1、 1 专题专题 1010 一元一次不等式（组）及其应用一元一次不等式（组）及其应用 1用不等号“”“”“ ”“”表示不相等关系的式子叫做不等式。 2不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4一元一次不等式： 不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，像这样的不等式，叫 做一元一次不等式。 5一元一次不等式组： 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。 6不等式的性质： 性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。
2、性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 7.一元一次不等式的解法的一般步骤： （1）去分母; （2）去括号; （3）移项; （4）合并同类项; （5）系数化为 1. 8不等式解集在数轴上的表示方法：含或，用空心圆圈，含或用实心圆点。 9一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 10求不等式组解集的规律： 不等式组的解集有四种情况: 若 ab， （1）当 xa xb 时,则不等式的公共解集为 xa; （2
3、） xa xb 时,不等式的公共解集为 bxa; 专题知识回顾专题知识回顾 2 （3） xa xb 时,不等式的公共解集为 x6，由第 2 个不等式得 x8，它们的公共部分是 6x8 ，故选 B 【例题【例题 3 3】 （】 （20192019山东省德州市）山东省德州市）不等式组的所有非负整数解的和是（ ） A10 B7 C6 D0 【答案】A 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 3 【解析】不等式组的非负整数解。分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知 不等式组的非负整数解 ， 解不等式得：x2.5， 解不等式得：x4， 不等式组的解集为：2.5x4， 不等式组的
4、所有非负整数解是：0，1，2，3，4， 不等式组的所有非负整数解的和是 0+1+2+3+410 【例题【例题 4 4】 （】 （20192019 广西北部湾）广西北部湾）解不等式组 351 3421 63 xx xx ，并利用数轴确定不等式组的解集. 【答案】见解析。 【解析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分别解两个不等式得到x3 和x-2，再根据大小小大中 间找确定不等式组的解集然后利用数轴表示其解集 【解题过程】解： 351 3421 63 xx xx 解得x3， 解得x-2， 所以不等式组的解集为-2x3 用数轴表示为： 【例题【例题 5 5】 （】 （20192019江苏无锡）江苏
5、无锡） 某工厂为了要在规定期限内完成 2160 个零件的任务， 于是安排 15 名工人每人 每天加工a个零件（a为整数） ，开工若干天后，其中 3 人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工 2 个零 件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（ ） A10 B9 C8 D7 4 【答案】B 【解析】根据 15 名工人的前期工作量+12 名工人的后期工作量2160 列出不等式并解答 设原计划n天完成，开工x天后 3 人外出培训， 则 15an2160， 得到an144 所以 15ax+12（a+2） （nx）2160 整理，得 4x+4an+8n8x720 an144 将其代入化简，得ax+
6、8n8x144，即ax+8n8xan， 整理，得 8（nx）a（nx） nx， nx0， a8 a至少为 9 一、选择题一、选择题 1.(20191.(2019 甘肃省陇南市甘肃省陇南市) ) 不等式 2x+93（x+2）的解集是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 【答案】A 【解析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为 1 即可 去括号，得 2x+93x+6， 移项，合并得x3 系数化为 1，得x3。 2.2.（20192019河北）河北）语句“x的与x的和不超过 5”可以表示为（ ） A+x5 B+x5 C5 D+x5 【答案】A 【解析】 “x的与x的和不超过 5”用不等式表示
7、为x+x5 专题典型训练题 专题典型训练题 5 3 3 （ （20192019浙江宁波）浙江宁波）不等式x的解为（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【答案】A 【解析】去分母、移项，合并同类项，系数化成 1 即可 x， 3x2x， 33x， x1 4.4.（20192019 广西河池）广西河池）不等式组 23 1 21 x xx 的解集是( ) A2x B1x C12x D12x 【答案】D 【解析】 23 1 21 x xx ， 解得：2x， 解得：1x 则不等式组的解集是：12x 故选：D 5.(20195.(2019 黑龙江绥化黑龙江绥化) )不等式组 10 842 x xx 的解集
