与 x轴交于点 F，如图 1所示， 由（1）可得， AO=4，OC=2，AOC=90 ， AC=2， OD=， ODAC，OAOC，OAD=CAO， AODACO， 20 EF=， DE=EF-FD= ； （3）存在点 P，使BAP=BCO-BAG， 理由：作 GMAC于点 M，作 PNx
26、轴于点 N，如图 2所示， 21 AM=， tanGAM=， tanPAN= ， 设点 P 的坐标为（n， n2+ n-2） ， AN=4+n，PN= n2+ n-2， ， 解得，n1=，n2=-4（舍去） ， 当 n=时， n2+ n-2=， 点 P 的坐标为（，） ， 即存在点 P（，） ，使BAP=BCO-BAG 22 5如图，以 D 为顶点的抛物线 y=x2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，直线 BC 的表达式为 y= x+3 （1）求抛物线的表达式； （2）在直线 BC 上有一点 P，使 PO+PA 的值最小，求点 P 的坐标； （3）在 x 轴上是否存在一
27、点 Q，使得以 A、C、Q 为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，请求出点 Q 的 坐标；若不 存在，请说明理由 【答案】 （1）y=x2+2x+3； （2）P ( ,)； （3）当 Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以 A、C、Q 为顶 点的三角形与BCD 相似 【解析】 【分析】 （1）先求得点 B 和点 C的坐标，然后将点 B和点 C的坐标代入抛物线的解析式得到关于 b、c的方程，从 而可求得 b、c 的值； （2）作点 O关于 BC的对称点 O，则 O（3，3） ，则 OP+AP 的最小值为 AO的长，然 后求得 AO的解析式，最后可求得点 P 的坐标； （3）先求得点 D的坐标，
28、然后求得 CD、BC、BD的长，依 据勾股定理的逆定理证明BCD 为直角三角形，然后分为AQCDCB 和ACQDCB 两种情况求解 即可 【详解】 （1）把 x=0代入 y=x+3，得：y=3， C（0，3） 把 y=0 代入 y=x+3得：x=3， B（3，0） ，A（1，0）. 23 将 C（0，3） 、B（3，0）代入 y=x2+bx+c 得： ，解得 b=2，c=3 抛物线的解析式为 y=x2+2x+3 （2）如图所示：作点 O关于 BC的对称点 O，则 O（3，3） O与 O关于 BC 对称， PO=PO OP+AP=OP+APAO OP+AP 的最小 值=OA=5 OA 的方程为
29、y= P 点满足解得： 所以 P ( ,) 24 又AOC=DCB=90 ， AOCDCB 当 Q的坐标为（0，0）时，AQCDCB 如图所示：连接 AC，过点 C 作 CQAC，交 x 轴与点 Q ACQ为直角三角形，COAQ， ACQAOC 又AOCDCB， ACQDCB ，即，解得：AQ=10 Q（9，0） 综上所述，当 Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以 A、C、Q为顶点的三角形与BCD 相似 6如图，已知抛物线（ 0）与 轴交于 A，B 两点（A 点在 B 点的左边） ，与 轴交于点 C。 （1）如图 1，若ABC 为直角三角形，求 的值； （2）如图 1，在（1）的条件下，点
30、P 在抛物线上，点 Q 在抛物线的对称轴上，若以 BC 为边，以点 B，C， P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求 P 点的坐标； （3）如图 2，过点 A 作直线 BC 的平行线交抛物线于另一点 D，交 轴交于点 E，若 AE:ED1:4，求 的值. 25 【答案】 （1）； （2）点 P 的坐标为 ； （3）. 【解析】 【分析】 （1）利用三角形相似可求 AOOB，再由一元二次方程根与系数关系求 AOOB 构造方程求 n； （2）求出 B、C坐标，设出点 Q坐标，利用平行四边形对角线互相平分性质，分类讨论点 P 坐标，分别代 入抛物线解析式，求出 Q点坐标； （3）设出点 D坐标（a，