8、在数轴上表示正确的是( ) 【答案】B 【解析】解不等式组,用数轴表示不等式组的解集 解得,x1, 解得,x2, 原不等式组的解集为 1x2,故选 B. 6.6.（20192019 湖北仙桃）湖北仙桃）不等式组 10， 5 2 1 的解集在数轴上表示正确的是（ ） 6 【答案】C 【解析】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集。 解不等式x10 得x1， 解不等式 52x1 得x2， 则不等式组的解集为 1x2 7.7.（20192019 吉林长春）吉林长春）不等式-x+20 的解集为（ ） A.x-2 B.x-2 C.x2 D.x2 【答案】D 【解析】解一元一次不等式 -x+20，
9、移项得：-x-2， 系数化为 1，得x2 不等式的解集为：x2 8. .（20192019 辽宁本溪）辽宁本溪） 不等式组 3 280 x x 0 的解集是 A.x3 B.x4 C. x3 D.3x4 【答案】 D. 【解析】 3 280 x x 0 ， 由得：x3， 由得：x4， 则不等式组的解集为 3x4 9.9.（20192019 江苏镇江）江苏镇江）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组 2 (21)60 xa ax 的解集的是( ) 7 A B C D 【答案】B 【解析】由2xa得2xa， A由数轴知3x ，则1a ，360 x，解得2x ，与数轴不符； B由数轴知0 x ，
10、则2a ，360 x，解得2x ，与数轴相符合； C由数轴知2x ，则4a ，760 x，解得 6 7 x ，与数轴不符； D由数轴知2x ，则0a ，60 x ，解得6x ，与数轴不符。 1010 （ （20192019绵阳）绵阳）红星商店计划用不超过 4200 元的资金，购进甲、乙两种单价分别为 60 元、100 元的商品 共 50 件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利 10 元、20 元，两种商品均售完若所获利润大 于 750 元，则该店进货方案有（ ） A3 种 B4 种 C5 种 D6 种 【答案】C 【解析】设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50 x）件，根据“购进
11、甲乙商品不超过 4200 元的 资金、两种商品均售完所获利润大于 750 元”列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值即可得出答案 设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50 x）件， 根据题意，得：， 解得：20 x25， x为整数， x20、21、22、23、24， 该店进货方案有 5 种。 1111 （ （20192019常德）常德）小明网购了一本好玩的数学 ，同学们想知道书的价格，小明让他们猜甲说： “至少 15 元 ” 乙说： “至多 12 元 ” 丙说： “至多 10 元 ” 小明说： “你们三个人都说错了” 则这本书的价格x（元） 所在的范围为（ ） A10 x12 B12x1
12、5 C10 x15 D11x14 【答案】B 8 【解析】根据题意得出不等式组解答即可 根据题意可得：， 可得：12x15， 12x15 12.12.（20192019湖南怀化）湖南怀化）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质 种羊若干只在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户 1 只；若每户发放母羊 5 只，则多出 17 只母羊，若 每户发放母羊 7 只，则有一户可分得母羊但不足 3 只这批种羊共（ ）只 A55 B72 C83 D89 【答案】C 【解析】设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，根据“每户发放母羊 7 只时有一户可分得母羊但不足 3 只”列
13、出关于x的不等式组，解之求得整数x的值，再进一步计算可得 设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只， 由题意知， 解得：x12， x为整数， x11， 则这批种羊共有 11+511+1783（只） 二、填空题二、填空题 13.13.（20192019 黑龙江哈尔滨）黑龙江哈尔滨）不等式组 123 0 2 3 x x 的解集是 【答案】 ：x3 【解析】解不等式 3 2 x 0，得x3， 解不等式 3x+21，得x 1 3 ， 不等式组的解集为x3， 故答案为：x3 9 14.14.（20192019 山东东营）山东东营）不等式组 ()324 211 52 xx xx ， + 的解集为_ 【答
14、案】7x1 【解析】一元一次不等式组的解法。 ()324 211 52 xx xx ， + 解不等式，得 x1；解不等式，得 x7， 不等式组的解集是7x1 15.15.（20192019河南）河南）不等式组的解集是 【答案】x2 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 解不等式1，得：x2， 解不等式x+74，得：x3， 则不等式组的解集为x2 16.(201916.(2019 内蒙古包头市内蒙古包头市) )已知不等式组2 + 9 6x + 1 1 的解集为x-1，则k的取值范围是 . 【答案】k-2. 【解析】
15、不等式组2 + 9 6x + 1 1 解不等式得，x-1; 解不等式得，xk+1; 原不等式组的解集为x-1， k+1-1 解得，k-2. 17.(201917.(2019 黑龙江大庆黑龙江大庆) )已知 x4 是不等式 ax3a10 的解,x2 不是不等式 ax3a10 的解,则实数 a 10 的取值范围是_. 【答案】a1 【解析】x4 是不等式 ax3a10 的解,所以 4a3a10,a1, 因为 x2 不是不等式 ax3a10 的解, 所以 2a3a10,所以 a1,所以 a1. 18.18.（20192019铜仁）铜仁）如果不等式组的解集是xa4，则a的取值范围是 【答案】a3 【解
16、析】解这个不等式组为xa4， 则 3a+2a4， 解这个不等式得a3 故答案a3 19.19.（20192019 湖南邵阳）湖南邵阳）不等式组 43 1 1 3 x x 的解集是 【答案】21x 【解析】解不等式43x ，得：1x ， 解不等式 1 1 3 x ，得：2x ， 则不等式组的解集为21x， 故答案为：21x 2020 （ （20192019大渡口区）大渡口区）商店购进一批文具盒，进价每个 4 元，零售价每个 6 元，为促销决定打折销售，但 利润率仍然不低于 20%，那么该文具盒实际价格最多可打 折销售 【答案】8 【解析】由题意可知：利润率为 20%时，获得的利润为 420%0.
17、8 元；若打x折该商品获得的利润该商 品的标价进价，列出不等式，解得x的值即可 设可以打x折出售此商品，由题意得：， 解得：x8， 答：该文具盒实际价格最多可打 8 折。 三、解答题三、解答题 11 21.21.（20192019 广西省贵港市）广西省贵港市）解不等式组： 622(4) 23 323 xx xx ，并在数轴上表示该不等式组的解集 【答案】见解析。 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 解不等式622(4)xx，得： 3 2 x ， 解不等式 23 323 xx ，得：1x， 则不等式组的解集为 3
18、1 2 x ， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 22.22.（20192019 北京市）北京市）解不等式组： 4(1)2, 7 . 3 xx x x 【答案】2x . 【解析】先求出每个不等式的解集，再取两个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.取公共部分按 照“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”原则即可. 4(1)2 7 3 xx x x 由得442xx 36x 2x 由得73xx 72x 7 2 x 和的公共部分由“小小取小”得原不等式组解集为2x . 12 23.23.（20192019江苏扬州）江苏扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解 【答案】3x2，所有
19、负整数解为3、2、1 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 解不等式 4（x+1）7x+13，得：x3， 解不等式x4，得：x2， 则不等式组的解集为3x2， 所以不等式组的所有负整数解为3、2、1 24.24.（20192019 贵州省安顺市）贵州省安顺市）先化简（1+ 3 2 x ） 96 1 2 2 xx x ，再从不等式组 423 42 xx x 的整数解中选一 个合适的x的值代入求值 【答案】见解析。 【解析】首先进行分式的加减运算，进而利用分式的混合运算法则进而化简，再解不等式组，得出x的值， 把已知数
20、据代入即可 原式 32 3 x x 2 3 1 (1) x xx 3 1 x x 解不等式组 24 324 x xx 得2x4， 其整数解为1，0，1，2，3， 要使原分式有意义， x可取 0，2当x0 时，原式3， （或当x2 时，原式 3 1 ） 2525 （ （20192019新疆）新疆）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来 【答案】见解析。 【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案 13 解不等式得：x2， 解不等式得：x1， 不等式组的解集为 1x2， 在数轴上表示不等式组的解集为： 26.26.（20192019 黑龙江哈尔滨）黑龙江哈尔滨）寒梅中学为了丰