31、b） ，利用相似表示 OA，再由一元二次方程根与系数关系表示 OB，得到点 B 坐标， 进而找到 b 与 a关系，代入抛物线求 a、n 即可 【详解】 （2）由（1）当=0 时 26 解得 x1=-1，x2=4 OA=1，OB=4 B（4，0） ，C（0，-2） 抛物线对称轴为直线 x=- 设点 Q 坐标为（ ，b） 由平行四边形性质可知 当 BQ、CP 为平行四边形对角线时，点 P 坐标为（，b+2） 代入 y= x2- x-2 解得 b=，则 P 点坐标为（，） 当 CQ、PB 为为平行四边形对角线时，点 P 坐标为（- ，b-2） 代入 y= x2- x-2 解得 b=，则 P 坐标为（
32、- ，） 综上点 P 坐标为（，） ， （- ，） ； 27 将点 A（- a，0） ，D（a，a2）代入 y= x2- x-n 解得 a=6 或 a=0（舍去） 则 n= . 7 （题文）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 l 与抛物线相交于 A（1，） ， B（4，0）两点 28 （1）求出抛物线的解析式； （2） 在坐标轴上是否存在点 D， 使得ABD 是以线段 AB 为斜边的直角三角形？若存在， 求出点 D 的坐标； 若不存在，说明理由； （3）点 P 是线段 AB 上一动点， （点 P 不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 PMOA，交第一象限内的抛物线于 点 M，
33、 过点 M 作 MCx 轴于点 C， 交 AB 于点 N， 若BCN、 PMN 的面积 SBCN、 SPMN满足 SBCN=2SPMN， 求出的值，并求出此时点 M 的坐标 【答案】 （1）； （2）D（1，0）或（0，）或（0，） ； （3），M（， ） 【解析】 【分析】 （1）由 A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）分 D在 x轴上和 y轴上，当 D在 x轴上时，过 A作 ADx 轴，垂足 D 即为所求；当 D点在 y轴上时， 设出 D点坐标为（0，d） ，可分别表示出 AD、BD，再利用勾股定理可得到关于 d的方程，可求得 d 的值， 从而可求得满足条件的 D点
34、坐标； （3）过 P 作 PFCM于点 F，利用 RtADORtMFP 以及三角函数，可用 PF分别表示出 MF和 NF，从 而可表示出 MN，设 BC=a，则可用 a表示出 CN，再利用 SBCN=2SPMN，可用 PF表示出 a的值，从而可用 PF表示出 CN，可求得的值；借助 a 可表示出 M 点的坐标，代入抛物线解析式可求得 a 的值，从而可求 出 M点的坐标 【详解】 （1）A（1，） ，B（4，0）在抛物线的图象上，解得，抛 物线解析式为； 29 （3）如图 2，过 P 作 PFCM于点 F， PMOA，RtADORtMFP， =，MF=PF， 在 RtABD中，BD=3，AD=，
35、 tanABD=，ABD=60 ， 设 BC=a，则 CN=a， 在 RtPFN 中，PNF=BNC=30 ， tanPNF=， FN=PF，MN=MF+FN=PF， SBCN=2SPMN， ， a=PF， NC=a=PF， =， MN=NC=a， 30 MC=MN+NC=（）a， M点坐标为（4a， （）a） ， 又 M点在抛物线上，代入可得=（）a，解得 a=或 a=0（舍去） ，OC=4 a=，MC=， 点 M 的坐标为（，） 8如图，在平面角坐标系中，抛物线 C1：y=ax2+bx1 经过点 A（2，1）和点 B（1，1） ，抛物线 C2：y=2x2+x+1，动直线 x=t 与抛物线
36、C1交于点 N，与抛物线 C2交于点 M （1）求抛物线 C1的表达式； （2）直接用含 t的代数式表示线段 MN的长； （3）当AMN是以 MN为直角边的等腰直角三角形时，求 t的值； （4）在（3）的条件下，设抛物线 C1与 y轴交于点 P，点 M 在 y轴右侧的抛物线 C2上，连接 AM交 y轴于 点 k，连接 KN，在平面内有一点 Q，连接 KQ 和 QN，当 KQ=1且KNQ=BNP 时，请直接写出点 Q的 坐标 【答案】 （1）抛物线 C1：解析式为 y=x2+x1； （2）MN=t2+2； （3）t的值为 1 或 0； （4）满足条件的 Q 点 坐标为： （0，2） 、 （1，3