21、富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活 动使用若购买 3 副围棋和 5 副中国象棋需用 98 元；若购买 8 副围棋和 3 副中国象棋需用 158 元； （1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元； （2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共 40 副，总费用不超过 550 元，那么寒梅中学最多可以购买多少 副围棋？ 【答案】见解析。 【解析】 （1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元， 根据题意得：， ， 每副围棋 16 元，每副中国象棋 10 元； （2）设购买围棋z副，则购买象棋（40z）副， 根据题意得：16z+10（40z）550，z25， 最多可以购买 25 副围棋。 27
22、.27.（20192019 四川巴中）四川巴中）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户已知甲物品的 单价比乙物品的单价高 10 元，若用 500 元单独购买甲物品与 450 元单独购买乙物品的数量相同 请问甲、乙两种物品的单价各为多少？ 如果该单位计划购买甲、乙两种物品共 55 件，总费用不少于 5000 元且不超过 5050 元，通过计算得出共 有几种选购方案？ 【答案】见解析。 【解析】设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得： 14 解得x90 经检验，x90 符合题意 甲种物品的单价为 100 元，乙种物品的单价为 90 元 设购买甲种物品y
23、件，则乙种物品购进（55y）件 由题意得：5000100y+90（55y）5050 解得 5y10 ,共有 6 种选购方案 28.28.（20192019 湖北黄石）湖北黄石）若点P的坐标为（，2x9） ，其中x满足不等式组，求点P 所在的象限 【答案】点P在的第四象限 【解析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限 ， 解得：x4， 解得：x4， 则不等式组的解是：x4， 1，2x91， 点P的坐标为（1，1） ，点P在的第四象限 29.29.（20192019山山东省滨州市东省滨州市 ）有甲、乙两种客车，2 辆甲种客车与 3 辆乙种客车的总载客量为 180 人，1
24、 辆 甲种客车与 2 辆乙种客车的总载客量为 105 人 （1）请问 1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为多少人？ （2） 某学校组织 240 名师生集体外出活动， 拟租用甲、 乙两种客车共 6 辆， 一次将全部师生送到指定地点 若 每辆甲种客车的租金为 400 元，每辆乙种客车的租金为 280 元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最 低费用 【答案】见解析。 【解析】 （1）设辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为x人，y人， ， 15 解得：， 答：1 辆甲种客车与 1 辆乙种客车的载客量分别为 45 人和 30 人； （2）设租用甲种客车x辆，依题意有：， 解得：6x4，
25、 因为x取整数，所以x4 或 5， 当x4 时，租车费用最低，为 4400+22802160 3030 （ （20192019遵义）遵义）某校计划组织 240 名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动旅游公司有A，B两种 客车可供租用，A型客车每辆载客量 45 人，B型客车每辆载客量 30 人若租用 4 辆A型客车和 3 辆B型客 车共需费用 10700 元；若租用 3 辆A型客车和 4 辆B型客车共需费用 10300 元 （1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元； （2）为使 240 名师生有车坐，且租车总费用不超过 1 万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？ 【答案】见解析。 【解析】 （1）设租用A，B两型客车，每辆费用分别是x元、y元， ， 解得， 答：租用A，B两型客车，每辆费用分别是 1700 元、1300 元； （2）设租用A型客车a辆，租用B型客车b辆， ， 解得， 共有三种租车方案， 方案一：租用A型客车 2 辆，B型客车 5 辆，费用为 9900 元， 方案二：租用A型客车 4 辆，B型客车 2 辆，费用为 9400 元， 方案三：租用A型客车 5 辆，B型客车 1 辆，费用为 9800 元， 由上可得，方案二：租用A型客车 4 辆，B型客车 2 辆最省钱