37、） 、 （ ，） 、 （ ，） 31 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法进行求解即可； （2）把 x=t代入函数关系式相减即可得； （3）根据图形分别讨论ANM=90 、AMN=90 时的情况即可得； （4）根据题意画出满足条件图形，可以找到 AN 为KNP 对称轴，由对称性找到第一个满足条件 Q，再通 过延长和圆的对称性找到剩余三个点，利用勾股定理进行计算 【详解】 （1）抛物线 C1：y=ax2+bx1 经过点 A（2，1）和点 B（1，1） ， ，解得：， 抛物线 C1：解析式为 y=x2+x1； （2）动直线 x=t与抛物线 C1交于点 N，与抛物线 C2交于点 M， 点 N的纵
38、坐标为 t2+t1，点 M 的纵坐标为 2t2+t+1， MN=（2t2+t+1）（t2+t1）=t2+2； （4）由（3）可知 t=1时 M 位于 y轴右侧，根据题意画出示意图如图： 32 易得 K（0，3） ，B、O、N三点共线， A（2，1） ，N（1，1） ，P（0，1） ， 点 K、P 关于直线 AN对称， 设K与 y轴下方交点为 Q2，则其坐标为（0，2） ， Q2与点 O 关于直线 AN对称， Q2是满足条件KNQ=BNP， 则 NQ2延长线与K交点 Q1，Q1、Q2关于 KN的对称点 Q3、Q4也满足KNQ=BNP， 由图形易得 Q1（1，3） ， 设点 Q3坐标为（a，b）
39、，由对称性可知 Q3N=NQ1=BN=2， 由K半径为 1， ，解得：， 同理，设点 Q4坐标为（a，b） ，由对称性可知 Q4N=NQ2=NO=， ，解得：， 满足条件的 Q点坐标为： （0，2） 、 （1，3） 、 （ ，） 、 （ ，）. 9如图，抛物线 y= x2+bx+c 与直线 y= x+3交于 A，B 两点，交 x 轴于 C、D两点，连接 AC、BC，已知 A（0，3） ，C（3，0） 33 （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴 l上找一点 M，使|MBMD|的值最大，并求出这个最大值； （3）点 P 为 y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQPA交 y
40、轴于点 Q，问：是否存在点 P使得 以 A，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说 明理由 【答案】 （1）抛物线的解析式是 y= x2+ x+3； （2）|MBMD|取最大值为； （3）存在点 P（1，6） 【解析】分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据对称性，可得 MC=MD，根据解方程组，可得 B 点坐标，根据两边之差小于第三边，可得 B，C， M 共线，根据勾股定理，可得答案； （3）根据等腰直角三角形的判定，可得BCE，ACO，根据相似三角形的判定与性质，可得关于 x 的方 程，根据解方程，可得 x，根据自变量
41、与函数值的对应关系，可得答案 B（4，1） ， 34 当点 B，C，M 共线时，|MBMD|取最大值，即为 BC 的长， 过点 B 作 BEx 轴于点 E， ， 在 RtBEC 中，由勾股定理，得 BC=， |MBMD|取最大值为； （3）存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似， 在 RtBEC 中，BE=CE=1， BCE=45 ， 在 RtACO 中， AO=CO=3， ACO=45 ， ACB=180 45 45 =90 ， 过点 P 作 PQy 轴于 Q 点，PQA=90 ， 设 P 点坐标为（x， x2+ x+3） （x0） 35 当PAQ=ABC 时，PAQC
42、BA， PGA=ACB=90 ，PAQ=ABC， PGAACB， ， 即=3， ， 解得 x1=（舍去），x2=0（舍去） 此时无符合条件的点 P， 综上所述，存在点 P（1，6） 10如图，抛物线 y=ax2+bx5与坐标轴交于 A（1，0） ，B（5，0） ，C（0，5）三点，顶点为 D （1）请直接写出抛物线的解析式及顶点 D的坐标； （2）连接 BC与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 为线段 BC上的一个动点（点 P 不与 B、C两点重合） ，过 点 P 作 PFDE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m 是否存在点 P，使四边形 PEDF为平行四边形？若存在，求出点 P 的坐标
43、；若不存在，说明理由 过点 F作 FHBC于点 H，求PFH周长的最大值 36 【答案】 （1）y=x24x5，顶点坐标为 D（2，9） ； （2）存在点 P（3，2）使四边形 PEDF为平行四 边形；PFH周长的最大值为. 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）求出直线 BC解析式，表示 PF，当 PF=DE时，平行四边形存在 利用PFHBCO，应用相似三角形性质表示PFH 周长，应用函数性质讨论最值即可 【详解】 （1）把 A（1，0） ，B（5，0）代入抛物线 y=ax2+bx5，得 ，解得：， y=x24x5=（x-2）2-9， 顶点坐标为 D（2，9） ；
44、37 如图，连接 DF， PFDE， 当 PF=DE时，四边形 PEDF为平行四边形， 即m2+5m=6， 解得 m1=3，m2=2（舍去） ， 当 m=3 时，y=35=2， 此时 P（3，2） ， 存在点 P（3，2）使四边形 PEDF为平行四边形； 由题意，在 RtBOC 中，OB=OC=5， BC=5， CBOC =10+5， PFDEy轴， FPE=DEC=OCB， 38 FHBC， FHP=BOC=90 ， PFHBCO， ， 即 C PFH =， 0m5， 当 m=时，PFH 周长的最大值为. 11如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A（1，0） ，
45、B（3，0）两点，与 y轴相交于点 C（0，3） （1）求这个二次函数的表达式； （2）若 P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx 轴于点 H，与 BC交于点 M，连接 PC 求线段 PM的最大值； 当PCM是以 PM为一腰的等腰三角形时，求点 P 的坐标 39 【答案】 （1）二次函数的表达式 y=x22x3； （2）PM最大= ；P（1，4）或（，21） 【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法，可得答案； （2）根据平行于 y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函 数的性质，可得答案； 根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案
46、 PM=（n3）（n22n3）=n2+3n=（n ）2+ ， 当 n= 时，PM最大= ； 当 PM=PC时， （n 2+3n）2=n2+（n22n3+3）2， 解得 n1=0（不符合题意，舍） ，n2=2， n22n3=-3， P（2，-3） ； 当 PM=MC时， （n2+3n）2=n2+（n3+3）2， 解得 n1=0（不符合题意，舍） ，n2=3+（不符合题意，舍） ，n3=3-， n22n3=2-4， P（3-，2-4） ； 综上所述：P（2，3）或（3-，24） 12如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，B 点坐标为（4，0） ，与 y轴交于点 C（0，4） （1）求抛物线的解析式； 40 （2）点 P 在 x 轴下方的抛物线上，过点 P 的直线 y=x+m与直线 BC交于点 E，与 y轴交于点 F，求 PE+EF 的最大值； （3）点 D为抛物线对称轴上一点 当BCD是以 BC为直角边的直角三角形时，直接写出点 D的坐标； 若BCD是锐角三角形，直接写出点 D的纵坐标 n 的取值范围 【答案】 （1）抛物线的解析式为 y=x25x+4； （2）PE+EF的最大值为； （3）符合条件的点 D的坐标 是（ ，）或（ ， ） ；点 D 的纵坐标的取值范围为y或 y 【解析】 【分析
